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1、金脑工业史学20112012学年第一学期公等做学习题册参考解答何先枝2011.10习题1-1函数1.设函数/(%)=一，求2a,xO,/(T)，/(O),/(1);(2)-9(xO).xx【解】(1)/(-1)=(2+X)1.T=IJ(O)=(2+X)Oo=2J(D=2Ie=2,z、f(Ax)-f(0)2Ay-2x0,2ax-2x0,x0.(2)jj=ix(2+x)2Arx0)O2.已知fd)=x+Jl+2,求f(x)X【解】令I=,则/(f)=；+广，故/(彳)=卜Jl+不。3 .证明：/。)=2工+5巾，在(-00,+00)内是严格递增函数.【证】方法1(定义法)JV对任意X,2(-,-H
2、3),X12(x2-x)2,(1)-=x2-x10,其中用到一1cossinxx*0),:=2工+5由工在(-00,+00)内是严格递增函数。方法2(导数法)：f,(x)=2-Cosx0(-x)o4 .设/(幻在-,上是奇函数，证明：若/)在0,上递增，则/(x)在-兄0上也递增.【证】V对任意西,-a,0,x10有一芭-x1W0,6z,-x1-X2,：由Fa)在0,030)上单调增加可得：/(-x1)/(-x2)O又,：F(X)在-。MI上是奇函数，即/(-%)=-/(Xl)J(-工2)=-/*2)，(X2)9即/(%)/()，故F(X)在上也是单调增加。习题2-1极限1.求下列极限:(I)
3、Hm(-2)；+3(-2)w,+3w+,【解】分之分母同除3，利用四则运算极限法则和塞极限可得22-132-142-15-1)2-1鹿2一1二13243-55-2)九(-1)5+1)23145(I)?34(n-l)2-Illl+1n+,2111In+11.1.=Iirn=oMoIn2(3)lim(l+r)(l+r2).(l+rr)(rx+T-x)；X-MOO【解】VV(x+1-Vx)=Vx(7+1-Vx)(7x+1+Vx)(Vx+1+Vx)31(5)lim(-).iX+1x+1,asyrr3(J+l)2+%X2.(1+xX2X)解】1.=Iim=Iimr=Iim-XTTr+17X+1-(l+x
4、i-x+x)=Iim2%,l-x+x22.求常数。和使得Iim如三2二二1.XTOX【解】丁Iim-=1Iimx=O,XToX.v0：Iim(NaX+b-2)=yb-2=09BP/?=4ox0于是,.Vaxb2.(Vax42)(cx42)Iim田=Ilm,XTOXXTox(0x+4+2)ax1aa0X(Jar+4+2)XToyax+4+24:a=b=4。1+px3.若/(X)=-9求Iim/(x),Iimf(X),Iimf(X).-x0XT(FXTOl-ex【解】丁Iim-=-,XTO-X1-Iim=+8,：Iimex=0904Xk-o-Iimex=+o.SO/171+Iimex从而，Iim/
5、(x)=Iimr=i-=1,X0-0-l-exI-IimeXx0-r1+*1+d1.7+1z7+1IimJ(X)=Iimi-=Iim=Iim=XT0+XT(T-r-o1e-+xI11Ill-ex-1hm-1eIee故Iim/(x)不存在。习题2-2无穷小与无穷大1.利用等价无穷小的代换求下列极限：小tan(2x)ln(l+x)(I)Iim；I。sin(3x)arctan(2x)2xX1【解】1.=Iimzo3x2x3-Jl+cos(2)Iim-x0sinX【解】1.=IimXTO(2-1+cosx)(V2+Jl+cosx)x2(V2+Jl+cosx)=IimA0l-cosxXTo2+l+cos
6、x12-xIim-2XTO2zl.l-cos(sinx)IImXToJr【解】1.2sinX.rv21八.smx.21.=IInI5=-(l三)XTOX22XToXln(l+2x)X-Ja+x-ya-xx0,-1xXX22.,.X+1、J(4)hm(-r-)XT8X4-1【解】1.=Iimlim(lIim(I-二/XT82.设N=Io,工用=历三(=1,2,3,)，试证数列X的极限存在，并求此数列极限.【证】(1)证明极限的存在性单调性，n=j6+x“-j6+x,v-Vx=10,2=6+xi=4,x2-x1=4-100oJ由数学归纳法可知：%+(),即J0o或者由数学归纳法VX1=103,x2
