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1、sars的预料限制模型SARS的预料限制模型摘要本问题是一个关于传染病限制的数学预料模型。首先，我们对附件1的模型进行了深化的分析，认为它具有肯定的合理性，但是时于预料而言，好用性却不强。为了能够达到精确预料的效果，我们建立了一个微分方程组的传染病限制模型来描述SARS传播的过程，此模型在探讨了SARS传播过程的基础上，采纳了差分计算的方法深化地分析了感染人数的改变规律，度量传染病扩散的程度并对制止其扩散的手段进行r较深化的探讨。在模型中依据政府相关限制措施来确定日治愈率）（t,日接触率）（t的值，预料了传染病高潮的到来时刻。此外，针对SARS对北京市接待海外旅游人数的影响，利用时间数列分析方
2、法建立了预料模型，并且得到9-12月北京地区海外旅游人数分别为：19.6、24.5、26.7、22.6（万人）一、问题的重述：SARS（SevereAcuteRespiratorySyndrome,严峻急性呼吸道综合症，俗称：非典型肺炎）是21世纪第一个在世界范围内传播的传染病。SARS的爆发和扩散给我国的经济发展和人民生活带来了很大影响，这其中有很多重要的阅历和教训，特殊应当相识到定量地探讨传染病的传播规律、为预料和限制传染病扩散创建条件的重要性。问题归结为对SARS的传播建立数学模型，其详细要求如下：（1）对附件1所供应的一个早期的模型，评价其合理性和好用性。（2）建立模型，并说明其优于附
3、件1中模型的缘由：并说明建立一个真正能够预料以及能为预防和限制须要供应哪些信息、将面临哪些困难，并对卫生部门所实行的措施做出评论。（3）依据所供应的SARS对北京旅游业影响的数据，建立相应的数学模型并进行预料。（4）给当地报刊写一篇通俗短文，说明建立传染病数学模型的重要性。二、对附件1的早期模型的评价：1）附件1模型的参数说明：ON：初始时刻的病例数。K：平均每病人每天可传染人数。1.：平均每个病人在被发觉前后可以造成干脆传染的期限。表示时间，以天数为单位。2）附件1模型的基本假设：（D设病人在1.期限后失去传染作用，其缘:由可能是被严格隔离、病愈不再传染或者死去等等；对于不同的疫区和疫情阶段
4、，在20天这个值。(2)不考虑疫情出现失控或反熨的状态。(3)将整个SARS疫情的过程分为初期、过渡期、稳定期。初期：指从疫情起先到疫情的高峰期，此阶段，整个社会的防范程度都比较低，K值相对高；过渡期：指初期过后的10天，此时由于社会加强了宣扬力度，提高了人们的防范1.的值在1525之间，为了简洁把1.固定意识，使得K值逐步下降到很小。稳定期：指疫情得到基本限制，3)附件1模型的建立：K降低到一个很小的稳定值，直到没有病例。假定初始时刻的病例数为ON,平均每病人每天可传染K个人(K一般为小数)，平均每个病人可以干脆感染他人的时间为1.天。则在1.天之内，病例数目的增长随时间t(单位天)的关系是
5、：tKNtN)l(0)(假如不考虑对传染期的限制，则病例数将依据指数规律增长。考虑传染期1.的作用后，改变将显著偏离指数率，增长速度会放慢。4)附件1模型的求解：为了简洁起见，可以依据香港、广东及北京的非典时期的数据来进行拟合，定出对应阶段的K值。从起先至到高峰期均采纳同样的K值(从拟合这一阶段的数据定出)，即假定这阶段社会的防范程度都比较低，感染率比较高。到达高峰期后，在10天的范围内逐步调整K值到比较小，然后保持不变，拟合其后在限制阶段的全部数据，即认为社会在经过短期的猛烈调整之后，进入一个对疫情限制较好的常态。依据附件1模型的假设(1)(2),采纳半模拟循环计券的方法，把到达1.天的病例
6、从可以引发干脆传染的基数中去掉。对疫情发展的初期分成两个阶段来考虑：(1)：从起先到第1.天在这一段时间之内，全部的病人都会有传染给别的正常人的实力，所以，总的病例数可以近似的看成一个指数的增长，即)()1(0)(1.tKNtNt(*)(2)：第1.天后到高峰期由于假设1.天前的病人不再有传染实力，依据半模拟循环方法在计算病例数增量的时候，则要把不会传染的人数从总人数中分开。那么当11.t天时，因为第一天的病人失去了传染力，所以得到)1(IR的病例总数为：同理，可以这样)O(N)l)(00(D1(KN1.N1.N求出：)1()1)(1O1()2(NKN1.N1.N因为在高峰期前，由假设K值是一
7、个定值，所以，用数学归纳法可以得到：)1()1)(1()1()(iNKiNi1.Ni1.N(*)北京在3月I号发觉了第一例患者，那么可以认为，对于北京来N(0)=1,且北京疫情的起先是3月1号。将I)O(N代入(*),(*)式，用C语言对半模拟循环计算方法进行编程(源程序见附录1),可以很简洁的得到北京从疫情起先到高峰期的这59天里每天的患者总数(见下表)患者数(计算值)患者数(实际值)口期患者数(计算值)患者数(实际值)日期患者数(计第值)患者数(实际值)3.213.22154.111643.313.23174.121843.413.24194.132073.523.25224.14233-
