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1、其次节齐次马尔可夫链一、齐次马尔可夫链的概念一个随机过程Xn,n=0,1,2,就是一族随机变量，而Xn能取的各个不同的值，则称为状态。假如一个随机过程Xn,n=0,1,2,由一种状态转移到另一种状态的转移概率只与现在处于什么状态有关，而与在这时刻之前所处的状态完全无关，即假如过程Xn,n=0,1,2,）中，X向的条件概率分布只依靠于Xn的值，而与全部更前面的值相互独立,则该过程就是所谓马尔可夫（Markov）过程.马尔可夫链是指时间离散，状态也离散的马尔可夫过程。一个马尔可夫链，若从u时刻处于状态i,转移到t+u时刻处于状态j的转移概率与转移的起始时间U无关，则称之为齐次马尔可夫链，简称齐次马
2、氏链。假如把从状态i到状态j的一步转移概率记为Pij,则Pij=PX11+1=jIXn=i,i,j=0,1,2,且有转移概率矩阵P,PooPoiP02PlOPnP12k4，ZPij=1。PaoP21P22这样，一个齐次马氏链，可以由一个转移概率矩阵P以及在时刻零时状态x=0,1,2,的概率分布列向量Q=（q（0）,q（l）,）完全确定。由齐次马氏链性质知道，第i状态的行向量A与第i+1状态的行向量Ai+之间存在着关系式：Ai+=AiPo二、齐次马氏链在评估教学质量中的应用教学过程是一个随机过程，也就是说，对于具有相同基础学问背景的学生（个体），在同时接受新学问时是随机的。我们可以把一个班（群体
3、）的学生划分为不同的等级（譬如：优、良、中、及格、不及格五个等级），近似地认为处于同一等级的学生具有相同的基础学问，用齐次马氏链，通过学生学习状态的转移概率矩阵，最终可以预料一个班学生学习成果的稳定状态。对老师而言，也就可用来评估、预料一个班的教学质量。在教学效果指标的量化过程中，齐次马氏链评估法是将一个群体（如一个班或一个年级）的学生在某次考试中获得优（90分以上）、良（8089分）、中（7079分）、及格（6069分）和不及格（59分以下）各等级学生人数占总人数之比，作为状态变量，并用向量表示之。即R(t)=(t),X2(t),X3(t),X4(t),X5(t),这里，/示时刻，tN,显然
4、有WXi(t)=Ioi-l由于齐次马氏链与t时刻前的状态无关(呈无后效性)，可以探讨当t改变时，状态向量R(t)的改变规律，从而对教学效果进行评估。设经第一次考试，一个班n个学生中，优、良、中、及格、不及格的学生数分别为ni(i=l,2,3,4,5),则状态向量R(I)=(匕，叫称作初始向量。为考察教学效果，接着分析下一次考试时，上述学生的等级改变。若经其次次考试后，原来获优等成果的m名学生中，仍保持优等的是m人，转化为“良”，“中”，“及格”，“不及格”的学生分别有“nrw,n5人，于是，第一次考试成果优等的学生考试成果转移状况是同样，其余各个等级的学生的考试成果转移状况是向量中ni,j=l
5、,2,3,4,5)表示从状态i变成状态j的人数。这一转移状况用矩阵表示为nIlnDnBnUnInInInInItl21n22n23n24n25n2n2n2n2n2n31n32n33n34n35n3n3n3n3n3nn42n43n44n4n4n4n4n4n51n52n54n55n5n5n5n5n5P=P为转移概率矩阵，简称转概阵。符合齐次马氏链学习状态转移概率矩阵的学生学习成果最终必定趋于平稳状态X=(X1,X2，X3，X4，X5),即X=XP,也即X(E-P)=O,解此线性方程组，可得状态R(t)时学生学习成果的平稳分布X0下面，我们仍以第一节表51中的15名学生的成果为例，分析这一群体在两次
