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1、模型一“猪蹄模型”aMNb-若ab,则N2=N1+N3证明：如图所示,过点0作ONa,则NMON=NlVa7b,ON/7aONb.ZN0Q=Z3Z2=ZM0N+ZN0QZ2=Z1Z3模型二“铅笔模型”GM若a7b,则+N2+N3=360证明：如图所示，过点0作ONa,则NMoN+Nl=180Va7b,ONaONbZN0Q+Z3=180o,.Z2=ZM0N+ZN0QZl+Z2+Z3=360o模型三“靴子模型”二_M-5I、若ab,则N1=N2+N3证明：如图所示，过点0作ONa,则NMoN+Nl=180Vab,ONaONbZN0Q+Z3=180oNNOQ=NMON+N2.ZM0N+Z2+Z3=1
2、80oZ1=Z2Z3模型四“尖尖角模型”NO广。若2则3=N1+N2证明：如图所示，过点0作ONa,则NMoN+N1=18OVa7b,ONaONbZN0Q+Z3=180oZM0N=ZN0Q+Z2ZN0QZ2+Zl=180o/.Z3=Z1+Z2模型五“左右角模型”b若ab,贝J.ZB1+ZB2+ZB-+ZB=NM+NAjNA2+ZA-+ZN证明：如图所示，分别过点A1、A2AnT作直线a的平行线I1、上1._b且匕、12In-1,将NA1ZA2ZAT分别分为N0八Z1,Z2.NB2,ZQn-1NBn-1由题意可知:all2/1bVa/11,ZB1=ZM+Z式猪蹄模型的结论）Vl1l2,ZBz=Z
3、1+Za2Vlnb,；NBn=NBn-I+NN上述等式左右两边分别加和可得：ZB1+ZB2+NB-+ZB=ZM+ZA1+ZA2+ZA-+ZN模型六“橡皮擦模型”bN/1若2则.NM+NA/NA2+ZA+ZN=180on证明：如图所示，分别过点A、A2AnT作直线a的平行线11、%1.f且1.12InT将NA1、ZA2ZA分别分为Na八Z1,Za2.Z2,NQ-1、Zn-由题意可知：al1l2/ln,1bVa/11,ZM+Z1=180oVll2,Z1+Za2=180oVlnb,NB-+ZN=180o上述等式左右两边分别加和可得：NM+NA+NA2+NA-+NN=1800n【总结】平行线辅助线作法
4、一一过拐点作平行.模型一“8字”模型W结论：NA+NB=NC+NDAD+BOAB+CD证明：YNBOD是aABO和三角形4COD的外角ZBOD=ZA+ZB=ZC+ZDZA+ZB=ZC+ZDY在aABO中，OA+OBAB在C0D中，OC+ODCDOA+OB+OC+ODAB+CD即AD+BOAB+CD模型二飞镖模型A,二C结论：ND=NA+NB+NCAB+AOBD+CD证明：如图，延长BD交AC于点E根据三角形的外角性质：ZBEC=ZA+ZB,ZBDC=ZBEC+ZC,NBDC=NA+NB+NC根据三角形两边之和大于第三边：AB+AEBD+DE,DE+EOCDAB+AEDE+ECBD+DE+CDA
5、B+ACBD+CD模型三“角平分线+飞镖”模型内内飞镖A仝BCBP、CP分别是NABC和ZACB的角平分线，则：ZA证明：根据飞镖模型的结论可知：ZP=ZA+ZABP+ZACPVBPCP分别是NABC和NACB的角平分线ZABP+ZACP(ZABC+ZACB)ZA内外飞镖BP是NABC的角平分线，CP是NACB的外角平分线，贝U：NP=NA证明：由外角定理得：NPCD=NP+NPBC,ZACD=ZA+ZABC,VBP平分NABC,CP平分NACDZPBC=ZABc,ZPCD=ZACd，Zp=ZPCD-ZPBC(ZaCD-ZABC)=ZA外外飞镖AXKPBP、CP分别是NABC和ZACB的外角平
6、分线，贝必ZA证明：由外角定理得：NDBC=NA+NACB,ZBCE=ZA+ZABC,ZDBC+ZBCE=ZA+180oVBP平分NDBC,CP平分NBCEZPBC=ZDBc,ZPCB=ZBCeZPBC+ZPCB=90o+ZAZP=90o-ZA模型一手拉手模型条件:AB=AC,AD=AE,ZBAC=ZDAE结论：ZABDgACE证明：.ZBAC=ZDAe.,.ZBAD=ZCAe在AABD和aACE中HAD=ZCAEABDAACE(SAS)常见应用图形等边三儿形证明：如图所示：VABC和aADE是等边三角形AB=AC,AD=AE,NBAONDAE=60ZBAD=ZCAe在AABD和AACE中MA
7、DD=ZCAeABDAACE(SAS)如图所示：VABDACE ZABD=ZACe在AABH和aCOH中ZABD+ZBAC+ZBHA=180oZB0C+ZCH0+ZACE=180o.ZBHa=ZCHO NBOC=NBAC=60如图，过点A作AM_1.BD,ANCE ABDACEBD=CE,SABD=SACEVSAAD=BD-AM,SAACE=CE-ANAAM=AN,AO平分NBoE条件：AABC和aADE是等边三角形结论：AABD且ZiACE(三)ZBOC=ZBAC=ZDAE=60连接AO,Ao平分NBoE等边三角形条件：ABC和aADE是等边三角形，且B、A、E三线共线结论：4ABDACEN
8、BoC=ZBAC=ZDAE=60连接AO,Ao平分NBoEMN/AB(AMN是等边三角形)OB=OA+OC(或OE=OA+OD)证明：结论的证法同上.如图，连接MNVABDCEZADb=ZAECVABC和aADE是等边三角形AD=AE,NBAoNDAE=60VB.A、E三点共线ZDAC=180o-ZBAC-ZDE=60o在ADAM和aEAN中DAC=DAEAD=AEADB=AECADMgAEN(ASA)/.AM=ANAMN是等边三角形，.NMA=60=乙BACMNAB如图所示，在OB上取OP=OC,连接CPVZB0C=60o,OP=OCOPC是等边三角形Z0CP=60o,CP=COZBCP=Z
9、ACo在aBCP和AACO中BC=AC乙BCP=乙AeoCP=COBCPACO(SAS)ABP=OA/.OB=OP+BP=OC+OA同理可证：OE=O+OD常见应用图形证明：证法同等边三角形.条件：ABC和AADE是等腰直角三角形结论：AABD且ZACEBD=CE且BD_1.CE连接AO,AO平分NCOD证明：证法同等边三角形.证明：证法同等边三角形.条件：正方形ABCD和正方形AEFG结论：4ADEgZABGBG=DE且BG_1.DE连接AO,Ao平分NBOE顶角相等的等腰三角形条件：AABC和4ADE是等腰三角形且NBAC=NDAE=结论：4ABD0ZACENBoC=Q连接AO,AO平分NBOE模型二半角模型模型特点：共顶点+等线段+顶角含半角常见应用图形条件：AABC是等边三角形，D、E是边BC上两点，且NDAE=30结论：BD+CEDE60得到aACF,连接EFYZiABC是等边三角形，ZDE=30ZBAD+ZCAE=30oVACFABDFA=DA,CF=BD,ZFAC=ZBADZFAE=30o=ZDAE在ADAEFAE中WAAe=ZFAEDAEAFAE(SAS)AEF=DEVCEF中,CF+CEEF.BD+CEDE证明：证法同上.D、E是边BC上两点，且NDAE=60结论：BD+CEDE
