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1、微专题22函数嵌套问题【题型归纳目录】题型一：“/(/(*)=型问题题型二：/(g()=人型问题题型三：复合函数y=()-X的零点问题题型四：复合函数y=g()-的零点问题题型五：含参二次函数复合型零点问题题型六：零点求和问题题型七：其他型【典型例题】题型一：“/(/(*)=型问题例1.设函数/(X)=幻X-2I，/是函数g(x)=(f(X)-I的所有零点中的最大值，若(%,Z+1)(AZ),则Z=.【解析】解：,函数/(x)=xx-2,当x(0,2)时，f(x)=xx-2=x(2-x)=-(x-)2+,y1；又/是函数g(x)=(x)-l的所有零点中的最大值，所以/(O)=1+应，且/(2)
2、=01+应,因为j(A,k+1)(/:Z)所以A=2,故答案为：2.例2.设函数f(x)=xx-2,则当XW(0,2)时,函数/(x)的最大值等于，若/是函数g(x)=(X)-I的所有零点中的最大值，且陶e(k,Z+1)(AZ),则Z=.【解析】解：当XW(0,2)时,f(x)=xx-2=x(2-x)=-(x-I)2+1,1;作函数/(X)=KlA2的图象如下,X=I或=l+&：又与是函数g(x)=f(x)-l的所有零点中的最大值，.f(%)=l+应；且7(2)=0l+2；故k=2.故答案为：1,2.例3.己知函数/(幻=也叱+(7叫则函数g(x)=/Va)-1的零点个数为()5-x,3,+)
3、A.3B.4C.5D.6【解析】解：令g(x)=/(/(x)-l=O,可得/(x)=-g或r)=l或f(x)=4,函数/()=T%+T3)的图象如图所示，5-x,xw3,+oo)由图象可知，当/*)=-3时，有1个解；当/(幻=1时，有3个解；当了3=4时，有1个解.综上所述，函数g(x)=f(x)-l的零点个数为5个.故选：C.变式1.已知函数/(x)=FgFI)1，则函数g(x)=/V(X)-1的零点个数为()l-x+4x,XOA.4B.7C.8D.9【解析】解：令/(X)=1，解得x=2G或=一1,则令g(x)=O,可得*)=2J或/(x)=-l,作出函数/(x)的图象如图所示，由图象可
4、知，/()=2+6有3个零点，f()=2-有有3个零点，/(X)=T有1个零点,故函数g(x)有7个零点.故选：B.变式2.已知函数人幻=(T)F),则函数g(%)=f(x)+l的零点个数是()x-2,(x.0)A.1个B.2个C.3个D.4个【解析】解：设M=(x)+1,解/(M)=O,得M=2或M=T,当M=-I时，由f(x)+l=T,得log2(-x)=-2或%-2=-2,即得K=O或X=-1.4当Af=2时,由f(%)+l=2得W即Iogz(T)=I或x-2=1.即4=一2或x=3,综合得:函数g(x)=(x)+l的零点为：工=一2或x=3或X=O或x=-!共4个；4故选：D.变式3.
