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1、SARS的传播摘要SARS（SevereAcuteRespiratorySyndrome,严峻急性呼吸道综合症，俗称非典型肺炎）是21世纪第一个在世界范国内传播的传染病CSARS的爆发和扩散给我国的经济发展和人民生活带来了很大的影响。为了能定医的探讨传染病的传播规律，人们建立了各类模型来预料、限制疾病的发生发展C对于问题1,给出了一个早期指数模型，它在短期内有着计算参数简活等合理性与好用性，但却存在着用短期数据分析预料后期疫情发展趋势的缺陷。基于此，我们考虑引进新的参数，建立更优的模型。对于问题2我们在早期模型的基础上进行改进，建立了SIR模型，考虑到疑似患者的变更状况，分别建立了模型一和模型
2、二。对模型进行了合理的理论证明和推导，所给出的理论证明结果符合模型所给数据，然后运用相轨分析法以与借助Matlab,excel软件，对附件中所供应的数据进行了拟合和分析。最终依据模型的分析结果对卫生部门所实行的措施如提前或延后5天实行严格的隔离措施，是有数学依据的。对于问题3我们依据表格所给数据，运用二次回来的方法先对03年1月份至12月份的数据进行旗料，再运用Matlab中的作图工具箱做出未受SARS的影响图和受SARS的影响图，毋终进行比较分析，得出结论：SARS对北京的旅游业造成影响。关辘字：SIR模型、Matlab、excck二次回来方程、相轨线一、问题重述SARS(非典型肺炎)的爆发
3、和扩散给我国的经济发展和人民生活带来了很大影响，因此定量地探讨传染病的传播规律，对预料和限制传染病扩散起着很大的作用。现对SARS的传播建立数学模型，详细要求如F：(1)对附件1所供应的一个早期的模型，评价其合理性和好用性。(2)建立你们自己的模型，说明为什么优于附件1中的模型；特殊要说明怎样才能建汇一个真正能够预料以与能为预防和限制供应率辕、足够的信息的模型，这样做的困难在哪里？对于卫生部门所实行的措施做出评论，如：提前或延后5天实行严格的隔离措施，对疫情传播所造成的影响做出估计。附件2供应的数据供参考。(3)收集SARS对经济某个方面影响的数据，建立相应的数学模型并进行颈料。附件3供应的数
4、据供参考。(4)给当地报刊写一篇通俗短文，说明建立传染病数学模型的重要性。二、问题分析2.1 问题1的分析：对本文供应的一个早期的模型进行评价，主要是分析模型所采纳的方法，对其合理性进行确定，同时要指出其存在的不足。再与实际联系，分析该模型的好用性。2.2 问题2的分析：依据对早期模型的分析，对其不足指出进行反思，建立起新的改进模型SIR,首先要对SARS的传播机理进行深刻的了解和分析；其次是依据传染病的特点建立起合适的模型SIR;最终对模型进行求解,2.3 问题3的分析：由1997年至2002年的旅游人数预料未受SARS影响时2003各月份的旅游人数，并建汇二次回来方程进行回来分析，接着由实
5、际2003年1月至8月的数据预料9月到12月的旅游人数,建立二次回来方程拟合，比较SARS影响前后的图像，分析出其对旅游业的影响，三、模型假设I、假设总人口数保持不变，不考虑人口的流淌因素2、忽视当地的自然诞生率和白然死亡率。3、假设被治愈的病人有免疫力，不再被感染。4、假设移出者包括治愈免疫者和死亡人群四、定义与符号说明N：总人口数；式，)：健康人占总人口的比例；币)：病人占总人口的比例；r(/)：移出者占总人口的比例；4：IJ接触率，即每个病人每天接触的健康的概率；/：口治愈率，即每天被治愈的病人的概率八日死亡率，即每天的死亡人数占病人总数的比例:传染期接触数，即有=4;4：疑似感染率。即
6、每天感染为疑似病人的比例；七)：疑似病人占总人口的比例；：口转化率,即每天危急群体中的疑似病人被确诊为SARS患者的比例。五、模型建立与求解5.1问题1的求解1、早期模型的合理性评价：(1)该模型简洁易行，便利对数据的拟合，井简洁分析出所建模型与实际数据的误型，能够具有确定的合理性。(2)对广东、香港、以与北京的疫情发展趋势的比对可以看出因地区、人口等因素的影响疫情发展趋势存在很大的差异。(3)该模型选用公布数据干脆拟合，从而预料后期疫情发展趋势，用短期数据来分析，这样建模具有确定的局限性，缺乏合理性。2、早期模型的好用性评价：(1)该模型反应出一般传染病模型的发展趋势“快速扩散期、相对稳定期
7、、渐渐消亡期”，具有确定的好用性，而该模型对于SARS传播发展的初期的探讨有参考价值。(2)模型的参数K的的选择没有给出客观的算法或依据，人工的调整数据具方确定的主观性。而平均传染期限1.固定在20,显得片面缺乏牢靠性，因为平均传染期限是会随着疫情的发展而变更的C(3)该模型只是考虑了健康者和感染者，并没彳考虑到治愈者能否具方免疫力的状况，好用性不强。5.2问题2的求解SARS的传播机理：1、总人数N不变时，将社会人群分为三类，称为SIR模型。S类：称为健康人，该类成员没有染上传染病，但缺乏免疫实力，可以被染上传染病.I类：称为病人，该类成员已经染上传染病，而且可以传染给S类成员.R类：称为移
