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1、案例二一精析精练课堂合作探究重点难点突破知识点一平面的法向量1 .平面法向量的定义(D定义：平面a如果向量n的基线与平面a垂直，那么向量n叫做平面a的法向量或说向量n与平面a正交.(2)平面法向量的性质:平面a的一个法向量垂直于与平面a共面的所有向量;一个平面的法向量有无数个，一个平面的所有法向量互相平行.2 .平面的法向量的求法方法一：找到一条与平面垂直的直线，那么该直名方法二：待定系数法，即假设要求出一个平面的%法求解，一般步骤如下:设出平面的法向量为n=(xA%1法向量a=(x,y,z),b=(x2,y2,Z2)；根据法向量的定义，建:鼠角坐标系，然后用待定系数两个不共线的向量的坐标解方
2、程组，取其中的一个0;:立空间直角坐标系，视具体情解，即得法向量.这里需要说明的是:方法二必须建立空间直角况而定;在求平面的法向量时，要先找有没有和平面垂直的直线，假设没有那么用待定系数法;在利用方法二求解平面的法向量时，方程组1二有无数多个解，只需给x,y,之中的一个变量赋予一个特值，即可确定平面nb=0的一个法向量.赋予的值不同，所求平面的法向量就不同，但它们是共线向量.3 .平面法向量的作用详解：设m,m2分别是平面a,4的法向量,m是直线1的方向向量，那么有:/a或/UaOm1.mOmn1=0;/_1.aOnim；a4或a与夕重合Oniih;a=nn2n1n2=0.知识点二二善终定理及
3、箕逆定理三垂线定理五逆定理实际上反映的斜线和射影的关系.三垂线定理的符号描述如右图,P0、PA分别是平面a的垂线、斜线,OA是PA在a内的射影,aua,且a_1.OA,那么aPA.三垂线定理的逆定理的符号描述如上图，P0、PA分别是平面a的垂线、斜线，OA是PA在a内的射影,aua,且a_1.PA,那么a_1.OA.关于定理的应用，首先是找出平面的垂线，至于射影那么是由垂足,斜足来确定的，因而是第二位的，由此，我们可以得出三垂线定理证明a_1.b的一个程序：一垂、二射、三证，即：第一：找平面及平面的垂线；第二：找射影线(或斜线)，这时a,b便成为平面内的一条直线及一条斜线(或射影)；第三:证明
4、射影(或斜线)与直线a垂直，从而得出a,b垂直.典型例题分析题型1求平面的法向量【例1平面a经过三点人(1,2,3)1(2,0,-1),以3,-2,0),试求平面a的一个法向量.解析用待定系数法求解平面a的法向量.答案因为A(l,2,3),B(2,0,T),C(3,-2,0),所以而二(1,-2,-4),芯=(2,-4,-3).设平面a的法向量为n=(x,y,z),依题意，应有n薪二0,n-Z=0,即有厂一2)z=0解得产=,令k,那么*十，所以平面2x-4y-3z=0,1z=0.a的一个法向量为n=(2,l,0方法指导用待定系数法求解平面的法向量，关键是在平面内找两个不共线的向量，然后列出方
5、程组，方程组有无数解取其中的一个解即可，但要注意在取方程组的一组解时，不能都取零，否那么得到零向量，而零向量的方向不能确定，不能作为法向量.【变式训练11点人(3,0,0)田(0,4,0),(：(0,0,5),求平面人8(：的一个单位法向量答案因为八(3,0,0)为(0,4。)1(0,0,5),所以43=(-3,4,0),Ae=(-3,0,5).设平面ABC的法向量为n=3(x,y,z)依题意，应有nAB=0,nAC=O,即有，f-3x+4y=0,?解得1-3x5z=0,丁丁3:,即平面A的法向量为n(x,34z=-x,X,，),所以平面ABC的单位向量为n产，3,-3=)或nk；=G-j三=