5、已知函数f(x)=f+q,集合A=x(X)=0,xgRfB=(xf(f(x)=0,xR,若3为单元素集，试求q的值.【解析】.集合A=b(x)=0,B=x(x)=0)/.ABB=xf(fM=0=x/2(x)+/(x)+=0)=xKf(X)+；/+g-；5为单元集，./(X)=g,4A=x(x)=0)=xx2+x+q=O,xwR,当A=0时，8=0不符题意，故A。，当A=x|x=_；)时，=1-4=-J.方程f+g=0有2个不相等的实数解:_f-l-yl-4fT+Jl-4%=122AB当二1一年而WBM有7一年而=解得：=弁2巨或%=三虫（舍去）.同理当士号CB时有“=下或呼（舍八妗卜-3+23
6、多人上,C1.=-4题型二：/(g(x)=A型问题例4.已知函数/(幻=一/一21，g)=无x+l,x,O(1)求g(1)的值；(2)若方程g(x)-=O有4个实数根.求实数的取值范围.【解析】解：(1)f(1)=-1-2=-3,gf=g(-3)=-3+l=-2,即g(I)=-2.(2)令/(x)=t,则原方程化为g(t)=a,易知方程/(x)=f在E(fo,l)内有2个不同的解，则原方程有4个解等价于函数y=g()(rl)与y=的图象有2个不同的交点，作出函数)，=g(/1)的图象，如图；g=1+i=g*)=x+2E=2xg=l,由图象可知，当l,3时，函数y=g(f),1)与y=有2个不同
7、的交点，即所求的取值范囿是口，j).例5,设函数/(x)=-%2-2x,g(x)=fh(x)gf(x).x+l,x,O(1)求函数MX)的单调递增区间.(2)若关于X的方程力(x)-=0有4个不同的实数很，求实数”的取值范围.【解析】解：(1)令一/一2X=O得，x=0,或=-2;.当X,-2,或x.O时，f(x,0,当一2vxv0时，F(X)0；.h(x)=/（八）+wi-2x+l,x剌-2或XO当X,-2时，函数(X)为增函数；x.O时，函数力(X)为减函数;当一2vxv0时，令f(x)=r,Ovivl,设y=h(x)则：y=/+Ovrvl,y=/+为减函数,/(1)时，yO,y=r+为增
8、函数；24r令/(X)=-炉-2x=；，WlJx=-l-,当-2工-1-4时，/(%)为增函数，g(x)为减函数，故(X)为减函数；当-1-等%-1时，/(乃为增函数，g(x)为增函数，故人(Jo为增函数；当7xT+#时，/(x)为减函数，g(x)为增函数，故h(x)为减函数;当-l+x,MX)=g(),求函数(X)的单调递增区间.x+l,x,1O【解析】解：令一x2-2x=0得，x=0或=-2;.当二，-2,或x.0时，F(X)M0,当一2vxVO时，U)0;/、f(x)+-77-2X0./?(%)=4(x)；-X2-2x+,xJ-2,或X0(1)当工，-2时，函数力(功为减函数；(2)当-
9、2xv0时，令/(x)=r,Ovrvl,14/2-I设y=(x),则：y=t+,Ovrvl,/=-；4r4广.f(0,q)时,y0,y=r+0为增函数;令/(X)=-X2-2x=;,则x=T*,.当-2xT-孝时，/(%)为增函数，g(x)为减函数，故力(X)为减函数：当-l-*xT时，/(X)为增函数，g(x)为增函数，故人(%)为增函数；当-lxT+喙时，/(x)为减函数，g(x)为增函数，故力(%)为减函数：当-l+vx04x值范围是.【解析】解：由题意可得函数y=g(x)与函数y=有4个交点，如图所示:故答案为U，彳).变式5.已知函数/(x)=J3f+,g(x)=+薮,则当方程g(x
