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1、案例二精析精练课堂合作探究重点难点突破知识点一双曲线的定义平面内与两个定点匕，F2的距离的差的绝对值等于常数(小于恒且不等于零)的点的轨迹叫做双曲线，这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点的距离叫做双曲线的焦距。注意(1)在此定义中“常数要大于。且小于比Br这一限制条件十分重要，不可去掉。(2)如果定义中常数改为等于比巴|,此时动点轨迹是以尸、尸2为端点的两条射线(包括端点)。(3)如果定义中常数为0,此时动点轨迹为线段KF2的垂直平分线。(4)如果定义中常数改为大于忸耳此时动点轨迹不存在。(5)假设定义中“差的绝对值”中的“绝对值去掉的话,点的轨迹成为双面线的一支。设May)为双曲线上的任意一点
2、，假设M点在双曲线右支上，那么MFMFMF-MF=2a(a0)；假设M在双曲线的左支上,那么IM制,b0)(焦点在X轴上)和a“b22-三=1(。,Z?0)(焦点在y轴上)，可以看出，如果/项的系数是正的，那么焦点就在abX轴上；如果丁项的系数是正的，那么焦点就在y轴上。对于双曲线，4不一定大于6,因此不能像椭圆那样通过比拟分母的大小来判定焦点在哪一条坐标轴上。焦点在Jl轴上的方程，只要将x,y互换就能得到焦点在y轴上的方程。(2)无论双曲线的焦点在哪个坐标轴上，标准方程中的0,8c三个量都满足。2=+所以,b,c恰好构成一个直角三角形的三边，且C为斜边,如下图。2.求双曲线标准方程的方法(1
3、)定义法假设由题设条件能判断出动点的轨违是双曲线，可根据双曲线的定义确定其方程，这样可以缄少计算量。（2）待定系数法作判断：根据条件判断双曲线的焦点在X轴上还是在y轴上，还是两个坐标轴都有可能。2222设方程：根据上述判断设方程为二一1二1或二二1。寻找关系：根据条件列出关于。的方程组。得方程：解方程组代入所设方程即为所求。（3）特别提醒与椭圆情况类似，方程I/+）?=（,加0）表示的曲线为双曲线，它包含焦点在X轴2222上或在y轴上两种情形。假设将方程变形为:+吊=1,那么当机0,0时，方程为吊一十二1,它表mnmn示焦点在X轴上的双曲线，此时=J,b=22；当机0,0时，方程为j-=1,它
4、表不焦点在y轴nm上的双曲线，此时Q二因此,在求双曲线的标准方程时,假设焦点的位置不确定，那么常考虑上述设法。曲型例题分析题型1双曲线的定义及应用【例1】双曲线上一工=1上一点尸到右焦点的距离是5,那么以下结论正确的选项是（）25144A. P到左焦点的距离为8B. P到左焦点的距离为15C. P到左焦点的距离不确定D.这样的P点不存在答案A和C易判断是错误的,对B而言,假设IP用=15,1P闾=5,那么IP耳+P闾=20,面忸6|=26,即有户用十户闾|尸闾=26,这与“三角形的两边之和大于第三边相矛盾，可见这样的点尸不存在，因此选D。错因分析易产生如下错解：设双曲线的左、右焦点分别为耳、F
5、2,由定义IPMHP闾=因为IP用=5,所以IP周=IP闾+10=15,应选B。错解的原因在于无视了双曲线定义中的限制条件,即除了考虑IP制TP图=2vc,还要考虑IPM+pg闺闾这一条件;（2）对双曲线定义的理解并掌握需全面,有些外表上似乎是“微小的，但在具体问题中可能就是关键。下22【变式训练1】双曲线3-气=1上一点尸到左焦点K的距离归制=10,求P点到右焦点尸2的距离IP闾。答案点尸在双曲线上，由题意可得归周TP到=幼=6。.加OTP9=6,解之得I尸囚=4或IP闾|=16,故所求的IP闾的长为4或16。【例2】双曲线16/一9y2=i44的左、右焦点分别为耳、F2，点?在双曲线上，且