8、3.623.26274.152623.723.27284.162943.823.28314.173313.933.29354.183723.1033.30404.194183.1143.31454.204703393.1244.1504.215284823.1354.2574.225945883.1454.3644.236686933.1564. 4724.247517743.1674.5814.258448773.1784.6914.269499883.1894.71024.27106711143.19104.81154.28119911993.2012-4.91294.2913471347
9、3.21144.10146-上表中可以看出，由该模型计算出的数值和实际的数值相差不大，将得到数值的误差和实际数值相比，不会超过5%o可见，这个模型还是有肯定的合理性，比较正确的反映了在疫情发生的初期，患者总数和天数之间的关系。5）附件1模型的不足：D附件1建立的早期模型事实上是个指数增长模型，虽然考虑到了传染期的限制，但是这个模型的误差随着时间的推移将会增大。所以，用这个模型去预料过渡期以及稳定期的状况就会产生较大的误差。2）附件1的模型中由于将1.表示的平均每个病人在被发觉前后可以造成干脆传染的期限定在了20天这个固定的值，而没有考虑到高峰期时政府为了有效限制该病的传播而加大了宣扬的力度，可
10、能会使得病人的有效传播期减小。3）附件1模型中对广东和香港的数据拟合得到的K值只是适用于当地，假如用于北京的状况则表现出较大的误差。这就说明白由公布的SARS病人数据得到的相对固定的K值对其它地方下次预料没有太大的实际作用。三、对SARS问题建立新的模型1.问题的分析与假设社会、经济、文化、风俗习惯等因素都会影响SARS的传播及最终的结果，但是，最干脆的因素是：FlIil传染者的数量及其在健康人群中的分俯，被传染者的数量，传播形式及病毒本身的传播实力等。在建立模型时不行能也没有必要考虑全部的因素，只能抓主要的因素进行合理的假设和建模。由此，我们做如下的假设：1）国家卫生部供应的全国疫情统计真实
11、牢靠。2）将SARS全部可能的传播途径都视为与病源的干脆接触。3）在疾病传播期内所考察的地区的总人数N视为常数，不考虑人口的流淌。4）依据目前的医学调查资料，SARS康夏者尚未熨发。因此，我们可以假设一个SARS康复者再次感染SARS的概率为0,这些人势必会留意个人卫生远离传播源，所以他们既不是易感染者，也不是已感染者，可视为他们已经退出SARS传染体系。5）相对于传统的传染病，SARS的传播时间不是很长，故假设不考虑这段时间内的人口诞生率和Fl然死亡率，而对于由SARS引起的死亡人数，也将其视为退出者。2 .模型的参数说明：）（tl：第t天患病的人数。XtR:第t天退出传染系统的人数。XtS
12、=第t天易感染人群的人数，即健康者的人数。）（R:第t天死亡的人数。）（R：第t天治愈出院的人数。）（ti：第t天病人占该地区总人口的比例。）（tr：第t天退出传染系统的人数占该地区总人口的比例。）（ts：第t天易感染人群的人数占该地区总人口的比例。*口接触率，即每个病人在传染期内每天有效接触的平均人数。*日治愈率，即每天被治愈的病人数占病人总数的比例。传染期接触数，每个病人在传染期内有效接触人数。3 .模型的建立：3.1微分方程组模型：由假设3）明显有：lt2tNtStRtI）（）（）（即:1）00（tstrti（1）设）（”是连续、可微的函数，考察从t到tt病人人数的增加,就有:)00()
13、()(tltstlttlttl时，得到微分方程：(1)0()0(I000IIIlsdtdl为记初始时刻的患病人数除以总人数N即为：i)O(iiisdtdi(2)对于病愈或死亡的退出者而言同理应有：0)0()O(R/统的人数为记初始时刻退出传染系IdtdR即为：r)0(r/idtdr(3)再记初始时刻的易感者人数是)0(00SS其比例是)0(00ss,那么可以将易感人群的函数)(tS表示成为：SO)0(SSidtdS除以总人数N即为：0)0(sssidtds(4)3.2差分方程组的模型：由于微分方程组(1)(2)(3)(4)无法给出解析解,为了得到模型的数值解,特建立以下差分方程组：tsttSt
14、S()1010(N()1t)1ItNtstststRtltIRttRtIttSttItItI/)0()()()1()1()K)O1()1()1()1()1()10(其中)(t,Xt是关于t的函数。四、模型的求解为了得到（5）式中的）（1与）（1的表达式，由附件（二）的数据得到）（t与口接触率）（t与时间t的关系O（5） （6）（7）（8）（9）从图中可知，在第25天前，）（1基本为一条直线，由经过拟合得258119.0487.810274.310442.510422.32400.0108）（223446ttttttt在第25天后，）（t也基本为一条直线,经过拟合得25002.02404412.