10、)-=O有6个解时”的取一厂6x8,尤，O值范围是()A.a3或一&,(IC.a-D.网71444【解析】解：.函数f(x)=3-3f+1,g()=g()=/+元*,_%26x&,0f,W=3d-6x,令ra)=o得：x=o.或工=2,故当X=O时，函数/(外取极大值1,当x=2时，函数取极小值-3;则fM与y=根的交点情况为：当zwv-3,或时，有一个交点；当帆=一3,或?=1时，有两个交点；当-3z0,即-4Z+440恒成立，则=16/160恒成立,即对任意。R，Z/-4+4。0恒成立，所以(-4)2-44a0，所以2_0,awR,e为自然对数的底数)，若存在beO,1使/(/(b)=b成
11、立，则。的取值范围是.【解析】解：存在b0,1,使/(f(b)=6成立.存在btO,1,使/(b)=,(b)即函数/(x)与其反函数/(幻在0,1上有交点./(幻=正+/一4在0,1上为增函数.函数/(x)与其反函数“)在0,1的交点在直线y=X上，即函数/(x)与其反函数/T(x)的交点就是/(x)与y=x的交点令：ex+x2-a=x2,则方程在0,1上一定有解.a=ex,掇We.故答案为：1领fae.变式6.设函数/Cr)=/+%+。.若对任意R,均有/(/(x)x,则实数C的取值范围是.【解析】解：函数/(x)=Y+x+c.若对任意xR,均有/(/(x)x,即为f(x2+x+c)XtBp
12、(2+X+c)2+X2+X+2c,可得(f+x+c)2+X2+2c0恒成立，由(V+c)2+2.0,即有c0,故答案为：c0.变式7.对于函数/(x),若/(x)=t,则称X为了的“不动点”，若/(f(x)=x,则称X为/*)的“稳定点，记A=x(x)=x,B=f(f()=i则下列说法错误的是()A.对于函数f(x)=x,有A=8成立B.若/*)是二次函数，且A是空集，则B为空集C.对于函数/(x)=(Jx,有A=B成立D.对于函数/(x)=2,存在be。”)，使得A=B成立X【解析】解：对于小函数/(X)=X,A=xIX=M=R=8,故A正确；对于3：若/(x)为二次函数，A是空集，则对任意
13、实数4，方程/(x)=X无解，这样/(/(x)=X也无解，所以8也为空集，故B正确；对于C：函数/(x)=g)为单调减函数，任取x0则(；)=x0,而/(/(%)=(；)=/(%)=不，即人口8，反之，任取%8,则/(g)%)=%，若(g)*%,则(；)M)为，出现矛盾,若10为，出现矛盾，所以(g)%=%，则BqA，综上所述，A=B故C正确；对于D：对于函数/0)=2,X由f(x)=X得2=b,X当b0时，X=yb,所以A=6，的,又W(X)=/自，=x,X_X所以8=xxw0,所以AW8,故O错误；故选：D.变式8.对于函数f(x),若/Gro)=%,则称XO为函数/(x)的“不动点”：若
14、/(/(/)=/，则称/为/*)的稳定点”，如果函数/(x)=a?+l(awR)的稳定点恰是它的不动点，那么”的取值范围为()13311A.(-,-B.(,+)C.-,D.(-1,44444【解析】解：/为函数/(X)的不动点”,则方程/(x)=x,即2+l-x=0有实根，故=4.0,.,工，4如果“稳定点”恰是它的“不动点”，则上述方程的根%为方程f(/()=，即0+l=x的实根，方程f(x)=x可化为：a(r2+l)2+l=x,W4z(ar2+I)2-v2+r2+1=X,利用平方差公式分解因式得,/.a(ax2+1+x)(r21-x)+(2+-)=0,.*.a(x2+a-x)(x2+x+a
15、+l)=O,.函数f(x)=公2+l(R)的稳定点”恰是它的“不动点”，.方程/+x+l=O无实数根，3.,.14(+1),4综上，.c44故选：C变式9.对于函数f(x),若/So)=/，则称/为函数/U)的“不动点”；若/(/(x0)=%,则称/为函数r)的“稳定点”.如果函数/(x)=f+3WR)的“稳定点”恰是它的“不动点”，那么实数。的取值范围是()133131A.(-co,-B.(-,4o)C.(一2，-D.-444444【解析】解：/为函数/*)的“不动点”,则方程/(x)=x,即f+-4=0有实根，故a=l-4.0,.凡工，4如果“稳定点”恰是它的“不动点”，则上述方程的根与为