6、5|/?|769769769n769769769【例2】在棱长为1的正方体ABCD-ABCD中，求平面ACDl的法向量n和单位法向量no.解析首先建立空间直角坐标系，再用待定系数法求解平面的法向量.答案建空间直角坐标系，如图，那么A(1.O,0),C(Oj,0).设平面ACDl的法向量n=(x,y,1).得AC=(-1,1,0),AD=(-1,OlO.又n_1.面ACD,得nJ_ZE,n_1.而，所以有X=I得,n=(l,1,1),J=1.n(1,1,1)f333n-r,/方法指导用待定系数法求解平面的法向量，应该说是个根本方法，它具有操作简单的特点，应切实掌握其实，对于此题来说,却型是一个好
7、的方法，这是因为我们可以利用三垂线定理得出直线DBl_1.ADi,DBi_1.CD1,从而DBl_1_平面ACD1,所以函就是平面ACD的一个法向量.【变式训练2正方体ABCD-ABCD的棱长为1,在BC,DD上是否存在点E,F,使而是平面ABF的法向量？假设存在，请证明你的结论,并求出点E,F满足的条件;假设不存在，请说明理由.答案建立如下图的空间直壁标系，那么必0,1),B(Ij,D,B(1,1,0).设F(O,O,h),E(m,l,1),那么M=(Oj,0),丽二(m-l,0,l),=m-l+l-h=m-h=0,h=m即在，且E,F满足DF=CE.【例3】如以下图，M、N、P分别为其所在
8、棱的出所有符合要求的图形序直的判定，比拟深刻地考E4=(l,0,l-h).,.*ABB1E=O,ABB1E.假设而是平面ABF的法向量，那么而FAE,F满足DF=CE时，而是平面ABF的法向量.所以存题型2三垂线定理及其逆定理的应用以下5个正方体图形中，线段/是正方体的条对角线，点中点，能得出/_1面MNP的图形的序号是.(写号)解析此题以正方体为依托，主要考查直线与平面垂查了空间想象能力.为了得到此题答案,必须对5个图形逐一进行判别.对于给定的正方体，/位置固定,截面MNP变动，/与面MNP是否垂直，可以从正、反两方面进行判断,MN、NP.MP三条线中，假设有一条不垂直/,那么可断定/与面M
9、NP不垂直；假设有两条相交直线与/都垂直，那么可断定/!_面MNP.答案解法一：如果记正方体对角线/所在的对角线截面为a,各图可讨论如下：在图中，MN、NP在平面a上的射影为同一直线，且与/垂直故/_1面MNP.事实上，还可这样考虑：/在上底面的射影是MP的垂线，故/MP;在左侧的射影是MN的垂线，故/_1.MN,从而/_1.面MNP.在图中，由MP_1.面a,可证明MN在平面a上的射影不是/的垂线，故/不垂直于MN.从而/不垂直于面MNR在图中，点M在a上的射影是/的中点，点P在a上的射影是上底面的中点，知MP在a上的射影不是/的垂线，得/不垂直于面MNP.在图中，平面a平分线段MN,故/_
10、1.MN,又/在左侧面的射影(即侧面正方形的一条对角线)与MP垂直，从而/_1.MP,故/_!_平面MNP.在图中，点N在平面a上的射影是对角线/的中点，故M、P在平面a上的射影分别是下、下底面对角线的4等分点，三个射影在同一条直线上，且/与这一直线垂直从而/_1面MNP.至此，得为此题答案.解法二：建立当直角坐标系O-xyz,设正方体的棱长为2,那么对角线/的方向向量可取为/=(2,2,-2).强,有诉=(Oj,0)-(1.O,O)=(T,1,O),AW(0.0,-1)-(1,0,0)=(-1,0,-1),由/MP=O,IAfN=0,得/_1_面MNP.对图电色加二(2,2,-1)-(1,0
11、,-2)二(1,2,1),由/MN0知/与面MNP不垂直.对图电直丽=(Oj,0)-(2,0,-1)=(-2,1,1),由/MPWo知与面MNP不垂直.强,有诉二(1,0,-2)-(2,0,T)=(T,0,-1),WV三(Qt2,-1)-(2,0,-1)=(-2,2,0)t由/MP=O,/丽=0,得/_1.面MNP.对图,有诉=(2,1,0)-(1,0,-2)=(1,1,2),M/V=(0,2,-1)-(1,0,-2)=(-1,2,1),由/而=O,/疝=0,得/_!_面MNP综合得此题答案为.方法指导从解法二可以看到：应用向量法讨论两直线是否垂直十分方便，操作也比拟简单，无须多动脑筋，只需要