15、007335.0004559.00.0009419-）（23tttttt解得以下一组解：口期累计病例数（计算值）433累计病例数（实际值）482日期累计病例数（计算值）2470累计病例数（实际值）25124.215.234.225515885.24247425144.236786935.25247725174.248107745.26248125204.259418775.27248425214.2610669885.28248625224.27118211145.29249025224.28128911995.30249325224.29138413475.31249525224.30147
16、214406.1249825225.1155415536.2250025225.2163116366.3250225235.3170517416.4250425225.4178118036.5250625225.5185818976.6250825225.6193819606.7250925235.7202220496.8251125235.8210821366.9251325225.9219521776.10251425225.10228022276.11251525225. 11235722656.12251625215.12242023046.13251725215.1324612370
17、6.14251925215.14247123886.15251925215.15244024056.16251925215.16244324206.17252025215.17244824346. 18252025215.18245224446.19252125215.19245524656.20252125215.20246024906.21252125215.21246224996.22252125215.22246725046.2325212521该组解与北京实际值的比较见图:五、模型的评价该模型与附件1的模型相比，具有以下优点：1 .预料性强，与可以依据当时的状况改变而改变，并且应用此
18、模型可以有效预料以后的状况。2 .考虑了免疫人群SARS患者经治愈后，至今为止尚未发觉一例熨发的状况，因此可以将SARS患者以及由于患SARS而残废的人群视为免疫人群，从而保证了模型的精确性。模型的不足：1 .未给出）（t,Xt与政府制定的相关政策的解析关系式；2.由于影响的因素多、收集信息困难、传播途径不明确，模型得出的计算值与实际值仍有肯定偏差。对卫生部门实行的措施的评价：由图可知，在卫生部门实行严格措施（4月20口）以后，累计病例仍有一个为期25天左右的上升过程，因此刚好发觉和实行严格隔离措施能够有效地降低累计病例的峰值，经此模型计算，提前5天实行隔离措施将使峰值得到明显的降低。六、SA
19、RS对经济的影响模型1.问题分析：今年的SARS疫情虽然已经过去，但是不行否认的是SARS对我国的经济有着不小的影响。将今年北京市接待海外旅游人数与往年做一个比较，可以发觉今年的海外旅游人数大大低于往年，所以可以从这些数据中大致了解到SARS对我国经济的影响。旅游每年人数的发展改变都是很多因素共同影响的结果。而对旅游业一个长时间的统冲来看，各时期指标数值受到多种因素的影响，其中有些属于基本因素，它对于各个时期都起着普遍的、长期性的、确定性的作用，例如旅游业受季节影响的成份；W些属于偶然因素，它只起局部的、临时的、非确定性的作用，且作用的大小、方向不定，从而使时间数列出现短期的不规则的波动,如一
20、些突发的Fl然灾难和疾病的传播等。2 .模型的建立及求解：对于北京市接待海外旅游人数的附表进行统计分析，结合时间数列与预料分析的数学模型来分析SARS爆发对北京市接待海外旅游人数的影响。由于一般状况下，时间数列包含长期趋势、月份变动、循环变动和不规则变动，分别用T、S、C和表示。可以把时间数列设想为上述四种变动相乘的模型，即：STY式中:Y代表时间数列中的指标数值（视察值）。为了简化模型，以各年同月份为考察对象，可以将时间数列中包含的循环变动和月份变动以及不规则变动的影响忽视不计，设其值均为1.仅考虑各年同月份的长期趋势。此外，统计表中的异样数据也可以予以剔除。2.1用最小二乘法拟合长期趋势分