8、出者，R类成员或者是I类成员被严格隔离、治愈，或者死亡等类成员转化为R类后，立即失去传染实力.B)、泡)、分别表示t时刻上述3类成员占城市人口总数的比例.2、SARS的传播过程：健康人病人NNr)-E佬弟怨然IT移出者NrU)5.2.2模型的建立模型一感染为SARS患者状况由假设可知，每个病人每天可使4$个健康者变为病人，因为病人人数为M),所以每天共有1Ns(力个健康者被感染，于是Mi就是病人数M的增加率，又因为每天被治愈率为，死亡率为，所以每天有个病人被治愈，有，7M个病人死亡。那么病人的感染为N-=ANsi-fiNi-Nidt(1)明显有：.)+()+r()=l对于病愈免疫的移出者而言应
9、有:N号=Ni+Ni(3)由(1)(2)(3)可得SIR模型如F：=isi-(u+)iK0)=llat(K-=一S(O)=S0lat(4)r()=0模型二疑似患者的变更状况类似前面的分析，得到疑似患者率模型:5.2.3模型的求解1、参数的确定：对附表2中的数据有excel处理：表格见附件表一当天的病人总数=隔天的确诊病例-当天确诊病例一每天治愈的人数每天确诊的人数_每天死亡的人数一当天病人总数a一当天疑似病人总数一当天病人与数/=0.055076;=0.002443=0.038183（处理数据见附故可得+,7=0.0575192、%,4的确定确定4从我们建立的模型是无法得到s、八%、s。的解析
10、解。故求出他们的数值解.先通过实际统计数据克出每一天的八八匕、s。做出它们与时间的函数图象图1,图1：依据实际数据拟合的图象（画图程序见附件2）当天病人变更图1然后我们再对4取组数，分别画出由通过模型解出的数值解随时间变更的图象图2,将这组图象与由实际数据所得图象相比较,调试。我们发觉当2尸1.5时，理论图形与实际图形有最佳的吻合。图形如下：通过数值解作出的，关于时间t的变更（画图程序见附件3）分析两个图形可知，它们的高峰期、缓解期和平稳期曲线相当符合，具有相同的发展趋势。但是在|。0的SARS初期范用内，曲线变更不相同。这主要是因为在4月24日之前，没有相关数据的统计和报道，山于数据的不全，
11、依据边界值画出来的曲线与通过数值解得到的，T曲线相比较，不能精确反映SARS产生初期时的趋势，所以边界值应当去掉，而通过数值解模拟的曲线可以得到之前的发展趋势。并且通过对SARS扩散期特点的分析，图2在符合所给数据反映的规律基础上，还能够模拟缺乏数据的SARS初始状态，所以曲线是合理的。(2)确定不与确定4时类似，先依据实际数据画出图形(画图程序见附件4)图3实际Ittg图形然后再对4取一组数，分别画出通过模型解出的数值解随时间变更的图象,将这组图象与由实际数据所得图象相比较,调试。发觉当&=1.O时，理论图形与实际图形方最佳的吻合。图形如下（画图程序见附件5）:疑似病人变更在0,10的初期范
12、围内,曲线趋势不同，缘由同前。整个曲线反映了疑似患者在SARS的过程中的变更规律.5.24结果的分析与险证（一）探讨一一（，）的性质s-i平面称为相平面，相轨线在相平面上的定义域（s,i）w。为D=（5,）500.5+l(7)从模型（一）中消去山，利用b的定义，可得由（6）式解得i=（%+i）+1.ln（上）S0（二）对于合理确定的4=5,我们可以画出As图，图形如”（画图程序见附件6）is图形（相轨线）由于在这个SARS病毒发展过程中，。=4是变更的，故可以画出取不同值时的图形，如下取“（7=0.4192,0.2858、0.1858时的图形，（画图程序见附件7）图6is图形（相轨线）分析(3
13、)式和(7)式，可知：1 .不论初始条件”,M如何，病人终会消逝，即SARS最终会被歼灭,亦即(=0。从图形上看，相轨线终将与S轴相交(t充分大)。2 .SARS疾病传染过程分析整个传染过程，随着政府和公众对SARS的重视程度的变更，可知接触数随着治愈率、死亡率和接触率4的不断变更而变更。(1)在SARS爆发的初期，由于潜藏期的存在，社会对SARS病毒传播的速度和危害程度相识不够，所以政府和公众没有引起重视.治愈率和死亡率很小，而接触率4相对较大，所以1/。很小。当为1/。，则,起先增加，可认为是疾病扩散阶段.(2)当sl,=l时，i达到最大值(9)i=S(I+ifl-(+ln50)对于我们确
14、定的4=1.5,可以求出Q=O.8368,可认为是疾病传染到达了高峰期(3)当*v时，i单调减小至零，S单调减小至九。这一时期病人比例M)绝不会增加，传染病不会扩散，进入缓解期“3 .群体免疫和预防依据对模型的分析，当心/1/。是传染病不会扩散所以为制止扩散，除了提高卫生和医疗水平，使阈值1/。变大以外，另一个途径是降低”,这可以通过预防接种使群体免疫。其次个途径通过预防接种使群众免疫，免疫后就不会被感染上病毒。依据我们人群的分类系统，将免疫人群归为退出者类，所以免疫人群的出现，不与模型的分类系统相冲突。忽视病人比例的初始值i0,MSl)=I-%,于是SARS不再扩散的条件W1/。可以表示为：
15、rul-(10)所以只要通过群体免疫使初始时刻的移出者比例。满意(10),就可以制止SARS的扩散.4 .数值族证与估量依据上面的分析，阻挡SARS扩散有两种手段，一是提高卫生水平和医疗水平，即降低日接触率，提高H治愈率，二是群体免疫，即提高移出者比例的初值为。我们以最终未感染的健康者的比例s,和病人比例达到最大值口,作为传染病扩散程度的度显指标。给定不同的大，%,/(1,用(8)式计克山，用(9)式计克Jl*0$81.00.30.30.980.020.03980.34490.60.30.50.980.020.19650.16350.50.51.00.980.020.81220.02000.4
