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1、第一章随机事务及概率一、依据实际状况写出事务的表达式KA发生必定导致8发生，则AU32、A、8中至少有一个发生，记为A83、A、3同时发生，记为A84、A发生而3不发生，记为A月或A-B5、A及8互不相容(互斥)，即A3二。6、A及B对立(余事务、逆事务)，即8=入，B=9AB=Q二、事务的运算一般出现在选择题中，可通过集合的画图方法直观分析。三、概率计算每年基本有三题左右。1、P(A-B)=P（八）+P(B)-P(AB)2、 P(AB)=P(AB)=P（八）-P(AB)3、A及8互不相容时，P(AB)=O9P(A1.B)=P（八）+P(B)4、A及B互为对立事务，B=A9P（八）+P(8)=
2、P(AIJB)=I,P(AB)=O,且5、A及8相互独立，P(AB)=P（八）P(B)9P(AfB)=P（八）9且A及后、彳及3、x及后相互独立6、A发生必定导致B发生，则AU3,P(AB)=P（八）7、条件概率公式：四、古典概率方法：每年必考，有时独立考，有时在离散型随机变量的分布律里面考。1(1) 从个物品中选择m个物品有C；种组合(2) 将个物品进行排序有n种排法(3)五、条件概率应用题中出现“在的条件下”、“当”等字眼时多用条件概率。每年必考，有时在贝叶斯里面考，有时独立考。六、全概率公式、贝叶斯公式全概率公式：P(B)=P（八）P(51A)贝叶斯公式：尸(4J3)PA1.JPAJP(
3、B)XP(Ai)P(BlAl)/=I基本每年都考，且多数出现在大题里面，且贝叶斯公式的计算一般要利用全概率公式.七、伯努利试验的概率计算凡是题目出现“独立”、“重复”等字眼可考虑贝努利试验，在重贝努利试验中，设每次试验中事务A的概率为p,则事务A恰好发生攵次的概率为勺伏)=C/Pk(1一P)nk/=0,2,每年必考，一般在大题中结合其他常用分布的概率一起考。第二章随机变量及其概率分布一、依据实际问题写出离散型随机变量的分布律XXX2XkPPiPiPk二、依据离散型随机变量的分布律求未知参数讲解：95；P30例2-1,P342利用性质：ZPA=I三、依据离散型随机变量的分布律求指定范围的概率讲解
4、：98,99,100；P356方法：将符合范围的X值对应的概率相加四、依据离散型随机变量的分布律求其函数的分布律讲解：105；P5。例2-24,P551.2步骤：(1) 列举函数的取值(2) 将各取值对应的X的概率作为各取值的概率，如对应多个X值，则将对应的全部概率相加作为当前取值的概率五、分布函数的推断讲解：107；P384通过分布函数的性质推断：(1) 0F(x)l(2) limF(x)=0IimF(X)=Ix-x+(3)等号取在区间较小的端点处(即右连续)六、依据离散型随机变量的分布律求其分布函数讲解：108,110；P36例21，P382步骤：利用各个取值将(F,)划分为若干个子区间，
5、且等号取在小端点处。第一个为0,每递增一个则累加一个概率七、依据分布律求分布函数对应的概率讲解：111公式：F(x)=PXx,分布函数的实质是一个特别范围的概率八、依据分布函数求指定范围的概率讲解：113,114,115；P37例2-13,P382公式：(1)PXb=F(b)(2) Pab=-F(b)连续型随机变量的概率密度的推断讲解：118,119通过概率密度的性质进行推断：(1)/(x)0(2) Jf(x)dx=1十、依据连续型随机变量的概率密度性质求未知参数讲解：121,122,123,124,125；P40例2-14,P482利用公式匚/(x)d=lH、依据连续型随机变量的分布函数求概
6、率密度讲解：128；P41例2-16,P483公式：f(x)=Ft(X)十二、依据连续型随机变量的概率密度求分布函数公式：F(x)=af(t)dtJ-OO十三、依据连续型随机变量的概率密度求其函数的概率密度讲解：134;P53例2-27、例2-29,P54例2-31八十一、JS(y)/(y),y/公*加叫0,其他其中x=(y)为y=g(x)的反函数，,/7为X对应的g(x)的值域十四、依据连续型随机变量的概率密度求指定范围的概率讲解：135,136,137,138,139,141；P41例2-17,P494公式：(1) PX=a=O(2) PaXb=PaXb=PaXb=PaXb=f(x)dx十