7、=j6+x=439x3=J6+2=VlO3,x4=/6+x3=y6+06+9=3,X11=j6+%,6+3=3,J有下界。于是，由单调有界收敛准则知：存在极限Iim%。no(2)求极限：设Iim%=，则由.=J6+怎一I求极限可得=j6+,即t00Ya2-a-6=(a+2)(a-3)=0,解得：a=2,30注意到西70,故=3。习题2-4连续函数及其性质1.求函数FS)=Z的间断点，并说明其类型.-e【解】显然，当X=OJ时，函数无定义，故X=OJ均为间断点。innVIim(1-e1)=-e-=l-e0=O9.t0lim(x)=oo,即工=0为第二类间断点，且为无穷间断点。x0J1.Iim-V
8、Iim(l-e,-t)=l-r,x=l-+w=-,x-三-Iim-Iim(-el-x)=1-1.1=1-5=1-0=1,xrJlim/(x)=0,Iim/(x)=l,即x=l为第一类间断点，且为跳跃间断点。.r.t!*注：*极限四则运算法则，*e,的连续性。2设AX)=!吧匿、试求函数八幻的表达式,若有间断点并说明其类型0,xl,1,1,x,x1,-XyIxIo由图形易知：x=l为第一类间断点，且为跳跃间断点。3.设AX)=noSfx0.要使/(万在(0,+00)内连续，确定常数.a+x2,x0,【解】显然，函数在(-8,0),(0,+00)内为初等函数，故连续。只需讨论分界点X=O处函数的连
9、续性。VIimf(x)=Iim(a+x2)=a9.r00Iim/(x)=Iimxcos-=0(无穷小与有界函数积)，.V04A(TX工当Q=O时，/(幻在(F,田)内连续。X0SinXX4.讨论/*)=1,2(77t)【解】显然，只需讨论分界点x=0处函数的连续性。1-r/、1-SinX.Iimf(x)=Iim=1,XTO-XTO-Xr、r2(Jl+x1)2Iim/(x)=Iim=Iim/=1,XTo+to+XXTtrl+-l:,呵J(X)=1=/(O),即f(x)在(-co,+)内连续o5,求下列极限：(I)Iim31+6)(为常数);XToX【解】方法1由等价无穷小可得：1.=Iim丝=a
10、。XTOX方法2由重要极限与连续性可得：221.=Iimln(l+ax)cavxa.=IimIim=a-.t0X.r0X6.设函数/*)在0,2句上连续，且/(0)=(2),证明在0,句上至少存在一点八使得f()=f(+11).【解】作辅助函数尸(%)=F(X)-Fa+幻,则V/(X)在0,2句上连续，且f(0)=f(211),：F(X)C0,11o：7(0)=/(0)-f(11),F5)=f(11)一f(211)=f(11)-/(0)=-F(O)，=InIim(1+Or)X=Inea=a。x0x0小、1.sin%-sina(2)Iim；XTax-a【解】由三角函数公式、重要极限与连续性可得：
11、_x6.x-a.x-a2cossin,sin11.22xja2.=Iim=IimcosIim=COSa。xaX-ClXTa2XTaX-Cl2Iim之二之(小尸为常数).XTOX【解】显然，当a=/时，1.=Ooeax-Px-pax-ex当a时，1.=Iim()=IimIimx0XXx0Xx0X当/(O)=/(初时，可取4=0,万，满足/=0;当/(0)F(T)时,尸(0)尸.r0x0XTO：/(X)=卜inx在点X=O处的连续性。(2)可导性：,lim/W-/(0)lim-sinx-0Iim=Iim=Ix0-XA0X/(x)-/(0)sinx-0Iim1.=Iim=1,x0tXXfOX:/(x
12、)=binx在点X=O处不可导。注：也可从可导性入手。左右可导函数必连续，但未必可导。习题3-2求导的运算法则1.求下列函数的导数：(l)j=lnx-21gx+31og2x；【解】y=l?+二-。XXIn10xln2(2)y=2(XSinX+cosx)；【解】y,=2vIn2(xsinxcosx)+2r(sinx+xcosx-sinx)=2xln2(xsinx+cosx)+xcosxox-1x2+1【解】y(2+1)2urWo/八secx【解】7y=-1.sinx+cosxcosx-sinX(sinx+cosx)2*y=-n(a-x)-n(a+x)9y-V)22a-xa+Xx-crsin2-(