6、IP耳卜归闾=64,求耳夕爸的面积。解析知道PP周的值,假设用SA=JP耳H尸可sinN6尸鸟来求,只需出NGp工的大小。22答案双曲线的方程可化为5-春=1,那么=3,b=4,c=5,由双曲线的定义知：归制一归司=6,又闺闾=2C=I0,所以在AEPB中，由余弦定理，得:规律总结利用双曲线的定义和解三角形知识来解。在其过程中并没有单独解出IP制和IPq，而是将IPEH尸闾看成一个整体，这有利于优化计算，这一一点值得同学们体会；（2）一般地,对于双面线*卓二1,假设耳，尸2是其两个焦点,产2=。,队那么三角形WPB的面积为从COt,利用这个结论可以很方便地解决一些问题。22【变式训练2】（1）
7、双曲线二一当=l（0消0）,过焦点匕的直线与该双曲线的同一支交于A、B两ab点，且IA二机，另一焦点为工，那么A4BF2的周长为（）A.4aB.4a-mC.4。+2mD.4a2m（2）设片与尸2是双曲线亍一丁二1的两个焦点，点P在双曲线上，且满足NEPK=90。，那么的D.5AF-AF=2a.,面积是（）A.1B.bC.22答案（1）如右图所示，由双曲线的定义知：忸闾忸同=2所以IA闾一忸阅=4+A+忸制=4a+AB=4+m,从而A6F2的周长为4a+2m,故选C。（2）由例2的结论可知6PF?的面积是1，选A。题型2判断曲线类型X2V2【例3】（1）方程=1表示焦点在y轴上的双曲线，求上的取
8、值范围；k32kX2y2（2）研究方程二一+一=1表示何种曲线。k-32-k22/八答案（1）方程工+-J=I表示焦点在y轴上的双曲线，.（一.%v20kr3220,-30V2v2（2）当.即2女3时，方程无解，一+二一二1不表示任何曲线；2-k3时，二+上=1表示点在算X轴上的双曲线；2-kk-32-kk-30,2y2当.1即20,k-32-A当人一32女0,女不存在；当2攵k-30,k不存在；当k-3=2-k,即4=）时,k-3=2-k=-,+上一=1不表示任何曲线。222-32A2222规律总结方程+二l或土一I1.=I不能易认为它们分别表示椭圆或双曲线，因mnmn22为这里加、的符号及
9、大小关系都不确定。正确判断应是（仅针对工+工=1作答复）mn当机0（或m0）时,其表示焦点在X轴（或y轴）上的椭圆；当机=0时，其表示圆；当20时（或）,其表示焦点在X轴（或y轴）上的双曲线；当机0,l时，产0,产一10,曲线C为椭圆；当M0j2-i0,曲线。为双曲线。（2）当Ml时，曲线C是椭圆，且产产一1,因而C?=一/=/一02一）=1,当M0,0）。.Im=2,./n=1,半焦距c=2,=c-m=3o.所求点C的轨迹为双曲线/一=1（工1）。规律总结在运用双曲线定义确定标准方程时，要紧扣定义即符合条件的动点的轨迹是一支还是两支，还要注意将满足方程，但不在轨迹上的点除去,此题所求的轨迹就
10、是双曲线的一支，且除去顶点O【变式训练4】圆G：（x+3F+y2=l和圆。2：（1+3）2+/=9,动圆M同时与圆G，及圆G相外切，求动圆圆心M的轨迹方程。设动圆M与圆G及圆G分别外切于点A和3,根据两圆外切的条件,得IMGIT4G=M4，.IMGITAGITMGHBGI，即IMGHAG卜2。这说明动点M与两定点C2、G的距离的差是常数2。根据双曲线的定义，动点”的轨迹为双曲线的左支(点”与G的距离大，与G的距离小)，这里=l,c=3,那么从=8,设点M的坐标为(x,y),其轨迹方程为：X2=l(x0),把点A坐标代入,得畀,解得Z?2=-X0),把点A坐标代入，得占：,=1V2X2线方程为乙