16、方程/(/*)=无，即/+=x的实根，方程/(/*)=K可化为：(x2+a)2+a=x,BP(x2+a)2-x2+x2+a=x,利用平方差公式分解因式得，/.(x2+a+x)(x2+a-x)+(x2+-x)=0,/.(x2+a-x)(x2+x+6+l)=0,.函数)=f+(R)的稳定点”恰是它的“不动点”，.方程V+x+l=O无实数根,.1-4(+l)v0,Q11Q1Q当二一时，X2+x+a+=X2+x+-=O解得X=此时X1+a-X=X2-x=O的解为M=一一,4424122两方程具有相同的实根，能同时满足/+=O有实根且(x2+-x)(x2+x+l)=O仃实根，因此=-之4满足题意.综上，
17、一殁人44故选：D.变式10,设函数/(x)=(R).若存在bwO,1,使/(/(b)=8成立，则4的取值范围是()A.0,1B.1,2C.0,1D.：,1【解析】解：由/V(b)=6,可得/(b)=/-(b),其中r,是函数/()的反函数因此命题“存在人0,1使/(/(b)=b成立，转化为“存在bO,1,使/(b)=尸(b),即y=/*)的图象与函数,，=广(t)的图象有交点，且交点的横坐标匕0,1,y=f()的图象与y=/T(x)的图象关于直线y=%对称，.y=f(x)的图象与函数y=T(x)的图象的交点必定在直线y=x上，由此可得，y=(x)的图象与直线y=x有交点，且交点横坐标bO,1
18、,根据x-l=x,化简整理得x-=fxO,1,a=x-X2fx0,1,.根据二次函数的性质得出：假曲-4即实数。的取值范围为0,；.故选：A.变式11.设函数/(x)=V+2+-4(cR,e为自然对数的底数)，若存在匕0,1使(b)=b成立，则。的取值范围()A.1,eB.0,eC.2,eD.1,e+l【解析】解：因为存在b0,1,使/I/(b)=b成立，所以存在力e0,1,使/(b)=尸(b),即函数/(x)与其反函数在0,1上有交点，因为函数/(x)=e+、+”在0,1上为单调递增函数，所以函数/(x)与其反函数在0,1的交点在直线y=X上，即函数/(x)与其反函数的交点即为/(x)与y=
19、X的交点，令AeX+f+。-。=X，即e*+V+%一。=彳2在10,1上有解，所以“=e+x在0,1上有解，因为=+x在0,1上单调递增，所以掇W6+1,则的取值范围为U，e+l故选：D.变式12,设函数/(X)=Jhix+f一(WR),若存在1,e,使得/(/(b)=6成立，则实数”的取值范围是()A. 0,1B. 0,2C. 1,2D. -1,0【解析】解：由/(/(b)=b,可得/(b)=,(b),其中/T(X)是函数/(x)的反函数因此命题存在bl,e使/(/(b)=b成立，转化为“存在5wl,e，使/(b)=f-(b),即y=()的图象与函数y=f()的图象有交点，旦交点的横坐标81
20、,e，,y=/()的图象与y=lW的图象关于直线y=x对称，.y=f(x)的图象与函数y=/T(x)的图象的交点必定在直线y=X匕由此可得，y=(x)的图象与直线y=有交点，且交点横坐标hel,e,根据lnx+x2-a=X,化简整理得InX=a.记F(X)-Inx，G(X)=a,由xl,e,可得尸()0,1,即阖/1.即实数。的取值范围为0,1.故选：A.变式13.设函数/(x)=Jr7(wR).若方程/(/(x)=x有解，则的取值范围为()A.(x),一B.(0C.(,-D.19+x)488【解析】解：设/(x)=E,f.0,则方程/(/(X)=X等价为/=x,即=1.yt-a=X*/=X,