13、6)y=er；【解】由复合函数求导法则可得:sin21J2sin2y,=ex2sin-cos(7)=7sin-exXXxxX(7)=Jx2-a2-ln(x+x2-a1)；【解】由四则运算求导法则与复合函数求导法则可得:+X2470+2X(8)V=arctan；+77【解】由复合函数求导法则与四则运算求导法则可得:(a+ya2-X2)2y,=7=(Wa2-X2+tz2)=-o(6z+7三7)2+x2为注意：也可先分母有理化，再求导。2.设八幻可导求函数=若的导数。【解】y=lxx2f,(x)72133.设/(X)满足/(X)+2/()=,求/).XX1Q一1V/(X)+2/(一)=-,XX换X为
14、1.可得，-)+2(x)=3oXX由解得：/(x)=2l于是，/=-!。XX4 .已知y=Sin(V),求名,鼻,手.AzyCdy,dy2xcosxdx2xcosx21.firJ-=2xcosx,=cosx,=-r-=：dxdxdx3xax3x习题3-3高阶导数5 .设y=Insecx9求y*r【解】Vy,=secxtanx=tanxtyn=sec2x,SeCX；y版=2sec2tano6 .设/(x)=g(7),其中g是二阶可导函数，试求广(X).【解】.)=志g，.小)=一症7 .设v=l+xev,求心当.dxE【解】隐函数求导法。对.X求导，视y为X的函数：/=ey+xeyy,再对大求导
15、，视V,.v均为r的函数：y=eyy+eyy,+xeyy,2+xeyy)Y在原方程中代入X=O可得：y(0)=1,由可得：y(0)=e,再由可得：/(0)=2e2o8 .求下列函数的阶导数之)：y=*(为常数)；【解】vy=%=2ear,I严=a*(2)y=1-3x+21(X-I)U-2)./)=(-l)fln!-rrx-2)x-)1.(x-2),+1(x1严(3)y=sin2x.【解】Vy=2sinXCOSX=sin2x,yn=2cos2x=2sin(2x+y),yw=22cos(2x+=22sin(2x+2-,；yW=2n-【解】Vy=sin2x+T吗。习题3-4隐函数与参变函数的求导方法
16、1 .求下列函数的导数学：ax砂=ex+y【解】对人求导，视.y为工的函数：y+孙=(l+y),解得:v，J+,)，*-1)Jx-v+vx(l-y)注：*利用原方程可以变形。(2)xv=/.【解】取对数得：ylnx=xlny,再对戈求导，视V为工的函数：y,nx+-=ny+-y,9解Xy得：y=zoaxynx-x2 .证明：双曲线D=片上任一点处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积都等于2/.【证】设切点为(与,%),贝Jvy=-,(x0)=-4oX所求切线方程为y-%=Cl,artX4x即得+2/%于是，切线在两坐标轴上得截距分别为：A=2x0,B=-X。从而，所求三角形面积为4=fA3=f2
17、玉Jl1=2/。3.设1.1.，产/二阶可导求奈.【解】参量函数求导法。dy_y；_f+if一广-19dxx；fn察=袅”dx4.设dtX=InJ1+,求2)，.y=arctant,dx(,)dt1=70【解】F2=1T=4=1dxx,ltdx1dx1(1),1一力(/7.1+Zdxtdt1+C5.求曲线J在对应于,=的点处的切线方程【解】当E=O时，x=0,y=-lVx=(r-1),xft=2t-1,由汕+y+l=。对/求导，视尸刈：/+Ny+Y=。,解得,=于是，%=。=A=O=2TI-=/,故所求切线方程为C.111I匕乙，1y=elx-o习题4-1微分中值定理1.证明：arctanx+
18、arccotx=-.2【证】设/(x)=arctanx+arccotx(-oo+),贝!|Vf,(x)=二+(二)三0(-8+),从而，f(x)=Co1+x1+广取点X=I可得,(1)=arctan1+arccotl=+=C9故在(-oo,+Co)内44211.arctanx+arccotx=o22 .设函数/(x)在,可上连续，在(内可导.证明：至少存在一点J(,),使得吗一=/+.b-a【证】作辅助函数F(X)=M(X)，则/3在,可上连续，在(a1)内可导，F(X)在,可上连续,在(a,。)内可导,且尸*)=/*)+矿*)。于是，由拉格朗日中值定理可得：至少存在一点4(a,0),使得F(
