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1、,且满足其中两根,x2(-1,1),则a(3)”3,则C的取值范围是()D.c.9微专题33共零点问题【题型归纳目录】题型一：方程的求根及函数零点式题型二：共零点问题题型三：零点问题综合运用【典型例题】题型一：方程的求根及函数零点式例1.若关于4的方程d+如?+。=。有三不等的实数根%,看,的取值范围是()A.(-1,0)B.(-1.0)C.(0,1)3【解析】解：(x)=+r2+c,满足其中两根芭，2(-1,1),.(0)(-l)0,/(0)/(1)0,.c(l+a+c)0,c(-l+a+c)0,Jc+ac+c20,-c+ac+c20,/.2ac+2c20，当=0时，3+c=0有一个根，不满
2、足题意，故工0,/.-+(一)20，aa即f(f+l)0,aa解得TV0,a故选：A.例2.已知函数f(x)=x3+汗+bx+c,且0v(1)=f(2)A.c3B.3a,6C.-6G,-3【解析】解：由/(1)=/(2)=f(3),p+c=8+4+2b+c,解得卜=fl+b+c=27+9+3Z?+Cb=则fM=x3-6x2+11.r+c,由Ovf(1)3,得0l-6+U+a3.即62时f(x)0,所以0，b0故此时一次函数应为单调递增，故A不正确；在8中，由)，=Or?+瓜，则二次函数图象必过原点故8也不正确；在C中，由二次函数开口向下，故av故此时一次函数应为单调递减，故C不正确；故选：例5
3、.已知a,RQ,abO对于任意x.0均有(x-a)(x-b)(x-2a-b).O,则()A.a0C.b0【解析】解：设/(X)=(Xa)(X-份(x-2a-Z?),可得/(X)的图象与X轴有三个交点,即/(x)有三个零点4,b,为+b且/(O)=-必(2。+。)，由题意如，/(x).0在工.0上恒成立，则而(加+圾,0,0,b0,可得加+0v0,4伙2+b,0恒成立，排除3O；我们考虑零点重合的情况，即中间和右边的零点重合，左边的零点在负半轴上.贝!有=b或=24+Z?或b=Z?+2a=:种情况，此时a=bO显然成立；若b=b+2a,则=0不成立；若a=2a+b,即a+/?=0,可得。0且。和
4、加+。都在正半轴上，符合题意，综上力0恒成立.故选：C.例6.若定义在R的奇函数f(x)在(-,0)单调递减，且/(2)=0,则满足的X的取值范围是A.-1,1J3,-Ko)B.-3,-1JO,1C.-1,0Jll,+oo)D.1,OJ1,3【解析】解：定义在R的奇函数F(X)在(/O)单调递减，旦，(2)=0,7(力的大致图象如图:.(x)在(0,”)上单调递减，且/(-2)=0；(-l)0时，不等式MXxT)O等价为/(x-l)O,xO,八C，此时1兀,3,Ox-l,2当xo时，不等式(x-i).o等价为/(-n,o,XVO-2,X1O得一1.,元0时，均有3-l)x-lC-30r-l).
5、0,则=-4-【解析】解：.当x0时，均有Ka-I)X-1(/一3公一1).0,(1) =l时，代入题中不等式，明显不成立.(2) .l,构造函数=(a-I)X-1,y2=x2-3ax-,它们都过定点P(0,T).考查函数y=3-I)X-1：令y=0,得M(,0),:.a.a-考查函数必=V-3奴一1，x0WijW(fl-l)x-l(x2-3r-l).0,故30r-l的图象经过M(彳，0)代入得，(一1.)2-3x-!-1=0,a-a-解之得：a=或=0(舍去).4故答案为：-【解析】解：(1)=l时，代入不等式，x0不等式明显不成立.(3) a,构造函数X=(al)x-l,y2=(x2-x-
6、l),它们都过定点P(0,-l).考查函数X=(a-l)x-l,令y=0,得M(,0),因为x0,不等式成立；a-:.a；考查函数为=f-4一1因为”0时均有KaT)XT】(/一x-DO,显然此函数过点“(士，0),代2a-入得：(-)21=0解之得：a=,或=0(舍去).2故答案为：2变式5.已知不等式3+2)加(x+),O对x(-,*o)恒成立，则。的值为_-1_.【解析】解：x(-,+oo),二.当一aVXV1时，y=ln(x+a)l-时，y=ln(x+a)0f又Qx2)ln(x4,0对x(-a,+oo)恒成立，若0,y=0r+2与y=加(x+a)均为定义域上的增函数，在xe(-a,”)
7、上，可均大于0,不满足题意；若=0,则2/几。,0对x(0,o)不恒成立，不满足题意；.,.6T0.作图如下：由图可知，当且仅当方程为y=勿(x+)的曲线与方程为y=0r+2的直线相交于点A,即满足ln(x+a)=0时，(0+2%/+4),0对大(-。,+00)恒成立,解方程0r+2=0/得Zw(x+)=0_2a解得a=1例7.若不等式(IX-b)(2x-2,O对任意实数X恒成立，则+b=()A.-1B.OC.1D.2【解析】解：不等式(|工-4|-6)(2号,0对任意实数力恒成立，由于2x-*.0的解集为0,2,可得x-6,0在x0,2恒成立，可得106/1-Zz,O且1241bO即+6.(