21、即/(x)=X，.yjx-a=X在X.0时有解，BPX-=X2,/.a=-X2+x在x.0时成立，设g(x)=+=_(X2-X)=-(-I)2+1,x.0.当X=g时，g(x)取得最大值;，*-g(x),7，4即4,1.4故选：A.题型四：复合函数y=g()-的零点问题例IO设/(x),g(x)都是定义在R上的函数,若函数y=(g(x)-x有零点，则函数g(x)不可能是()A.X2-B.X2+-C.X2+x-D.X2+x+-5555【解析】解：.函数y=(g(x)有零点，方程f(g(x)=R有解,.g(f(ga)=g),.g(x)=x有解，若g(x)=d-3，则可判断f-1.=X有解，故成立；
22、5若g(x)=2+1，则可判断V+J1.=X有解，故成立；5若g(/(x)=%2+x；,则可判断f+-1.=有解，故成立；5若g(x)=f+x+则可判断V+x+=x无解，故不成立；5故选：O例11.F(X)和g(x)都是定义在R上的函数，且方程x-g(X)=0有实数解，则/g(x)不可能是()44A.3-2rB.2-3C.-1+-D.x-l+-【解析】解：因为x-g(x)=0,所以g(动=%，得Ag0)=/(%)，即fgM=X，所以gf(幻=X与/g()=X是等价的，即=g()有解，/g()=也有解，也就是说有解得都是有可能的,.当32X=X时，X=I成立；B.当2-3=x时，2=x+3结合图
23、象有解；4 49C.当一x-l+=X时，即=|X-11,当x.l时，得X=,舍去；5510当XVl时，无解，故方程无解，C错误；D.当x-+M=X时，得X=N有解.510故选：C.例12.函数/(X)、g(x)都是定义在R上的函数，若x=g(x)方程有解，则函数g(x)不可能是()A.X1+x-B.X2-C.X2+x+-D.X2+-5 555解析解：X=gf()方程有解.，得g(x)=x方程有实根，直接把四个答案分别代入，发现只有C无解；题目要我们选不可能的，所以只能选无解的那个C.故选：C题型五：含参二次函数复合型零点问题ck-l一Ira,若关于X的方程尸(用_(26+1)/(幻+裙=0有7
24、个+4x+4,x0不同的实数解，则7=()A.n=6B.rn=2C.，=6或2D.ZW=6【解析】解：当m=2时，由/2(x)_5/(x)+4=0得/(幻=1或f(x)=4,当x.0时，/(x)=5l-,l-l,由51-l=l得x=llogs2均符合，由5f-l=4得X=O,x=2均符合，当x0时，/()=x2+4x4,由X2+4x+4=l得x=-l,X=3均符合，由X2+4x+4=4得X=O(舍)，X=Y符合，故z=2时，关于X的方程/。)-(2机+l)(x)+=o有7个不同的实数解，所以排除A和O;当z=6时，由2(x)-13(x)+9=0得/(x)=4或/*)=9,当W=4时，已经解出X
25、=0，X=2，X=Y均符合；当了3=9时，由二H,C，解得X=I+IogslO,5-1=9由得=-5,x2+4x+4=9故帆=6时，原方程只有5个不同实根，不符合题意，故排除C故选：B.例14.设定义域为R的函数f(x)=F-Tx若关于X的方程尸(幻-(27+1)/(幻+/=0有5个不x+4x+4,x=。有一根为F*另一个根大于4或等于0.把Z=4代入方程t2-(2m+l)r+m2=0求得m=2tm=6.当m=2时，关于，的方程-(2m+l+1=o有一根为，=4,另一个根等于1,不满足条件.当m=6时，关于，的方程-(2a+1=0有一根为，=4,另一个根等于9,满足条件.故选：A.例15设定义
26、域为R的函数f(x)JfT二11),若关于X的方程2*)+)+c=0有5个不同的实Ja=I)数解，则b+c值为()A.OB.1C.-1D.不能确定【解析】解：作函数/(%)=FTla)的图象，Kx=D.关于X的方程/2。)+好()+c=O有5个不同的实数解,.方程f+b+c=O有2个不同的实数解1,x1,.1+j=-h,ljr1=c,故b+c=-1-Xj+%11故选：C.变式14.设定义域为R的函数/(x)=f-k-11+1.D,若关于X的方程2/(幻-(2+3)(x)+3=O有五个0,(x=l)不同的实数解，则的取值范围是()A.(OJ)B.(0,-)C.(1.2)D.(1,)J(,2)【解