21、析从1997年到2002年的统计数据发觉，各年同月间北京市接待的海外旅游人数直线趋势总体成上升趋势。所以可以用直线趋势方程来进行拟合。宜线趋势方程的一般形式为：ICbtaye式中：ey时间数列中的长期趋势值：t时间数列中的序时值：a常数，是Ot时的ey的数值；h直线的斜率，表示t变动一个单位时，ey的变动量，也始常数。用最小二乘法拟合直线方程，其待定参数a、b确定于标准方程组bt2tatytbnay式中：y代表时间数列中的实际观测值11代表时间数列中观测值的项数。上式中t、y、n都是已知数，解联立方程可得a、b的计算公式：2)ty2)(t222ttnynbtntytyta在实际计算时，由于t只
22、是序时值，可用，2,1,O等来代替。我们将取作1997年。依据上面的方法，分别求得每个月的长期趋势方程为：ty81.092.81tttttttttty26.401.92ty35.153.153y97.167.184y24.279.185y21.225.176y39.198.187y74.111.238y53.132.239y46.132.2410y84.194.1911y08.114.16123.模型的应用依据上面建立的数学模型，我们可以把时间2003年（此时t=6）代入从前建立的方程中，可计算出2003年2月之后的预料值与实际值之间的差值较大，特殊是在五月份相差了近20倍。在建立模型的时候，
23、依据前几年的统计数据与理论值之间误差不大（例如下表一月份数据）。年份实际值19979.419989.6199910.1200011.4200111.5200213.7从这个巨大差距上，可以看出SARS病毒作为旅游业的无规则变动因素对时间数列模型的视察值有很大影响。我们可以假设2003年12月份的海外旅游人数已经回到正常值，由从前的预料模型得到的方程可知，12月的预料值为22.6万人，而八月份的预料值为33.6（万）。八月份后，随着SARS疫情的远去，人们的心态渐渐回到以前，那么可以认为，9、趋势值8.929.7310.5411.3512.1612.9710、11、12月旅游人数渐渐正常，（即渐
24、渐靠近正常预料值），不妨假设这四个月的实际旅游人数与正常预料值的差值d=4.3为一等差变换，由预料公式可以求出8、9、10、Ik12月的正常预料旅游人数分别为33.6,32.5,33.1,31.0,22.6（万人）。可以得到8月份的理论实际差值为33.6-16.2=17.4（万人）9、10、11月的实际旅游人数将分别比正常预料值要低12.9,8.6,4.3（万人）所以9、10、11月经过SARS后预料旅游人数分别为：19.6,24.5,26.7（万人七短文建立传染病模型的重要性传染病始终是人类健康的大敌，每年全世界都会有很多人死于各类传染病.霍乱、天花甚至于现在很一般的流行性感冒，都曾夺走千千
25、万万人的生命，给社会带来了巨大的损失.随着卫生设施的改善，医疗水平的提高以及人类文明的不断发展，这些曾经肆虐全球的传染性疾病已经得到有效的限制.但是一些新的，不断变异着的传染病都静静向为类袭来.20世纪80年头非常恶的爱滋病毒起先在全球扩散，今年来历不明的SARS病毒突袭人间，全部的这些，都给人们的生命财产和社会的安定带来了极大的危害。在同传染病斗争的岁月里，人们渐渐的相识到，不仅要从医学的角度着手去相识和了解传染病，而且，为了更彻底的防范和限制传染病，我们还应当建立有效的预报机制，这种机制就得要依匏合理而好用的数学模型，长期以来，建立数学模型来描述传染病的传染过程，分析受感染人数，改变规律，
26、探究罅传染病扩散的方法等，始终是各国有关专家和官员关注的课题。在当今社会，数学模型的概念已经口渐深化到了社会生活的各个领域，数学模型的应用已经变得越来越广泛，在不同的领域里建立不同类型，不同方法，不同深浅程度的模型的余地相当大，马克思就曾经说过一门科学只有胜利地运用数学时，才算达到了完善的地步。诚然数学模型对防治传染病而言作用就更大了。今年全世界流行的SARS病毒，不仅给社会带来了巨大的损失,也给人们带来了极大的恐慌，在政府的严格限制政策下，在全国人民的主动协作下，我们最终打羸了这场没有硝烟的斗争，但是当SARS再次来临的时候，我们应当实行怎样的措施呢？占人有云：知己知彼，百战不殆，一方面我们
