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1、概率论第一章复习题一、判断题1 .事件“A,8至少发生一个”与事件“A,8至多发生一个”是对立事件.()2 .设A与B为任意两个互不相容事件，则P(AB)=P(4)P(B).()3 .设A与B为任意两事件，则A-B不等于38.()4 .设A与B互为对立事件，且P（八）0,P(B)0,则P(同A)=0.()5 .已知P(4)0,P(B)0,若A与8互不相容，则A,B一定不独立.()二、选择题1 .设A,B,。是3个事件，则A发生且B与。都不发生可表示为().A.ABCB.ABCC.A(BUC)D.S-BC2 .设A,8为两个事件，且40,B,则(A+3)(X+目)表示A.必然事件B.不可能事件C
2、.A与8不能同时发生D.A与B恰有一个发生3 .设随机事件A与8相互独立且P(B)=O.5,P(A-8)=03,则P(B-A)=().A.0.1B.0.2C.0.3D.0.44 .在区间(0,1)中随机的取两个数，则事件“两数之和大于2”的概率是().31 722A.-B.-C.-D.-39395 .设A与8为任意两个互不相容，且P（八）P(8)0,则必有().A.P（八）=I-P(B)B.P(AB)=P（八）P(B)C.P(AUB)=ID.P(AB)=16 .设A与4为任意两个事件，则使P(A-C)=P(4)-P(C)成立的。为().A.C=AB.C=AUBC.C=(AUB)(A-B)D.C
3、=(A-B)U(B-A)7 .将两封信随机地投入四个邮筒中，则未向前两个邮筒中投信的概率().8 .设A,B为随机事件，P(B)O,P(A忸)=1,则必有().A.P(AUB)=P（八）B.AUBC.P（八）=P(B)D.P(AB)=P（八）9 .设随机事件A与8互不相容，P（八）=0.4,P(B)=O.2,则P(A忸)=().A.0.2B.0.4C.0D.0.510 .设P（八）0,P(B)0t则由A与B相互独立不能推出().A.P(AU8)=P（八）+P(B)B.P(A忸)=P（八）C.P(B)=P(B)D.P(AB)=P（八）P(B)三、填空题1 .设Q为随机试验的样本空间4,为随机事件
4、，且C=x0x5,A=xx2,B=XOX2,试求：AUB=，B-A=.2 .设两个相互独立的事件A和B都不发生的概率是，A发生B不发生的概率与B发生A9不发生的概率相等，则P（八）=.3 .若P（八）=；,P(BIG=I,P(NB)=g,则P(A-B)=.4 .若P（八）=0.4,P(B)=0.3,P(AB)=0.5,则P(A-B)=.5 .从10个整数0,1,2,，9中任取4个不同的数字，此4个数字组成4位偶数的概率.此4个数字组成4位奇数的概率.6 .将3只球随机地放入4个杯子中去,则杯子中球的最大个数为3的概率.杯子中球的最大个数为2的概率.7 .一批产品共100件，次品率为10%,每次
5、从中任取一件，取后不放回且连续3次，则第三次才取到合格品的概率为.8 .在一次考试中某班学生数学和外语的及格率都是0.7,且这两门课是否及格相互独立，现从该班任选一名学生，该生数学及外语只有一门及格的概率.9 .已知10把钥匙中有3把能打开门，现任取两把，则能打开门的概率为.10 .甲盒装有5只红球,4只白球;乙盒装有4红球,5只白球;先从甲盒中任取两球放入乙盒，然后从乙盒任取一球,则取到白球的概率.四、计算题1.将15名新生随机地平均分配到3个班级中去，这15名新生中有3名是优等生，求(1)每个班级各分配到一名优等生的概率(2) 3名优等生分配在同一班级的概率2 .甲乙两人独立地对同一目标射