7、五、常用分布的概率分布、分布函数、概率密度的相互推算常用分布列表见第四章学问点，每年必有2-3题考。十六、正态分布的概率计算172,两种方法：设XN(d)(1)利用公式：(a)(b) PaXbPaXbPaXb=Paa=PXa=-(-)(2)利用对称性：概率密度函数的曲线关于X=对称（八）PX=PX=(b)在x=两侧对称的随意范围，其对应概率均相同第三章多维随机变量及其概率分布(要求：二维)、依据二维离散型随机变量的联合分布律求未知参数(X,Y)的分布律可写成以下形式：X?1%yiPllPnPmX2P2IPnPijPilPnPij%=二、依据二维离散型随机变的联合分布律求指定范围的概率187,；
8、P63例33P722,P80例325,P81例3-26,P832,P84方法：将符合范围的概率相加三、依据二维离散型随机变量的联合分布律求边缘分布律197步骤：(1)列举某一随机变量的值(2)分别对每个值对应的全部概率相加，构造一维随机变量的分布律四、依据二维离散型随机变量的独立性求未知参数199公式:PX=xi,Yyj)PXxiPYyj五、依据二维连续型随机变量的联合概率密度求未知参数公式：+f(x,y)djcdy=l-J-Oo六、依据二维连续型随机变量的联合概率密度求指定范围的概率方法：在指定范围上对联合概率密度进行积分七、常用分布的概率密度及分布函数的相互推算(1)(2)(3)匀称分布联
9、合概率密度：I1.(X,y)w,5为由面积/(x,)=p-0,其他指数分布(当X和y相互独立)磔入人女N*m、(l-)(l-),x0,y0联合分布函数：F(x,y)=0,其他正态分布(当X和y相互独立)(x-,)2(y-)2联合概率密度：f(xiy)=e22rl2边缘概率密度：人(幻=_6苫华，fy(y)=_e211y2112八、依据二维连续型随机变量的联合概率密度求边缘概率密度，并推断独立性一*般状况：干脆利用积分计算公式：f()=,f(ty)dy,-+00：f(y)=Jf(xy)dx,-00y+若有f(,y)=fx()4(y),则X和丫相互独立特别状况一一填空或选择题中涉及指数分布或正态分
10、布，一般为X和丫相互独立，即可利用以下规律(1)指数分布联合分布函数：F(,y)=联合概率密度：/(x,y)=0,y00,其他边缘分布函数：FxM=1-小，010,其他，耳I-eiyO0,其他边缘概率密度：,正态分布(X-M)2Cr2-联合概率密度：f(x,y)=-e22曷(y-4212封2o2边缘概率密度：fx(x)=-ie2,f(y)=-1-e211x2112九、依据二维连续型随机变量的联合分布函数求联合概率密度公式：十、利用独立性计算指定范围的概率一般公式：PXx,Y04连续型匀称分布XU(a,b)F(x)=0,xax-a.,axbb-a,xbC-,axbf(x)=b-a0,其他a+b2
11、指数分布XE（八）I1正态分布XN(d)二、利用定义计算离散型随机变量的E(X)、E(X2)、E(XY)XE(g(X)步骤：(1) 写出对应的分布律(参考其次章第六个学问点)(2)利用定义公式E(X)=ZzPi计算J三、利用定义计算连续型随机变量的E(X)、E(X2)、E(g(X)方法：(2) E(X)=xf(x)dx(3) E(X2)=x2f(x)dx(4) E(g(X)=J：g(x)/(x)公四、利用定义公式计算随机变量的方差步骤：(1)利用本章其次个学问点或第三个学问点计算E(X)、E(X)o留意：若为二维随机变量或一维随机变量的函数，则先进行以下处理，再依据处理后的结果进行上述计算。a
12、)若为二维随机变量，则利用第三章的第三个学问点或者第八个学问点求出边缘概率分布。b)若为随机变量的函数，则利用第三章的第四个学问点或者第十三个学问点求出其概率分布。(2)套用公式。(X)=E(X2)_E(x)2计算方差(若已知e(x)、D(X),也可通过此公式求解ax?)五、利用性质公式计算随机变量函数的期望和方差(I)期望的性质a) E(aX+b)=aE(X)+bb) E(ClX+C2Y)=C1E(X)+C2E(Y)c)若X、Y相互独立，E(XY)=E(X)E(Y)(2)方差的性质a)D(aX+b)=a2D(X)b)若x、y相互独立，则有。(GX+GY)=c;Z)(X)+。沙(丫)六、利用公