19、b)-F（八）_b-ab-a3 .若/（x）在,Z?上二阶可导，且/（芭）=/（工2）=/*3），其中%2O,bO);-oInCOSbX【解】艺型不定式。8Iz、2产）法1（等价无穷小）右斗.lnl+(cos0r-l).cosax:-l1.原式=Iim=Iim=IimXTo+lnl+(cosAx-1)o+cosbx-l*o+法2（洛必达法则）目斗a1.Ianax等价a2原式二九嗯嬴。嬴*2JB(4) Iimxax-bx)(0,/?0)；XQO【解】08型不定式。一Cia,-Az,1.-rulerIn/7-hInbconlinuit,a原式=Iim=IimCa=na-nh=n-oifIolb1(
20、5) lim(cosxxsinx)tx0【解】1”型不定式。幕指函数极限。由等价无穷小可得l.ln(cosx+.tsinx)t.cos-l+.vsi11lim；Iim；原式=P-i=2-。/(ln(l+O)-0)l.COSx-ISinx11Iim：lm-41一=1.丁I)=e2=。2.设/CX)存在且连续，求Iim+2)-2丁+)+/(x)。Ir【解】由洛必达法则可得：原式品mH+2加-2(X+力瑞)Hm2/(X+2h)-ff(x+)02h0r续=2r-r=r)o习题4-3泰勒中值定理1.写出/(X)=Xln在毛=1处带拉格朗日型余项的二阶泰勒展开式.【解】/X)=InX+1,U)=-M=XX
21、/(1)=O,(1)=(1)=1()=,由泰勒公式可得：/(X)=(D+(l)(x-1)+4P(X-D2(4介于工与1之间)，即lnx=(九一1)+!(九一1)2九一1)3(4介于一与1之间)。262.写出f(x)=x的阶麦克劳林公式.【解】法1(间接法)Vev=l+x+-+-+o(x11,)2!(一1)!:f(X)=XCx=X+2+F,4FO(Ix)0(I)!法2(直接法),：f,M=(1+x)efx)=(2+x)e-fnx)=(+x)ex,/(0)=0,(0)=1,(O)=2,/(0)=3,/)(O)=,：f(x)=xev=x+x2+-+Fo(xn)o习题4-4函数的单调性与极值1 .求函
22、数Oa)=比W的单调区间与极值。尸(Ina)*2(X【解】定义域：x0o0,=0,0x1,x=l,e2,0】.一夕夕.(x)(0,l,(l,e240,不存在,0,0X2,X=2,2%4,-驻点工=2,导数不存在点X=0,端点X=T,x=4,其函数值分别为/(2)=-3VSJ(O)=Oj(T)=-6,/(4)=-22,故所求最大值与最小值分别为：max=/(O)=o,11in=/(-1)=-63 .在抛物线)，=1-/(0工即3(/)2+2/-1=(),故=-2j4+2J,4a-6显然，a-4,在半径为K的球内作一内接圆柱体，要使圆柱体体积最大，问其高、底半径应是多少?【解】设圆柱体底面半径为广
23、、高为叫则IR?一产，圆柱体积为V=2rr2h=211t2ylR2-r2(OVFVR)O：Vf=2112rR2-r2+r22r二产(2R2-3r2)922-r2yR2-r2令H=O,即得r1.o由实际意义可知：当底面半径r=JgA、高2h=卡R时,所作圆柱体体积最大。习题4-5曲线的凹凸性及拐点1讨论曲线y=+号的凹凸性及拐点.的点和二阶导数不存在点。【解】显然，函数定义域为(-8,-I)U(TJ)U(I,+8),故只需关注定义域内函数二阶导数为零,.,.x1X2x.X-1y=1+55=；7(x2-I)2(x2-1)22x(1)(x?+1)22x2x(3+x2)U2-D3(2-D30,=0,0
24、,X-1,X=-1,-1X0,x=0,0x1,，(-8,-1),(0,1)为凸区间，(T,0),(1,+8)为凹区间，(0,0)为曲线的拐点。2.求过y=此上的极大值对应的点和拐点的连线的中点，并垂直于X=O的直线方程.【解】(1)与极大值对应的曲线上的点：yf=(-x)ex,ytf=(x-2)e-9；驻点工=1,且,y=-/0,故X=I为y=x的极大值点，对应的曲线上点为(2)拐点:X0,X=2,知：曲线拐点为N(2,22)/:;x2(3)中点：由中点公式可得M(l)与N(2,2)的中点为：P(,-2g2)0(4)直线：过冶，土学3且垂至于X=O(V轴)的直线方程为了=222习题4-6曲线整