6、击一次，其命中率分别为0.6和0.5,现已知目标被命中，则它是甲射中的概率是多少？3 .雨伞掉了，落在图书馆中的概率为50%,这种情况下找回的概率为0.80；落在教室里的概率为30%,这种情况下找回的概率为0.60；落在商场的概率为20%,这种情况找回的概率为0.05,求：(1)找回雨伞的概率；(2)雨伞被找回，求它掉在图书馆的概率.4 .假设有3箱同种型号零件，里面分别装有50件、30件、40件，而且一等品分别有20件、12件和24件，现在任取一箱，再从所取的一箱中任取一个零件，试求：(1)取出的零件是一等品的概率；(2)若己知取出的零件是一等品，则零件来自第三箱的概率为多大？5 .9支手枪
7、中有5支已校准过,4支未校准.一名射手用校准过的枪射击时，命中率为09用未校准过的枪射击时，命中率为0.3,现从这9支枪中任取一支射击.(I)求他能命中目标的概率；(2)如果他命中目标，求所用的枪是校准过的概率.五、证明题1.设A,8为两个随机事件，0P(B)l,P(A忸)=P(A忸)，证明：A与3相互独立.12.设事件48,C的概率都是一，且尸(ABC)=P(ABC),证明：2IP(ABC)=P(AB)+P(AC)+P(BC)-概率论第二章复习题二、判断题6 .两个分布函数的和仍为分布函数.（）7 .存在有既非离散型随机变量，又非连续型随机变量的随机变量.（）8 .连续型随机变量X的概率密度
8、函数/（X）一定是连续函数.（）9 .离散型随机变量的函数一定是离散型随机变量,连续型随机变量的函数也一定是连续型随机变量（）10 .若（X）为标准正态分布的分布函数，则1一（一。）=（。）.（）六、选择题1 .如果b（x）是（），则b（x）一定不可以是连续型随机变量的分布函数.A.非负函数B.连续函数C.有界函数D.单调减少函数2 .设随机变量X的密度函数为e（x）,且9（一幻=火幻，尸（X）是X的分布函数，则对任意实数，有（).A.F(-a)=1-f(x)dxB.F(-a)-JO：；一%（%）公C.F(-a)=F（八）D.F(-d)=2F(ci)-13.下列函数中，（）可以作为连续型随机变
9、量的分布函数.eXoCeTx0A.F(x)=B.G(X)=x01x0Ox0Ox0C.(X)=、D.H(x)=1-exx01+x04.下列函数中,可以作为连续型随机变量的密度函数2,-1X1,OXV2,A.f(x)二b/3=0,其他0,其他c./()=一2X0,r/2D./(%)=X2,-1xl,0,其他.0,其他5 .随机变量XN3),则随。的增大，概率网X-4b().A.单调增大B.单调减小C.保持不变D.增减不定I(X+3)26 .设随机变量X的概率密度函数为/(x)=r=eF(-8VXV+8),则丫=()2y11N(O,1)A.X+32X+3c.X-37 .设随机变量X满足3N(17),
10、则PlXv2的值为().A.(2)-(l)B.(2)-(l)C.(l)-05D.(3)-(2)8.设随机变量X的概率密度函数为/(X)=2x,OVXV1.C则随机变量Y=2的概率密0,其匕，度为(,0yo,0,其它,1,Ovyvl,0,其它，D(y)=ey0,0,其它,9.设工(X)为标准正态分布的概率密度,力(X)为(13)上均匀分布的概率密度若fx=/(),x0,)为概率密度,则。力应满足().A.为+38=4B.3a+2=4C.a+b=D.a+b=210 .设随机变量X的概率密度函数为/(x),则下列函数中是概率密度的是().A.f(2x)B.2(x)C.2xf(x2)D.3x2(x3)