27、析】解：作出/(X)的图象如图：设f=(x),则方程等价为2t2-(2a+3)t+3=0,由图象可知，若关于X的方程2f2(x)-(2a+3)(x)+3=O仃五.个不同的实数解,即要求对应于f(x)等于某个常数有3个不同实数解，.故先根据题意作出f(x)的简图：由图可知，只有当f(x)=时，它有三个根.所以有：1aO,解得白3,233故lv或vx2,22故选：O.0有五个ax=1)变式设定义域为R的函数AM(I产+心也，若关于X的方程心+切+%不同的实数解，则。的取值范围是()A.(OJ)B.(l)J(l1)c.(1,2)D.呜口12)【解析】解：题中原方程22*)-(2+3),f(x)+3=
28、0有H只仃5个不同实数解,.即要求对应于F(X)等于某个常数有3个不同实数解，.故先根据题意作出/(x)的简图：由图可知，只有当/(x)=时，它有三个根.所以有：a0=-(2)2结合得：l3或3v1则实数匕的取值范围为()A.(2,-hx)B.(0,2C.-2,0)D.(o,-2)2*X1【解析】解：作函数/*)=I的图象如下，U-1),1Vf2(x)+bf(X)=Of.f(x)=0或/(X)=-力，结合图象可知，方程/(X)=0有且仅有一个根X=2,故方程/(X)=R有3个不同的根，002(x)+b(x)+c=0有7个不同的实根.【解析】解：/*)的图象如图所示：b=-,c=!满足条件，理由
29、如下：22设/*)=/，t2+bt+c=O由图象可得以上有关于，的方程必须有一解为1,另一解在区间(U)中，才会使得关于X的方程/(X)+b/(X)+c=O有7个解.其中，/()=l有3个解，/(x)=e(O1)有四个解.所以可令4=1,G=g，即可得方程d3+=0,22变式19.设定义域为R的函数/(X)=JT,(XO),f(2)=4,/(-3)=/(-1)=1.a+bx+c,(x0)（1）求/（x）的解析式;（2）若关于X的方程/（幻_（2m+1）/（幻+加=（）有7个不同的实数解，求实数m的值.【解析】解：（1）由题意，/（2）=4=4/(-3)=9-3/?+c=lf(-)=-b+c=i
30、4kx.0X2+4x+4,x04XTlx0(2)作幻=的图象如下,x+4x+4,x0则/一(2m+1=0有两个不同的实数解，且有一个解为1或4若1是r2-(26+)t+m2=O得解,ffll-(2m+l)+n2=0;故M=O或TW=2；若ZW=O,则/一(26+l)r+112=O的两个解为,0；不成立；若m=2,则-(2m+i+=o的两个解为,4；由图知不成立;若4是/_(2m+Df+w2=0得解，MJ16-4(2m+l)+n2=0:故z=6或n=2;若2=6,则“-(2/+1)1+疗=O的两个解为4,9：不成立;故不存在.题型六：零点求和问题例16.设定义域为R的函数/(X)=若关于X的方程
31、f2(X)+bf(x)+c=O有三个不同的解X1,!,xl时，令=1解得x=2,当Ar=I时，显然=l是/(x)=l的解.不妨设$BPIX-11=1Ix-H解得X=O,X=2或X=1.关于X的方程2()+4()+b=0有H只有3个不同实数解,解分别是2,1,0,即为=2,x2=l,再=。，.x；+E+W=4+1+O=5,例应设定义域为R的函数e)=*E则关于的方程尸有5个不同的实数解X(i=l,2,3,4,5),则fa+W+七+4+&+2)=()A. -B.-C.2D.124【解析】解：画出/(x)的图象,令/(X)=，则产+的+c=0有两个不等的实由于关于X的方程尸(幻+C=O有5个不同的实数解,数根，且其中一个为2,画出直线y-m(m2),得到5个交点，其横坐标为内，x2,x3x4X5设匹=2,且XIx2x3x42x2D.x1+x3=-2X-1【解析】
