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1、e=时COs(,e)理解数量积的几何意义案例二精析精练课堂合作探究重点难点突破知识点一两个向量夹角空间两个向量与匕的夹角的定义与平面内向量与匕的夹角的定义类似。(1)定义：两个非零向量。，b在空间任取点O,作5Z=,丽=Z?,如以下图，那么NAoB叫做向量。与b的夹角，记作(。,劝。(2)(。力)的取值范围：0(Q)乃，在这个规定下，两个向量的夹角就被唯一确定了，并且(a,。)=。,。)。如果(,。)=90。，那么称与人互相垂直，记作a_1.b.知识点二异面直线及两异面直线所成角异面直线：把不同在任一平面内的两条直线叫做异面直线。两条异面直线所成的角：把异面直线平移到一个平面内，这时两条直线的
2、夹角(锐角或直角)叫做两条异面直线所成的角，如果所成的角是直角，那么称两条异面直线互相垂直。点拨(1)两个向量的夹角是将表示两个向量的有向线段的起点重合而形成的角。(2)两条相交直线的夫角是指这两条直线所成的锐角或直角，即取值范围是0。,90。,而向量的夹角可以是钝角,其取值范围是0。,180。知识点三两个向量的数量积(1)定义：空间两个向量。口，总可以把它们平移到一个平面内，把平面向量的数量积力=同WCOS(。力)叫做两个空间向量。力的数量积(或内积)。(2)两个向量的数量积是一个实数，这个实数的大小与两个向量的长度及其夹角的余弦值有关。其关系为：当O;当(,。)=90。时“包=0；当9(,
3、)180。时,ab+c)2=tZ2,于是a2+b2+c2+2Z?+2Z?=-所以布话=8(百力-4)=符2,|羽=科=1,|可二露回一)二i访=B=1函2=(。一4)(j-4)=4,所以ICq=2。所以CoS(而,京)=导同而)=arccos.。即异面直线Ao与CG所成的角为，题型3空间向量数量积与垂直【例4】如以下图，在空间四边形ABCO中，A81.CD,ACVBD,求证ADlBCo解析欲证Ao_1.BC,只须证明通前二O,即只需而前用向量M无而i丽表示出来后，进行向量运算即可。答案令而=,元=而=C,因为43_1.CD.所以而CO=O,即(c-b)=0,所以c=仇因为AC_1.3O,所以尼
4、丽=O,即(c-)=O,所以b.c=ba,所以c=Oc,cb-)=O,即诟元二O,所以AO_1.BC。规律总结此题也可以通过证明线面垂直，进而证明线线垂直，上述解法新在借助于向量运算将空间线线垂直关系转化为向量关系解决，大大降低了运算量。【变式训练4】正方体ABCo-A与GA中，M,N分别为正方形A3CO和AA瓦B的中心。(1)求证：AC1_1.平面ABO;(2)求方石与画夹角的余弦值。答案(1)设筋=。,而=Z?,旗=C,那么X=0+b+c,BD=b-aJ=a-co注意b=c=bc=O那么有AQBD=a+b+c)(b-a)=例2Tar=OO同理，斯踵=0。.AqBD,q4,近_1.平面AB。
5、(2)cos(57?,av)=-1o题型4向量数量积与线段长【例5】如以下图所示，线段平面,8CU平面,CDIBC,。尸_1.平面a,且NOB=30,。与A在平面Q的同侧，假设43=8C=Cz)=2,求AO的长。解析求线段AO的长，可以转化为求其对应向量模的长。答案因为I羽2=布=施+於+而1=A+B?+c5+2AC+2BCc5+2ACD因为AB=BC=CD=2,所以AB=BC=CO=2。因为AB_1.平面,5CU平面,所以A8J_BC,所以A8BC=00因为CZ)_1.5C,所以CO8C=00所以将上面的结果代入如下图，NDCF=30o,.ZCDF=60。又因为A8_1.a,b_1.a,所以
6、ABDF,(a,dc=(DF,5c)=60,所以屈5)=12I网2的表达中，得AD2=2222+22+0+0+222-1=8,I2所以南2=2/5,从而AQ=25规律总结求线段的长，可以转化为求对应向量的模长，而求向量的模可用公式,/=来求解。在解此题的过程中，要注意(而,而)二180。-5良女)。【变式训练5】如以下图所示，正方形ABCO与正方形A3的边长均为1,且平面ABeD_1.平面ABEF,点M在AC上移动，点N在B尸上移动，假设CM=BN=(J5).(1)求MN的长度；(2)当为何值时，MN的长最小。答案U)由得元=,CM=BN=a、2QF+5(0Va0(,b)0,；1.2)8=OU
7、(,/?)二工；202,c）=-,且Ia=1.MI=2,d=3,那么+c=。【答案】J17+66（点拨：.tz+Z7+c2=（+Z?+c）2=2+Z?2+c2+2aZ?+2ac+2/?-c?=17+63,.*.7+Z?+c?|=V17+63o）9 .在平行六面体A38A夕CTy中，AB=4,AO=3,AA=5,ZBAD=90o,ZBA4,=ZZMAz=60,那么AC等于。【答案】85（点拨：AC=B+BC+CCAC2=2+cj+f+2+2ABCC+2BCCC.=16+9+25245cos600+235cos600=85,AC=85)10 .以下命题：如果=4方(义工0),那么白=力；如果c=O
8、c(cw),那么=/?；如果c=O,那么_1.b；如果b=T44O,那么与b的方向相反；如果cv,那么与b的夹角为钝角。其中假命题有O【答案】(2X5)(点拨：中GCVO时，可能。与6共线且反向。)1.直四棱柱ABCZ)-A4G中，NAOC=90o,AABC为等边三角形，且AA=AD=OC=2,求AG与BC所成角的余弦值。【答案】取AC的中点E,连结七、BE,在AAOC中，AO=OC=2ZADC=90p,:.DE1.AC,DE=42o在A8C中，AB=BC=AC=22,BE-1.AC.BE=y6,那么B、E、D共线，Z)=2+6=2(l+3),在直四棱柱中ABCZ)4耳G。中有AC1=DC.-
9、D=DC+DD1-DA,/.Aq2=5cj2+D2+DA2+2CD-DC5a-DDA=4+4+4+2(0+0+0)=12AqBC=(DC+5q-5A)(DC+DB)=52=dzdc-pa-5c-5czS-5-5b+dadb=4+0-0-2(2+6)cos450-0+2(2+6)cos450=40异面直线AG与BC所成角的余弦值为6612.四边形ABCD中,/A=/B=4C=ZD=Z,用向量运算，证明四边形ABCD是矩形。2【答案】如以下图所示，设A8=,3C=ACD=c,那么AO=a+6+c。AZA=ZB=ZC=ZD=-,2“b=bc=c(+Z?+C)=(+Z?+C)=O,/.c(a+c)=0fa(a+c)=0两式相加，得(+c)2=0,那么+c=O,即a=-c(于是。C,ABHCD,故四边形ABCO是平面四边形。所以四边形A8CD是矩形。