11、11 .设随机变量X的概率密度为x(x),则Y=-2X的概率密度f(y)为()A2f(-2y),B.FX(Y),C.一?/(一),D-()12 .设随机变量X的分布函数为尸(X),则y=3x+的分布函数为(A吗T)，B.F(3j+1),C.3F(y)+1.DMy)T七、填空题11 .设离散型随机变量X的分布律为尸乂=&=仇1-6)1,(左二1,2)其中0。1,若PX2q则PX=3=.12 .设离散型随机变量X的分布律为PXk=ar(k=1,2,)，且为大于O的常数，K则4=.13 .设X8(2,p),y3(3,p),若PXl=g,则尸Y1=.14 .某人家中，在时间间隔t(以小时计)内接到电话
12、的次数X服从参数为2t的泊松分布，若他外出10分钟，则期间电话铃响一次的概率.15 .有一大批产品，其验收方案如下，先做第一次检验：从中任取10件，经验收无次品接受这批产品，次品数大于2拒收；否则作第二次检验，其做法是从中再任取5件，仅当5件中无次品时接受这批产品，若产品的次品率为10%,以X表示第一次检验时抽得的10件产品中所含次品数，则X服从.这批产品被接受的概率.16 .以X表示某商店从早晨开始营业起直到第一顾客到达的等待时间(以分计)，X的分布函1_e-04-vr0数是a(X)=4,则至少等待4分钟的概率.恰好等待3分钟的Ox0概率.17 .设某时间段内通过路口的车流量X服从泊松分布，
13、已知该时间段内没有车通过的概率为工,则该时间段内至少有2辆车通过的概率为.e18 .若随机变量J在(1,6)上服从均匀分布，则方程V+Jx+ir有实根的概率是.19 .若XU(O,),对X进行3次独立试验，至少有一次观察值大于1概率为二，则20.若XN(q2),其概率密度函数为F(X)=1-4x+4*P6(8VXVQO),则=，=.八、计算题1.设连续型随机变量X的概率密度函数为fx)=求：(1)常数C；(2)X取值在(一内的概率；(3)X的分布函数Fa).I222.设连续型随机变量X的密度函数为/(x)=+X90,0x0.5,其他.求：系数c；(2)X的分布函数尸(幻；(3)P-05X0,O
14、,x0.求：常数A与5：(2)X的概率密度函数/(x);(3)X取值在(1,3)内的概率.4 .已知XU向,(a0),且P0X4=；,求：X的概率密度函数；(2)P1X,r=().A.I-F(IJ)B.I-Fjf(l)-()C.F(l,l)-Fjf(l)-(l)+lD.F(l,l)+5c(l)+Fr(l)-l3.设二维随机变量(X,y)的概率密度为i=().A.lJ(x,y)dyxB.fx,y)dydxC.fj(x,y)dxD.f(xiy)dx4 .设随机变量x,y相互独立,且XN(Oj),丫N(U),则有().a.px+yo=gB.px+yi=C.px-=D.px-0,y0-,0x2,-ly
15、lAf(,y)=1-B./(,y)=h一1其他0其他6x,C/(,y)=八0xyl其他d.f(,y)=）rnvn3 .设（XI）的联合概率密度函数为“r,y）=,7,则系数0,其他，A=.4 .设随机变量X与y相互独立，且XU（OA）yYUQ2）,则px=25 .设随机变量X与y相互独立同分布，且都服从的0-1分布，则随机变量3Z=maxX,y的分布律为.6 .己知二维随机变量（x,y）在。上服从均匀分布，其中。为X轴，y轴及直线1+1所围成区域，则吗=.7 .设xu（0,5）,yN（Oj）,且相互独立，则（x,y）的联合密度函数为.8 .二维随机变量（x,y）服从正态分布N（i,o,o）,则
16、X.四、计算题1 .已知随机变量X和y的分布律分别为rI01pj1/21/2Ar,0X1,0y%0,其他XI-101P,I1/41/21/4且P（Xy=O）=1.求：（1）随机变量X和y的联合分布律;（2）判断X和y是否相互独立；（3）?x=qx+y=.2 .设随机变量（X,Y）的联合密度函数为/（x,y）=求：（1）常数A；（2）x,y的边缘密度函数并判断x,y是否独立?3 .设（x,y）的联合分布函数为尸（x,y）=A（8+arctan；（c+arctan?,-x9y+.求：（1）求常数AB,C；（2）（X,y）的联合密度函数；（3）求py4和px3,y-,试求：（I）X和y的联合分布律；