12、计算正确即可.【变式训练3】正方体ABCD-ABCD中，E、F、G分别是棱AB、BC、BBl上的点，且BE=BF=BG,求证:BD平面EFG.答案如以下图所示，因为四边形ABCD是正方形,BE=BF,所以EFAC,又因为ACJ_BD,所以EF_1.BD.因为BD为BDI在平面AB上的射影,所以BDIJ1.EF(三垂线定理).BCl5FffiPAf:.解析欲证线面垂直,答案平面ABC所以BF_1.PA,又么FM是BM在平面PAC上同理BDEG,故BD平面EFG.例4如右图，P是AABC所在平M面外一点，且PAj_平面ABC,假设O,Q分别是AABC和aPBC的垂心，求证：OQ_1.平面PBC.只
13、须证明OQ垂直于面PBC中的两条相交线，据重心,结合PA_1面ABC,利用三垂线定理其逆定理及求解O是ABC垂心nBCA.AE。是“3版垂心=BClPE因为OQU平面PAE,所以OQ_1.BC,因为PA_1.平面ABC,BFC因为O是aABC的垂心，所以BF_1.AC,所以BF_1.平面PAC,那的射影.因为BM_1.PC,根据三垂线定理的逆定理，可得FM_1.PC,从而PC_1.平面BFM,又OQU平面BFM,所以OQ_1.PC,又PCCBC=C,所以OQd平面PBC.方法指导三垂线定理及其逆定理是证明线线垂直，特别是异面直线垂直的常用工具.利用三垂线定理及其逆定理证明线线垂直的问题时，解决
14、问题的关键是找准“一面三线”.【变式训练4】如下左图，在正三棱柱ABC=ABG中，ABBC,求证:AiC_1.Ba.答案如上右图，取BC、BC的中点分别为D、Dh由正三棱柱的性质知AD_1.面BCCB,AD_1.面BCCB,所以BD、CDl分别为ABkAIC在面BCC分上的射影.因为ABBG,所以BJ)_1.BG(三垂线定理的逆定理)又DDI分别为BC、BQ的中点,所以B】DCDi,所以CDi_1.BG,所以BG1.AC(三垂线定理).题型3利用法向量证明平行与垂直【例5】正方体OABC-0AB3的棱长为1,E是CO上的点，且C1E=E0,F是CG上的点，且C1F=FC.22(1)求平面ABG
15、的一个法向量；(2)证明EF平面AlBC1.解析一建立恰当的空间直角坐标系，用待定系教法求出平面ABG的一个法向量n,然后证明后z1.n.答案建立如右图所示的空间直角坐标系，那么B(l,l,0),All,0,1),G(Oj,1).。)设n=(x,y,z)是平面AIBCl的一个法向量，：BA=(0,-1,1),BCl=(-1,0,1),/.x=z=y.-X+z=0,取x=y=z=l,那么n=(l,1,1)为平面AiBCi的一个法向量.,从而nB=0,nBC1=0f-y+z=0,(2) 要证明EF平面ABG只要证明EFn.*/E(0,1)F(0,1,),EF=(0,-).3333r11VnEF=-
16、=0,nEF,，E平面AiBCi.33又EF不在平面ABa内，EF平面AiBCu方法指导由于有了第(1)小题,所以产生了上面第(2)小题的证明方法对于第小题的证明也可以由E/=191.I.C1F-C1E=-(C1C-C1O1)=-(B1-B,1)=-A/,得M/A,B,EF平面AB3,又EFa平面ABG,故EF来证明.分别是BB、DDl的(DFG平面(2)平面ADED(0,0,0)、以属=(021)、设向量，那么EF平面ABG.或由加=(O,g,-g),踵=(0,l,T)=3【变式训练5】正方体ABCD-ABCD的棱长为2,E、F中点,索证：ADE；平面BCF.答案如以下图，建立空间直角坐标系