13、式计算协方差(1) 若题目给出离散型随机变量的分布律，则可利用定义计算凤X)、E(Y).E(XY),再利用公式CoVX,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)计算(2) 若题目给出连续型随机变量的概率密度，则利用公式&nX,Y)=E(X)(y-E(y)0,yMry计算J-OOJ-OO(3) 若题目给出。(X),D(Y),P,则可利用CbU(X,Q=PXY1D(X).DU)计算(4) 若题目给出0y=O,则必有Gw(XI)=O(5) CovaX,bY)=abCov(X,Y),Cov(Xl+X2,K)=Cov(XrK)+Cov(X2iY)七、利用协方差公式计算方差公式：D(XY)=D(X)+D(Y)2
14、Cov(X9Y)八、利用公式计算相关系数方法：(1) 公式：(2) 若X及丫相互独立，则X及丫不相关，即PXy=O或COU(X,y)=o；反之不然。(3) 若二维随机变量(乂,丫)听从二维正态分布(必,2，12,8,P),则X及y不相关(即夕Xy=O或CoWX,y)=o)OX及丫独立第五章大数定律及中心极限定理每次考试均有一题，基本为填空或者选择，建议熟记以下状况。一、切比雪夫不等式公式：尸|X(X)|或P|XE(X)|0,三、中心极限定理的应用方法：(1)设随机变量XB(,p),则近似听从N(M)分布，其中E(X)=印、D(X)=np(-p)价,事件A不发生(2)设Xj=I击/-J(i=l,
15、2,，)，且P（八）=，X,X2,X相互独立，1,事件A发生则近似听从N(p,印/分布。(及第一种状况类似)(3)设随机变量X,Xz,X”相互独立同分布，且E(Xj)=，D(Xi)=2fZ=1,2,则近似听从N-,?)分布,即近似听从N(OJ)分布。第六章统计量及其抽样分布三种常用的抽样分布名称定义期望Z2设X,乂2，XU独立同分布于标准正态分布N(OJ),则/=乂2+、22+、“2听从自由度为的力2分布，记为/()nF设XZ2(W).z2(11),且X及y相互独立，则听从自由度为根及的尸分布,记为Z7尸(犯)t设XN(0,1)、Yri)t且X及丫相互独立，则听从自由度为的，分布，记为ft(n
16、)0(1)(1)0分位数设C为当前统计量T的。分位数，则有P7c=特别地，每次均有12题填空或者选择。二、样本均值和样本方差的期望和方差设不,，x为来自总体X的一个样本，且E(X)=以,D(X)=2f为样本均值，为样本方差。(1) E(x)=,E(s2)=2a)当总体XN(J1.I,/),b)当总体X分布未知(或不是正态分布)，则近似听从(2) 4=r(n-l)sJns第七章参数估计矩估计和极大似然估计每次基本都考，但有时考一种，有时两种都考。、矩估计步骤：(1)利用第四章学问求E(X)利用E(X)=H或求出未知参数的矩估计值p(乙；夕)二、极大似然估计步骤：构造以未知参数为自变量的似然函数：
17、1.S)=P(XI;。)P(X2；夕)对似然函数进行对数化处理。求出对数似然函数的驻点，即为极大似然估计三、估计量的无偏性方法：利用期望计算公式计算估计量。的期望值E(J),若Eg)=6,则。是。的无偏估计。留意：设X,Xz,，X”为总体X的样本，则X,Xz,X相互独立，且E(XJ=E(X)四、估计量的有效性方法：设a是未知参数。的两个无偏估计，假如o()（八）(假如题目没给出，可利用方差计算公式计算)，则比a更有效。留意：设x,Xz,，X”为总体X的样本，则X,X2,，X相互独立，且O(Xj)=O(X)五、参数的置信区间正态参数总体的区间估计表(置信度为1-。)所估参数条件置信区间2已知_1
18、X-Ua/27，X+%2JjOj未知元一%2(-1)弓=，亍+2(1)弓=1.Wwj两类错误的推断及概率第一类错误：“成立时拒绝,也叫拒真错误，其概率及显著性水平。相等。其次类错误：HO不成立时接受“0,也叫取伪错误。六、假设检验步骤：（1） 依据实际问题提出原假设HO及备择假设H1（2） 选择适当的检验统计量各种统计假设检验状况表（显著性水平为）检验法%条件检验统计量接受域A=Ao-ual2uual2U检验No2己知N%AAoI，fa二0-%25T)w%2(-I)，检验4%2未知tta(n-)AAo-ra(n-l)22b=-a(n-)2l(n-)122/检验2o未知Z2Za-0z2z1.(-i)（3） 依据给定的显著性水平确定接受域（4）依据样本值计算统计量的值，若落入接受域，则认为“为真，接受；否则，拒绝（5）依据实际问题写出最终结论第八章回来分析一、参数的最小二乘估计方法：利用公式A=5一6R求A或4二、利用最小二乘法建立线性回来方程xiyi-rixy4=-z5-公式：1.xxZXi-nxK=y-