8、)且+h.2,解得。+b.2,又2x-x2,0的解集为(-8,0Ul2，+0)，可得x-.。在xw(-,0JJ2,伊)恒成立,可得0-A.0,或2-a-A.0,即a+b,0或2,解得。+仇,2,综上可得+Z?=2,例8.已知函数f(x)=(x-a-b)lnx+a,a,bwR,若/(x).0在定义域上恒成立，则+力的值是(A.-1B.OC.1D.2【解析】解：令历n+I=0,解得X=I-或X=-I-,依题意，函数g(x)=x-力的零点也为x=l-或X=T-a(y=加x+4的值域为R,若函数g(x)=k-b的零点不为X=I-。或X=-1一。，则/(幻0时，/(x)=(x-l)仇r.0恒成立，符合题
9、意，所以+b=l,故选：C.例9.已知0,6wA,当x0时，关于X的不等式(Or-l)(f+加一4).0恒成立，则的最小值是上【解析】解:根据题意，对于(Or-I)(X2+Zzx-4).0,设/(X)=-1，g(x)=x2+-4，对于f(x)=T,。0，在(0-)上，/(x)0,aa-,Ih,.(-1.,0li(ax-.0又由不等式(OX-I)Cr+bx-4).0=彳.八或(。，/八，X+hx-4Ox+Zx-4.0对于g(*)=2+加一4，必有g()=4+4=0,即人=4。一-,又由0,WJb+-=467+-.24=4,aa当且仅当=!时等号成立，2即b+的最小值为4；a故答案为：4.变式6,
10、不等式(IX-+x+-I)(X2-1一/+为)0对任意XeR恒成立，则=.【解析】解：由题意不等式(IX-+x+T)(x2-1-/+24).0,等价于x-+x+-1.0行|x-|+|x+a|-lO3(”1)2.0或*R,0解，x-+x+-1.O,即x-4+x+.l,由绝对值的几何意义可知口.1.2x2-（fl-l）2.O,对任意XER恒成立，由二次函数图象可知，（-If”。，故只能取1,解，由知无解，故答案为：1.【过关测试】1 .已知4%。30，则使得（l-4）2=,2,3）都成立的X的取值范围是（）12-12A.0XB.OXC.OXD.OX2O,0-,q七火则使得（l-O）2i=,2,3）
11、都成立，即l-l恒成立，BP1-2aix+af2x21,求得Ox，a2/.OX，“故选：A.2 .若不等式（Or+3）（f一叫,O对任意的e0,+oo）恒成立，则（）A.加=9B.=9,aO此时Or+3vO,则v,设/(x)=r+3,g(x)=x2-h,若b=0,则g(x)=f0,函数/(x)=r+3的零点为=-,则函数/在(0,-当上/(x)0,此时不满足条件;aa若=0,则f(x)=30,而此时x-+8时，g(x)O不满足条件，故人0；函数/(x)在(0,)J-.f(x)O，则(+)上f(x)上的零点为X=扬，且g(x)在(0,扬)上g(x)O,，要使(公+3)(2-b),O对任意x0,+
12、oo)恒成立，则函数f（x）与g（）的零点相同,即-3=扬，a.a2b=9,故选：B.3 .已知对任意xR,不等式0r+b+%2-ar一0I4恒成立，则()A.b+2a,4B.b-2a.AC.存在4,bwR,有。2+劭0且f一OX一力.4-0r-b恒成立时，(x2-ar-Z?-4+a+b)(x2-ax-b+4-ax-b).0,BP(x2-4)(x2-2av+4-2Zj).0,则=0,b=4,不满足4-0r-h0(舍)，此时C和。不成立，综上，b2,a.4.故选：B.4.己知,beR,对任意的实数X均有(Ixl+。)(|刈-旗|%|-。2-1)0,则0+处的最小值为()A.B.1C.-D.288
13、【解析】解：当A:=0时，不等式即为曲(+1)0,可得成.()，当a.0时,b.O不等式(IXl-b)(x-/-1).0恒成立，显然b=/+1；当v时，b,0,不等式(IXI+。)(|泪-。2-1).0恒成立,显然-a=/+1，该方程无实数解.综上可得a.0,b=a2+1,则+2Z=2+2.2,0=0时取得等号，所以+2Z的最小值为2.故选：O5 .已知函数/(1)=，+如+与(6一6),bcR,当x0时，F(X).0,则实数4的取值范围为()A.一2效SOB.一啜Ih0C.a.-D.喷W1【解析】解：设g(x)=2+以+力，h(x)=et-e,则人(或在。+)上为增函数，且/?(1)=0,若