16、0.51.250.980.020.91720.02001.00.30.30.700.020.08400.16850.60.30.50.700.020.30560.05180.50.51.00.700.020.65280.02000.40.51.250.700.020.67550.0200从计算得到的.，和J可以看出:(1)对于确定的S”降低之，提高，使阈值1/。变大，会使儿变大，J变小。于是验证了群体免疫和预防中提出的提高卫生水平和医疗水平，可以使SARS最终的患者比例缩小，健康群体增加。(2)对于确定的2,提高乙,会使SH变大，M变小。所以实行群体免疫，降低受感染的基数，可以有效地减缓SAR
17、S扩散的速度。在（8）式中略去很小的办,即有对于表达式中的参数，已通过前面的参数分析得出，代入表达式，就可以对t时的患病率出）做预料，达到了预料的目的，满意题目的要求。5.25建立牢靠的预料模型存在的困难要建立个真正能够预料以与能为债防和限制供应牢匏、足够的侪息的模型，还存在着一些困难：1、对于我们所建立的SIR模型，是基于附表二给出的数据，但是所给的数据不够齐全，只是给出r一个时间段的病情数据，用来分析整体不够全面，而且对于所给的数据缺乏牢匏性。2、对于我们所建立的模型，参数的选择是很关键的，由于数据不全,参数的选择也存在着确定的误差。5.26对卫生部措施的评估在模型中，4的取值大小能充分反
18、映接触率的变更。若实行的隔离措施提前T天，那么4将相应减小，反之则增加.不妨将4的值取为1.3和18,作出相应的图形7和图8（画图程序见附件8）。图7疑似病人变更图8疑似病人变更由以上图形可见，T对SARS病人的增长有显著影响，因此，卫生部实行的提前或延后5天的隔离措施有其数学背景和科学依据。5.3问题3的求解5.31回来模型的建立与求解：1、依据附表3中1997年到2002年的旅游人数预料为受SARS影响时2003年各月份的旅游人数，建立回来模型得出2003年各月份的预料值为1月2月3月4月5月6月7月8月9月10月11月1;15.236.4725.9732.1532.8331.629.33
19、36.433.1432.8526.852依据预料值的放点图建立二次回来方程V=OX2+尿+C画出何来图如下（程序见附件9）由图可看出：未受SARS影响的状况下，2003年的旅游人数变更与往年的旅游趋势相同，先升后降，在夏季达到旅游的高峰，2、依据实际2003年1月到8月的数据预料9月到12月的旅游人数1月2月3月4月5月6月7月8月9月10月11月12月15.417.123.511.61.782.618.816.215.4120.1926.1733.37同样建立二次回来方程，得到如F的回来图（程序见附件10）；山图可看出：在SARS的影响下，2003年的旅游趋势先降后升，低谷恰好是在SARS的
20、高峰期。3、对比SARS影响前后的回来图像：5.32结果分析:对比SARS影响前后的网来图像可以发觉：在一月份左右，SARS对旅游人数的影响不大，数据基本吻合，这是因为疫情刚发生时没有引起人们的留意，随着疫情的扩散，社会处于敏感期，旅游人数渐渐削减，在疫情爆发的高峰期，由图像可以看到，在六月份左右两条曲线的差距达到最大，社会处于高度的警界期，出门旅游的人很少，而随着疫情不断的得到限制，旅游业也慢慢回暖，图像的差距也慢慢缩小.因此，SARS干脆影响了旅游人数,对旅游行业的影响是很大的。六、模型的评价与推广1、本模型适用预料SARS与其他类似的传染病（比如禽流感病毒）高峰期的来临。能够为预防和限制
21、传染病供应牢除足够的信息。2、本模型书利于在当今医学领域中，分析各种传染病或森林、农业、科学上病虫害的变更规律，度成传染病扩散的程序并探究制止扩散手段。七、帛件附件140.030.020.01月33404318331794432062420921321H月2O01535765764423218996H40.020.010.15月5866610.0110284616584130915228694546899日40.010.010.000.13月697868103555139003155844272332456881日40.010.010.000.09月7786773964125501623873
22、8581244344869日40.010.000.000.10月87958710427390303436877962574339636H40.010.000.109810990.0011月4876100108081558930202126115日40.000.000.10月1112567831028102810391227145565778640.000.000.000.06月1112597812129914135786668528997510725740.010.000.000.10月131366831612239542697898142947589132148H40.010.000.000