17、D-xyz,那么有A(2,0,0),C(0,2,0)、Ci(0,2,2),E(2,2,1).F(0,0,l),所QA=(2,0,0)、AE=(0,2,l).11=(x,y,Z),rh=(x2,y2,Z2)分别是平面ADE、平面BiCiF的法DA,mAE,nlDA=2x=0,nAE=2y+z=0,Z=-2y,那么Iu=(0,1,-2).【例6】在正方点P,使得平面AEP同理可求n2=(0,1,-2).(1) Vnl-FQ=(0,l,-2)(0,2,1)=0,n拓，又FGO平面ADE,FG平面ADE.(2) mrh,I.平面ADE平面BCF.体ABCD-A1B1C1D1中，E是棱BC的中点，试在棱
18、CG上求一_1.平面C1DE.解析假设要在棱CG上求一点P,使得平面ABP_1.平面GDE,需建立恰当的空间直角坐标系，并设出点P的坐标,求出平面A1BiP与平面C1DE的法向量，建立方程求出点P的坐标,确定点P的位置.答案如右图，以D为原点，建立如下图的空间直角坐标系，设正方体的棱长为1,那么P(O,l,a),A1(l,O,l),B1(l,l,l)E(-,l,O),_2C1(O1.I)，逋=(0,1,0,4P=(-l,l,a-l)，DE=(一,1,0)DC.=(0,1,1).21nyAB1=0,个法向量为m=(x,y,z),那么，=H1A1P=O,y=0,-x+y(-l)z=0.令z=l,那
19、么得x=aT,所以平面AlBD的一个法向量为nl=(a所,0,1).设平面A1BiP的一设平面ClDE的一个法向量为n2=(x,y,z),H9DE0,x+y=0,那么27令y=1.那么得产-2,z=T,所以平面CBD的一个法向量为8=(-2,1.-D.72DC1=0,y+z=O.因为平面ABP_1.平面CiDE,所以mn2=0,=-2(aT)T=0,解得a=1.所以当P为CCl的中点时，平面AlBIPj_平面2CiDE.规律总结此题是确定点P的位置，但考查的是两个平面垂直的充要条件，解决此题的关键是建立恰当的空间直角坐标系，求出两个平面的法向量.这里法向量的坐标一个都不能求错，否那么将得到错误
20、答案.答案不妨设CA=2,那么CE=2,BD=l,C(0,0,0),A(JJ,l,0),B(0,2,0),E(0,0,2),【变式训练6】如以下图，aABC是一个正三角形,EC平面ABC,BDCE,且CE=CA=2BD,M是EA的中点.D(0,2,l),三=(3tl,-2),CE=(0,0,2),D=(0,2,-l),SWCEA与面DEA的法向量是n=(x,y,z)、112=(X2,JT2,Zs),所以得不妨戢m=(l,-3,0),廿(3,1从而计算得n1廿0,所以两个法向量相互垂直，两个平面就相互垂直.规律方法总结(1)求平面法向量的方法：求一个平面的法向量的坐标的方法步骤：建立空间直角坐标
21、系，设出平面的法向量为n=(x,y,z)找出(求出)平面内的两个不共线的向量的坐标a=(a,bl,cl),b=(a2,b2,c2).根据法向量的定义建立关于x、y、X的方程组二解方程组,取其中的一个解，即得法向量.由于一个平面的法向量有无数个,故可在代入方程组的解中取一个最简单的作为平面的法向量.(2)用空间向量证明平行问题，主要是运用直线的方向向量和平面的法向量，借助空间中已有的一些关于平行的定理，再通过向量运算来解决.(3)用空间向量证明垂直问题，主要是运用直线的方向向量和平面的法向量，借助空间中已有的一些关于垂直的定理，再通过向量运算来解决.定时稳固检测根底训练1 .以下说法中不正确的选
22、项是()A.平面a的法向量垂直于与平面a共面的所有向量B一个平面的所有法向量互相平行C.如果两个平面的法向量垂直，那么这两个平面也垂直D.如果a,b与平面a共面，且na,nb,那么n就是平面a的一个法向量【答案】D(点拨:a与b所在直线必须为相交直线时,n才是平面a的一个法向量，否那么不是.)2 .给定以下命题:假设分别是平面a,B的法向量，那么OaZ/B;假设m,也分别是平面a,B的法向量，那么aBom112=0;假设n是平面a的法向量，且向量a与平面a共面，那么a-n=0;假设两个平面的法向量不垂直，那么这两个平面定不垂直其中正确命题的个数是().1B.2C.3D.4【答案】C(点拔:正确