17、（2）z=（x+y）2的分布律./(,y)=0,k(6-X-y),0x2,2y4,6 .设二维随机变量（x,y）的联合概率密度函数为其他,试求：(1)常数人(2)尸X+y4;(3)Pxl5.第四章复习题一、选择题1.设XSU(0,1),y=X,则E(K)=().A.0.5B.e05C.l-eo),则地面雷达发现飞机的平均搜索时间为()1 1九.A.,B.C.D.1424 .设随机变量Y的分布函数为F(X)=O.3(X)+0.7K),则E(X)=().2A.0B.03C.0.7D.15 .设随机变量X服从参数为2的泊松分布，则。(9一2X)=().A.1B.4C.5D.86 .设X,y相互独立，
18、且X8(16,0.5),yP(9),则f(X-2y+l)=().A.-14B.40c.14D.叵7 .设两个随机变量X,Y相互独立，方差分别为2和3,则随机变量3X4Y8的方差是().A.85B.58C.66D.748 .将一枚硬币反复抛掷次，以X和y分别表示正面向上和反面向上的次数,则X和丫的相关系数().A.-1B.0C.1/2D.19 .设随机变量XSMo,6,y8(12,0.25),且X,y相互独立,由切比雪夫不等式有P(X-3vyX+3)是().A.14B.512C.14D.51210 .设XSE(I),由切比雪夫不等式估计P-4X88-9-C1-9-B.二、填空题1 .某产品的次品
19、率为0，每天检验5次，每次随机的取5件产品进行检验，如发现其中次品数多于1,就去调整设备，以X表示一天中调整设备的次数，则E(X)=.1*+2XT2 .已知随机变量X的概率密度为0(x)=e1(-x+oo),则22-E(X)=,O(X)=.3 .若随机变量X只取-1,0这三个值，且取各值的概率相等，则E(X)=4 .设随机变量X的概率密度函数为/(Jr)=，己知E(X)=JI,则随机变量X的方差O(X)=.5 .设随机变量X服从(,加上的均匀分布，若E(X)=2,D(X)=P则区间(,b)为.6 .设随机变量X的期望非负值，已知E(X2-1)=2,D(X-1)=1,则E(X)=.7 .设随机变
20、量X的概率密度为/=GCoS5U-一万对X独立重匏观察4次用丫表.0其他示观察值大于11/3的次数,则Y2的数学期望.8 .已知随机变量X,Y相互独立，且它们分别在区间口,3和2,4上服从均匀分布，则E(XY)=.9 .设随机变量XN(Hd),由切比雪夫不等式知，概率PX一“YOX2YV=,1X2Y求：(1)(UW)的联合分布，Puv4 .一生产线生产的产品成箱包装，每箱的重量是随机的，假设每箱平均重50千克，标准差为5千克。若用最大载重量为5吨的汽车承运，试利用中心极限定理说明每辆车最多装多少箱，才能保障不超载的概率大于0.9772.(其中(2)=0.9772)5 .现有两个箱子,装有同种产
21、品，其中甲箱中装有3件合格品和3件次品，乙箱中仅装有3件合格品，从甲箱中任取3件产品放入乙箱后，求：乙箱中次品件数X的数学期望：(2)从乙箱中任取一件产品是次品的概率.四：证明题1.设X是随机变量且E(X)=,D(X)=2,证明对任意常数c,E(X-c)2E(X-ju)22,设二维随机变量(V)的概率密度为I、，1r(、一，+y1，0,其它.试验证二和，是不相关的，但才和y不是相互独立.第五、六章复习题四、单项选择题1 .设*1,乂2，乂3，乂4是总体(，O?)的样本，已知，未知，则不是统计量的是A.X1+5X4B.Xj-C.X、-oD.X；=1i=l2 .设XrX2，x”是从总体X中抽出的简