23、.06月14147590171322472050460593304008888531日50.07月1514821018140.010.000.00985111531505423861961993H51614911011150.000.000.000.0583月366894171338932465428451150.000.000.000.07月17141115109674391882510323419359257438日50.000.000.000.04月18151011166357178178033624033708794778日50.000.000.000.06月1815101217179
24、79748230225945971031363842日50.000.000.000.04月191510131810553387165136636602374081296H50.000.000.000.052015111418月13689583106878894914018577615日50.000.000.000.05月21141115181994083610485487836862213945650.000.000.000.02月2114111691946235910287741977254845798250.000.000.000.03月22131117151975955720257950
25、10279765749261H50.010.010.000.02月2214121831195511014506933811651106986151日50.020.000.02月2313122041200390.01248830391204789810879182H52313132413190.000.000.000.0343月473844926524012512131366850.000.000.000.01月2313132561930025005075823147008929754141150.000.000.000.01月2313142517208467960493661815881707
26、08688750.010.010.000.01月2412142738208946941993431716056513063949日50.010.010.00月2412143027193622611000.011517205057823492H524121433190.010.000.000.01月345072205802186815312141852250.020.000.00月24121534190.02505702052403193749094536577250.020.020.000.00月24121539185484974410557172044254595615450.040.040
27、.00月241215441883479371107002144216753239日50.030.030.000.00月2412155217561470351129951222560588798449日50.050.040.000.00月24111658178803486217176392365790248376452411166641160.020.020.000.0225月903437694562162392042469761150.020.020.000.00月241116704416694633061814925990574334225日50.050.000.00月25101674851
28、53220.0525046752604698797507257日50.020.020.00月2510178241157085091980.0082712052814192796日50.040.040.000.00月25941786631426820006721222814156763585H525801792140.050.050.000.00月1736879165795080703733291566日50.060.060.00月2576171085133520530.003943302007063888299750.020.020.00月257418103712950950013313121
29、71875466960.020.02月25731811331271171100012291241766H60.020.02月25731811321170270200022241578477日60.060.06月25721811741142342300032241895266H62571181258100.050.05000月228163783803804331160.080.080.00月2571181310842350391960052261212032160.040.04月257118149343589589000622330371160.100.10月25661814890.0098974862007238346311223H60.130.13月255518151179836836000822O4430555日60.140.130.0025451816680.00月96014722221122145352929667日60.120.12月253518177459542542000102216