25、体形状的研究1 .求曲线y=l二的水平与铅直渐近线.l-ex【解】Ylimy=Iim工丁=1,，y=l为曲线的水平渐近线。XT8XTS_VIimy=Iim+e1=,；x=0为曲线的垂直渐近线。XTOXToJ_2r22 .描绘函数y=7777的图形.【解】函数定义域为xl显然，X=I为曲线的垂直渐近线。VIim-=2,y=2为曲线的水平渐近线。is(l-x)单调性与极值：0,0xl,不存在，x=l,1,，4x3=(I-X)3y三x*2(1x)12)122,9yJ(F,0)，力(l,+),(0)，Vmin=y(。)=0。凹凸性与拐点：1x+-V/=8J(I-X)40,不存在,0,x-1/2,x=-
26、l2,-l2x,:ylj(co,1/2),C(1/2,1),WC(I,+8),习题4-7导数在不等式证明中的应用JT1 .证明：当OVXV-时，sinX+tanx2x.2【证】单调性法。(x)=sinx+tanx-2x,贝1!IVf,(x)-Cosx+sec2x-2=COSX+；2cos2x+；20(0x(0)=0(0xb0,1证明：nbi(a-b)an-bnnanl(a-b).【证】中值定理法。设/(x)=x,bx,则由拉格朗日中值公式可得：f（八）-f(b)=f)(a-b)Cba9即an-bn=nn-a-b)(YVa)。于是，nbn-l(a-b)an-bnna,l(a-b)93 .证明：当
27、x0时，MT-(DX11l(正整数【证】最值法。设f(x)=M-(l)x,则Vf,(x)=n(n-l)xn2-n(n-l)xn=n(n-l)x2(l-x)，工1.1,，由/(0)=0J=1知：/*)在0,+8)上得最大值为/=1,即对任意.0,+oo),均有/(x)/=1,即依T-5-l)xl。习题5-1定积分的概念与性质1.利用定积分的几何意义计算下列定积分：(1)jxdx；Jol-x2d.21【解】(1)x=S=-22=2o02(2) -x2dx=-S0=-7202 .比较下列积分的大小：(l)Inxdx(Inx)2dx(2)-dxln(l+x)dx.【解】(1)Vlx2,0=lnllnx
28、ln2(Inx)2(1x(lnx)2dxo(2)对Inf在1,1+幻上应用格朗日中值定理可得:Xln(l+x)=ln(lx)-ln=-(0)lx：fdx0o于是，11in=(0)=0o23 .设f(x)=曰,求函数(X)=力在0,2上的表达式，并讨论(x)在(0,2)内X,xl,2,jo的连续性.【解】()=()tfr=0r2Jo力+0力,0xl,1X2,0xl,l2,2-XyX2,./=(x-2)dx+(2-x)dx=1。21t=x-21.或者I=yx-2dx=d=lo1T(2)jVsinx-Sin3XtZr；【解】Vsinx-sin3x=sinxcos2x=JSinXlCOSXcosxjs
29、inx,0x-,2-cOSXJSinx,-x11y22n2*/=cOSXJSinXdX-JCOSXJSinX办=JSinXdSinX-JJSinXdSinX=(7)3fT)311=l-(-l)3=！。333J1*/。【解】由可加性可得：I=j-xdx+exdx=-e-x2+er2=e2e4-2（4）设Fa）=3x-X2+1【解】凑微分法。dfx一、12.,小、I、=arctan(x)0=arctan(2)-arctan(O)1+U)冗arctanl-arctan/(-1)=2arctanl=习题5-3不定积分的概念与性质求下列不定积分:Ijtan2xdx.【解】Z=(sec2x-l)6Zr=t
30、anx-x+Co2.r.Jl+x2【解】Vx4=(x4+x2)-(x2+l)+l,.犬_(4+%2)(x2+1)1_11O=3=X+今01+JTl+x21+JTID于是，/=2(x2-1z-)dr=-3-2x+2arctanx+C)J1+r33f.21dxJsnxcosX/=(sec2x+csc2x)d=tanx-cotx+Co1-cosx,ax.4.【解】V1=sin2X+cos2XJ1-cosIx【解】法2：I-Cosx=2sin2-,l-cos2x=2sin2x,sinX=2sin-cos-,222.Xsin2CXX2sm-cos-22J421-cosx2sin2j1-cos2x2sin2