22、单随机样本，则下列错误的是().A. %久，X“均与X同分布B. X，X2，X”相互独立C.若X的分布函数为F(X),则X，/，,X”的联合发布函数为根(切D.CoV(Xi,Xj)=QiHj3 .设X,X2,，乂6是来自总体N(6,6)的一个样本，X,S?分别为其样本均值和样本方差，则下列正确的是().A.E(X)=6,D(X)=hE(S2)=6B.E(X)=6,D(X)=6,E(S2)=IC.E(X)=36,D(X)=6,E(S2)=1D.E(X)=6,D(X)=36,E(52)=14 .已知Z：/2(3),/；/2(5),若丫=力：+力；，则E(Y)=().A.6B.10C.8D.165
23、.设X,X2,X是来自总体N(0,l)的一个样本，X,S2分别为其样本均值和样本方差，则下列正确的是().A.GN(O,1)B.又N(0,l)C.马可一1)D.(.一1).尸(1,人_)SXi=26 .设X,X2,X是来自总体N(4q2)的一个样本，T为样本均值，令r=(,-)2,则有丫().Oi=2A.z2(11)B.N(MQ2)C.2(n-)D.NW二)n7 .设4,3,4,3,5,4,4,5是来自总体N(,2)的一个样本观测值，则/的矩估计值是().A.4B.3C.4.5D.58 .设总体X服从区间-06上均匀分布(。0),%,既为样本，则旬的极大似然估计为().A.maxx1,xhB.
24、min2,相C.max1,xnD.minx1,9 .设随机变量X和y都服从标准正态分布，则下列正确的是().A.X+Y服从正态分布B.2+y2服从/分布V2C.2和y2都服从/分布d.F服从厂分布10 .若FF(m,n),则工().FA.F(m,n)B.F(一,)C.Fn,m)D.F(-,-)tnnnm十一、填空题1 .设随机变量X-X2，XlOO独立同分布，且EXi=0,DXi=10,Z=1,2,100,令1100100N二诋X,则E(X/一又)2=1UU/=i/=I2 .设,X2,，乂6为正态总体N(0,9)中抽取的简单随机样本，当。=时，统计22量Y=甘+(Xz+X3)服从卡方分布，其自
25、由度=.3 .设,x,因是来自总体N(M)的一个样本，记区记y=-G,6i=Z=X6-X,则cov(y,Z)=.4设。1,0.7,0.2,1,1.9,1.3,1.8是来自服从区间(0,夕)上的均匀分布U(0,6)的样本，。为未知参数，则。的矩估计夕=.三、证明题1 .设x,X2,，x”是来自正态总体MO,/)的样本，/、2试证：-X,2(2)-1.Jf.I-/(1)2 .设XX2，X”为总体XN,2)的样本,证明121Ai=-X1+-X2-X3,=2X-X1,=X,ZJo都是总体均值的无偏估计，并进一步判断哪一个估计有效。四、计算题1 .已知某种能力测试的得分服从正态分布7V（52,6.32）
26、,随机地抽取36个人参与这一测试，求平均分落在50.8与53.8之间的概率.2 .设总体X的分布率为X0123p22（-）-1-2（9其中。为未知参数，且利用总体的样本值31,3,0,3,1,2,3,求夕的矩估计值与最大似然估计值.3 .设总体X的概率密度函数为/*;a）=（a+l）K,0一1是未知参数,X,Xz,X”为一个样本，试求参数Q的矩估计和极大似然估计.4 .设总体X服从指数分布/*）二“：,0,X,X,X”是来自总体X的样本，（1）0,其他求未知参数/1的矩估计；（2）求义的极大似然估计.5 .设总体X的概率密度函数为6x（。-x）C八1.,oxe,/（X；。）=0,其他，其中。为未知参数，求e的矩估计量.若现有总体的样本观测值3.5,4.4,5.3,4.6,4.8,3.7,5.8,3.9,求。的矩估计值.