23、,中a7p=mnmt)3 .给定以下命题:假设a是平面a的斜线，直线b垂直于a在平面a内的射影，那么a_1.b；假设a是平面a的斜线，平面B内的条直线b垂直于a在平面a内的射影,那么a_1.b；假设a是平面a的斜线,直线bua,且b垂直于a在平面B内的射影，那么a_1.b；假设a是平面a的斜线，直线bua,且b垂直于a在平面a内的射影,那么a_1.b.其中，正确命题的个数是()A.1B.2C.3D.3【答案】B(点拨：根据三垂线定理及其逆定理判断只有正确.)4 .RtBC的斜边BCC平面a,顶点Aea,那么AABC的两条直角边在平面a内的射影与斜边所成的图形只能是()A.一条线段或一个直角三角
24、形B一条线段或一个锐角三角形C.一条线段或一个锐角三角形Q一个锐角三角形或一个直角三角形【答案】人点拨：当平面ABCl平面a时,RtAABC在平面内的射影是一条线段.当平面ABC与平面a斜交时,如右图所示，过A作AOa,连接BO,CO,BoC是钝角，所以ABOC是钝5.设A是空间任意一点，n在ABOC,AB2-AO2=BO2,在RtAOC,AC2-AO2=CO2,在RtABC中，AB2+AC2=BC2,在RtABC中，CosZBOC=Q2+CO2-BC2,2BOCO将代入,得cosZBOC=-心0,所以N24OCO角三角形.)为空间任一非零向量，那么适合条件AM-n=0的点M的轨迹是.【答案】
25、过点A且与向量n垂直的平面(点拨：AM-n:0称为一个平面的向量表示式，这里考察的是根本概念.)能力提升6.而二(2,2,1),尼二(4,5,3),那么平面ABC的单位向量是.【答案】土(-,-)(点拨:设单位法向量n=(x,y,z),333x2+y2z2=l,2x+2y+z=0,解得4x+5y+3z=0,11X=-,X=一一，3322)，=一不，或3322Z=-Z=.33)7.如以下图,PA垂直于。所在的平面,AB是。O的直径,C是。上的一点,E、F分别是点A在PB、PC上的射影，给出以下结论：AF_1.PB；EFj_PB；AFj_BC；AEJ_平面PBC.其中真命题的序号是.【答案】(点拨
26、:利用三垂线定理及其逆定理判断即可.)8.如右图所示，在四棱锥P-ABCD中，PA_1.底面ABCD,底面各边都相等,M是PC上的一动点，当点M满足.时，平面MBDI.平面PCD.(注：只要填写一个你认为正确的条件即可)【答案】DM_1.PC(点拨：由三垂线定理可知BDPC,当DMX有PCj_平面BMD.所以平面MBD_1.平面PCD.)ADC都是以D为直角顶点的直角三角形，且AD=BD=CD,ZBAC=60o.ADC；的垂心，求证:H是D在平面ABC内的射影AD=BD=CD,NADB=NADC=90,所以AADBgAADC,AB=AC,三角形,所以AB=BC,所以ZiABDgZkCBD,所以ABDC为直=90,BD_1.CD.又BD_1.AD,所以BD_1.平面ADC.(2)如右图所示，设D在aABC内的射影为H,连接CH并延长交AB于E,因为CD_1.AD,且CD_1.DB,所以CD_1.面ADB,所以CDJ_AB,由三垂线定理的逆定理得长交AC于F,可得BFJ_AC,所以H为aABC的垂心，即DABC的垂心，所以H与H重合，即H是D在平面ABC内的PC(BMUC)时，即9.如右图，ZiADB和CE_1.AB.同理，连接BH并延在平面ABC内的射影为射影.【答案】(1)因为NBAC=60。,所以AABC为正角三角形，NBDC(1)求证:BDj_平面(2)假设H为AABC