27、要尽快提高我国的医疗水平，另一方面我们更要对SARS疫情有个全面的了解，比如疫情大致分为几个什么阶段，各个阶段有些什么特点，什么时候到达疫情的高峰期等等，要解决以上几个问题，光从医学上着手可能就无能为力了，这时就须要对传染病的传播的整个过程建立一个牢嵬的发展预料模型，以达到对整个疫情了解的目的。可能有人会提出这样的质疑，疫情已经过去了，你现在事后去建立数学模型乂有什么意义？我们知道数学模型的作用主要在于预料，所以就要求建立的模型有好用性和合理性，这样建立起来的数学模型就有很好的指导性了。首先，数学模型的建立可以提前预料高峰期的来临，以致于不造成人们过度的恐慌，维持较好的社会程序。谈SARS色变
28、很大程度上是因为人们并不了解SARS疫情的规律，只是一味的因为SARS患者数目的增加而感到恐惊。其实北京今年SARS的高峰期在4月29号到5月8号，在5月9号以后虽然每天患者人数增加得较多，但是却已经进入了疫情限制的后期了，假如人们都能清晰的知道这一点，就不至于陷入如此大的恐慌。O其次，数学模型可以为政府供应较为精确的预报数据，便利政府制订合适有效的防范措施，今年的SARS疫情最初发生广东，由于当时人们对SARS的了解较少，对于SARS也没有任何参考数据可言，所以广东经过100天才达到疫情的高峰期，而从高峰期回落到1/10以下大约用了7080天，而香港、北京因为有了广东的数据作为参考，整个疫情
29、的时间只持续了广东省一半左右，由此便可见数学模型的重要性了。另外，建立可行的数学模型还可以将发生疫情后经济损失降低到一个最低值，也为日后在最短时期内的经济第苏供应最优的方案。纵观以上几点，建立传染病数学模型的作用就举足轻重了，而且随着科学技术的发展，数学模型在与传染病的斗争当中必将发挥更大更好的效果，给人们的带来更大的福音。参考文献1姜启源谢金星叶俊，数学建模(第三版)，北京：高等教化出版社，2003年。2尹泽明丁春利等，精通MAT1.AB6,北京：清华高校出版社，2002年。3赵静但琦等，数学建模与数学试验，北京：高等教化出版社施普林格出版社，2000年。4谭浩强，C程序设计(其次版)，北京
30、：清华高校出版社，1999年。5E思科技产品研发中心，MAT1.AB6.5协助优化计算与设计，北京：电子工业出版社，2003年。6张彪，统计学教程，湖南：湖南科学技术出版社，1993年。附件一：求解差分方程数值解的源程序#includcstdio.h#includemath,hmain()intt,i;doubleU0,PO,10,RO,SOJ1,Rl1SI,IT,RT,ST,N,st;FI1.E*fp;fp=fopen(sars,w);N=I1363000;10=288:R0=51;S0=N-288-51;11=10;Rl=RO;Sl=SO;printf(n);for(t=0：t=64;t+
31、)i=t+l:if(t=0t=24)elsePO=-O.00009419*i*i*i+0.004559*i*i-O.07335*i+0.4412;PO=O.002;if(t=0t=24)UO=O.0108;elseUO=O.0000003422*i*i*i*i-0.00005442*i*i*i+O.003274*i*i-0.08487*i+0.8119;st=SlN;IT=(I-UO)*1l+PO*st*I1：RT=UO*I1+R1;ST=(1-PO*I1N)*S1;N=ST+IT+RT;fprintf(fp,P0=%6.4f,IT=%6.If,RT=%6.If,ST=%16.If,N=%10
32、.If,st=%1.9fn,PO,IT,RT,ST,N,st);Il=IT;Rl=RT;Sl=ST;fclose(fp);附件二：求解附件1的早期模型数值解的源程序ttincludcmath.hWincludestdioJimainOfloatN100,k=0.13913,a=0,b=0,c=0:inti=0,1=0,j=0,M=1,z;N1=M:c=Nl:for(l=l:1=20:1+)Nl=c*(l+k);printf(%ft,Nl);c=Nl;for(i=l,z=20:i=45:i+)a=N20i-l;b=Ni;Nz+i=(k+1)*a-k*b;printf(%ft,Nz+i);printf(n);