14、当x0时/(x).0,则满足当xl时，g(x).O,当OVXVI时，g(x,0,即g(x)必需过点(1,0)点，则g(1)=l+a+b=O,即b=T-,此时函数g(x)与MX)满足如图所示：止匕时g(x)=f+or-1-a=(x-l)x+(cr+1),则满足函数g()的另外一个零点-。-1.,()，即a.1,6 .已知/(x)=32+0r+m阮v,g,bwR),当x0时，/(x).0,则实数的取值范围为()A.2,OB.c.C.10时/.0,则满足当xl时，g(x).O,当OVXVI时，g(x),0,即g(x)必需过点(1,0)点,则g(1)=l+O=O,即8=一1-，此时函数g(x)与(X)
15、满足如图所示：此时g(x)=%2+ax-a=x-l)xa+1),则满足函数g(0)=-1.,0，即ci.17 .已知/(x)=(x+7)MX+|,满足/(X).0在定义域上恒成立，则的值为0.【解析】解：令历x+=0,解得x=l-或x=T-,依题意，函数MX)=IXI+/7的零点也为X=Ja或X=T_，(因为y=+的值域为火，若函数力(X)=IXl+/_的零点不为X=I_或彳=_1一，则/()VO必有解，则与题设矛盾.)经检验，=0符合题意.故答案为：0.8 .若不等式+3)，一b),0对任意的Xw(0,+oo)恒成立，则a(6+l)的最大值为_-6【解析】解：令/(x)=3+3)(x2-6)
16、,因为x(0,yo)时，f(x,0恒成立，3所以0V0,其零点=0a由题意，函数/(幻的图象不穿过X轴,则有两个正的零点且它们相同,所以$=yb,a化简可得病6=9,则b=,因为v,贝U+=(-a+)2.1-cia-aV-a当且仅当-=2,即=-3时取等号，-a所以(b+l)的最大值为-6.故答案为：6.9 .已知函数/。)=公+3+|2/+(4-砂”1|的最小值为2,则=-2【解析】解：设g(x)=2f+(4-。)/一1,=(4-a)?+80,则g(x)=O的两个根为X=4a-4+Ja2-8+24且X0当g(x).0时，即XVM或X%2时，BP/(x)=r+3+2x2+(4-t)x-l=2x
17、2+4x+2=2(x+l)2.0,是开口向上的二次函数.当g(x),O时，BPx1X0.x1=-21:.a=.2故答案为：a=.210 .己知4,b,twR,若对于任意的实数x,不等式(|1-”+4-1)(|%-2/)(|21-2-/一5).0恒成立,则|工一2+1|+|工+。一|的取值范围为_02_+00):.【解析】解：若对于任意的实数X,不等式(IX-f+-I)(IX-H-3)(|2%一2”-。2-5).0恒成立，IX11iz-1.Oa-.0则IX-rI-2b.O=12x-2t-a2-5.0IX11+1O-2b.0,无解；-c-5.0。-1,0或IXTl-线,O=、12x-2t-a2-5
18、.0x-r+tz-l,O-线,0,无解；-a2-5.O4_1,0Z或IX-rI-2b.O=12.x2“-c5OIX-11+。-1.Otz,1-2b.Q=广；2Ca也。1.0(67.1或0恒成立，则-JTj的最大值为_-22_.【解析】解：由(Or+2)(x2-垃,O对任意Xw0,+oc)恒成立，当X=O时，不等式等价为-纹,0,即力.0,当f+co时，X2-b0t此时Or+2vO,贝IIaVO,设/(X)=+2,g(x)=x2-b,若6=0,则g(x)=f0,OO函数/(x)=r+2的零点为X=，,则函数F(X)在(0,，)上/(x)0,此时不满足条件;aa若=0,贝4(x)=2O,而此时X-
19、+8时，g(x)O不满足条件，故匕0：而函数/(x)在(0,，)上f(x)O,则(一三，+oo)(x)0,aa而g(x)在(0,+)上的零点为X=扬，且g(x)在(0,后)上g(x)O,要使(ax+2)(x2-垃,O对任意0,+8)恒成立，则函数/(X)与g(x)的零点相同，即一2=后，aBP-ayb=2,由a0,则ciJb=(a+Jby2y-ay=-20，当且仅当-=M时，取得等号.12 .已知函数/(x)=(2x-。+1)加(x+a+l)的定义域为(-l,x),若/(x).0恒成立，则的值为【解析】解：当Ox+1.,l时，一-ll时，x-4时，有(x+1)0,/(%).0，C,八。一1.2
20、x+l0,X2欲使Dx,/(x).0恒成立，则与-,-,1a,-:故=1.3故答案为：313.设4,b,C为实数,f(x)=(x+a)(x2+bx+e)fg(x)=(ax+l)(cv2+bx+l).记集合S=x(x)=0,xR,7=g()=O,XGR.若S,|7|分别为集合S,T的元素个数.(1)当=0,b=l,c=2时，求S,|7|；(2)试判断是否存在一组实数,b,c,使得S=2,T=3?若有，请写出实数，匕，c的值：若无，请说明理由.【解析】解：当=0,b=l,c=2时，f(x)=x(x2+x+2)有且只有一个零点0,g(x)=2x2+x+l无零点.故ISl=I,T=0;(2)若73.则方程3r+l)(+加+1)=0有三个不同的非零实根,则他们的倒数也不同，故S=3,故不存在实数,b,。，使得S=2,T=3