11、一上二1。16994-323=1,设双曲线方程为AX2-3),2=1(aB0),将点坐标代入，得彳81_解得A=-1./?=-一。16,所以所求方程为2二一E=Io169规律总结(1)题由于焦点的位置不确定，因此在设双曲的标准方程的时候要分两种情况讨论。(2)题也可仿(1)题讨论求解，但是两点求双曲线方程，一般设方程的形式为Ar2+By2=l(480,b0),ab-W=I那么有a2+b2=369解得!”2技b=4,22故所求的双曲线标准方程为斗-二二1。2016(2)设所求的双曲线方程为4+ay2=(A30),又双曲线过P、。两点,9A+28B=1,72A+498=1,175125所以所求方程
12、为工一工二1。2575规律方法总结(1)双曲线两种标准方程形式的统一式：双曲线/nd+区尸=1(加0,0时，方程(*)表示焦点在X轴上的双曲线；当时，方程(*)表示焦点在y轴上的双曲线。(2)由含参数的方程判断动点轨迹时，对参数取值的讨论不可遗漏。(3)求双曲线标准方程的方法：定义法:假设由题设条件能判断出动点的轨迹是双曲线，可根据双曲线的定义确定其方程，以减少运算量。待定系数法，其步骤为：a.作判断：根据条件判断双曲线的焦点在X轴上还是在y轴上，还是两个坐标轴都有可能；2222b.设方程：根据上述判断设标准方程为v=1或7一言=1；a-b-ab-C.寻关系：根据条件列出关于,4c的方程组；d
13、.得方程：解方程组代入所设方程即为所求。（4）由方程的形式判断曲线的类型。解决这类问题的方法是选择适当的分界点，依据曲线标准方程的形式对参数的取值进行分类讨论。定时稳固检测根底训练1.A（OT）B（0,43尸.一归耳=2，当=3和4时，点尸轨迹分别为（A.双曲线和一条直线B.双曲线和两条射线C.双曲线一支和一条直线D.双曲线一支和一条射线【答案】DI点拨：依据双曲线的定义处理。）2 .方程02-y2=力，且而o,那么它表示的曲线是（）A.焦点在X轴上的双曲线B.圆C.焦点在y轴上的双曲线D.椭圆X2V2V2X2【答案】C1点拨：原方程可变形为工r-=1,即Tr-=1o）bbbbaaaa3 .设
14、双曲线看一5二1上的点P到点（5,0）的距离为15,那么尸到（一5,0）的距离为（.7B.25C.5或25D.7或23【答案】D（点拨：根据双曲线的定义，点P可以在左支，也可能在右支。）224 .方程J二I表示双曲线，那么女的取值范围（）1+k-kA.-1A:0或攵0。）5假设双曲线Af-22y=1的一个焦点是（一4.0）,那么k=。311【答案】3（点拨：据题意知&0,于是士+-=16。）32kIk能力提升X2y2X2V2假设椭圆二+2=1与双曲线二一？一二1有相同的焦点，实数机的值为（）4mtn2B.1或3D.3.1C.1或3或-2【答案】a(点拨：显然机o,于是焦点都在X轴上,故有二w=
15、M1132,)X2y27.假设方程-=1.-=I表示焦点在X轴上的双曲线，那么实数机的取值范围是o9-m4-727【答案】相(),460。)8求焦点分别是(0,3)和(0,-3),且经过点P(,2j5)的双曲线的标准方程。22【答案】据题意设双曲线方程为5=1,由条件知。=3,从而/+从=9。由双曲线经过点p(J5,25),Q5v2Y2所以有:一二二1,解得/=4/2=5,故所求的双曲线方程为乙一二=1。ab452v29 .大,工是双曲线正一玄=1的焦点，PQ是过焦点E的弦,且尸Q的倾斜角为60。，那么|尸国+|。闾TPq的值为O【答案】16(点拨:依据双曲线的定义处理,此外此处的尸。的倾斜角为60是多余的条件)X2y210 .双曲线记一方=1的两个焦点为耳,鸟，点尸在双曲线上，假设尸耳_1.P/求点P到X轴的距离。【答案】由题意知(一5,0),鸟(5,0),设点尸(,%)，),那么由/_1/?入得/+/=25,与双曲线1方程联立得+V=25,X2y2解得N=U,即点尸到X轴的距离为U。=1,55916