6、考试中学生等级的改变。按优、良、中、及格、不及格五等划分，分别是2人、4人、4人、5人和0人，因此，各个等级学生转移状况分别是P,=(o,O,I，I，OP5.=(0,O,O,O,0)。组成转概阵P=00I023OO-O55000001.i其次次考试成果分布状态R（2）=R（1）r=后，石，,3,j根据这个改变规律，第三次考试成果分布状态R=R（2）*p=1.谛而,正。卜即在第三次考试后，学生中优等、良等的人数削减了，而中等的人数和及格的人数却在增加。这样，就可以分析这组学生群体的改变状态。设该过程的平稳状态分布列为X,由于(E-P)tX=O,于是3443222202250d000IQ2234x
7、1=0,3一,42+51町+尹4X4=0,=0,=Oo解得45(0,0,0)。从而可以断定，最终只有中等和及格两等级的学生，其人数分别占总数的56%和44%。三、齐次马氏链在评估解题状态中的应用解决问题是数学教化的一项主要任务。假如能够把一个题目，按学生解题的认知过程的发展，分解成几个不同层次的状态，那么就可以用齐次马氏链去测量一个群体（如一个班或一个年级的学生）解决问题的实力与状况。首先，我们认为解决一个问题的过程是由分析予、设计S2、探究S3、实施S4和验证S5这样五个状态组成的，并且这五个状态存在如图5-2的关系。分成了上面五个状态，我们可以认为解决问题的后一状态只与它的前一个状态有关，
8、而与它的更前面的状态无关。这就完全符合齐次马氏链所要求的条件。图52的关系流程图，存在一个状态转移概率矩阵S】S?S3S4S5r010000023PN0P=S；P31P32000900001100001,其中P23+P24=1.P31P32=1o假如图5-2的关系流程图第i阶段的行向量为Ai=(an%，3，a4,as),由于Ao=(1,0,0,0,0),从而A=(0,1,0,0,0),A2=AiP=(0,0,p23,P24,0),3=A2P=(P31P23，P23P32,0,0,P24),A4=A3P=(0,PsiP23,P23P32,P23P32P24,P24,A5=A4P=(P23P32P
9、3PPsP32,PbiPs,P31P23P24,P24(P23P32+1)O应用齐次马氏链的关键在于找到一个转移概率矩阵中的P这就要从两个方面去限制，一是通过详细题目的解题过程划分几个不同状态(这一点相对来说是比较困难的)，二是通过解题时间来限制解题过程，以分析整个群体a的解题状态。例如，要求40名学生在10分钟内完成一个题目：求证：P(2,3),P2(4,6),P3(6,9)三点共线。当然，对于这个题目，如何比较客观去分析解题状态，即原委做到哪一步才是从分析Sl到设计S2,哪一步才算是从设计S2到实施S4,这是比较困难的。但是，假如运用时间去限制解题状态，还是切实可行的。设8分钟以后，有30
10、名学生圆满地证明白这个题目，剩下的10名学生中，经过老师的适当提示，又有6名学生完成了该题。这样比照关系流程图5-2,可以得到：P23=%，Pv=豢PV=MP31=需，从而Ao=(1,0,0,0,0),A=(0,1,0,0,0),(1393)A1.mW,利於力.3913691A1.I丽400,40,40,80)由AI可见，这40名学生全部从分析状态Sl转移到设计状态S2；由可见，经过设计状态S?之后，有:的学生己经进入探究状态S3,而另有:的学生则进入了实施状态s4；由A3可见，q的学生进入实施状态S4顺利地得到了验证Ss，而处于探究状态S?的;的学生中，的学生回到了分析状态Si,输的学生回到
11、了设计状态打，在经过老师的适当提示之后，A,表明，:学生中的义的学生进入了探究状态S3,而又有义的学生进入了实施状态S.同oUoU样根据A.可以测得在规定的10分钟过去之后，(约86.25%)的学生顺利地解决了该题，言(15%)的学生仍然处在分析状态S】。齐次马氏链，针对在规定的时间里，有相当一部分的学生完成解答，即处于图52关系流程图中验证状态S5,是比较有效的。但是，假如在规定的时间里，没有学生或者有很少学生顺当地完成解答，用限制时间的方法去测算解题状态是行不通的。这时，只能通过分析题目的解题状态，详细地分清晰状态Si、S2、S3、S4和S5,才能运用上面方法，确定转概阵中的Pij,从而正确运用齐次马氏链测算解题状态。
