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1、专题14直线与圆(1)【自主热身,归纳总结】1、在平面直角坐标系Xoy中，已知过点A(2,1)的圆C与直线x+y=l相切，且圆心在直线y=-2x上,则圆C的标准方程为-.【答案】：(-l)a+(y+2)2=2解法1(几何法)点A(2,1)在直线x+y=l上,故点A是切点.过点A(2,-1)x-y=3,x=l与直线x+y-l=0垂直的直线方程为x-y=3,由11解得C所以y=-2x,y=-2,圆心C(l,2).又AC=Y(2-1)(-1+2)所以阿C的标准方程为(x-D?+(y+2)2=2.解法2(方程注)由同，诙肥生r=-2*上，可设图心为(a,-2.),国的标准方程为6+2.)：=rj(rX
2、).要原定两个待至置,一的1,Q霄尊立两个合a,的尊式，建立方程组审解.由圆Cil克j(2-)：；=/,A(2,-1),且与宣缘X+y=IlBV,l-2-l.卬f+：?解黑附同Crw泅方程为(X-/+(y+2)=2.Ia+2*+l=2r,U=2.2、在平面直角坐标系M，中，直线*+2y-3=0被圆(X一2尸+3+1)2=4截得的弦长为.【答案】：等.【解析】圆心为(2,一1)，半径r=2.圆心到直线的距离=立d=芈所以弦长为2pl=2”乎2=噌3、若直线与圆始终有公共点,则实数m的取值范围是.【答案】:010.【解析】因为,所以由题意得：，化简得M-55即0B10.4、在平面直角坐标系KOy中
3、，以点(1,0)为圆心且与直线(mR)相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为.【答案】：(x-1)2+=2.【解析】由直线m-y-2m-=Q得m(x-2)(y+1)=0,故直线过点(2,一1).当切线与过(1.O),(2,一D两点的直线垂直时，圆的半径最大，此时有r=T+T=2,故所求【网的标准方程为(1一1+y=2.5、圆心在抛物线y=,并且和该抛物线的准线及y轴都相切的圆的标准方程为.1.答案】：(xl)2+y-)=l思路分析求圆的方程就是要确定它的圆心与半径，根据圆与抛物线的准线以及与y轴都相切,得到留心的一个等式,再根据留心在抛物线上,得到另一个等式,从而可求出圆心的坐标，由此可得半
4、径.因为圆心在抛物线尸*上,所以设圆心为(a,)，则1=26.又圆与抛物线的准线及P轴都相切,故b+=a=r,由此解得a=l,b=:,r=l,所以所求圆的方程C乙为j)2+j-j-=.解后反思凡涉及抛物线上点到焦点的距离或到准线的距离时，般运用定义转化为到准线的距离或到焦点的距离来进行处理，本题中充分运用抛物线定义实施转化,其关键在于求圆心的坐标.6、在平面宜角坐标系*力中，已知网Cli(X4)(y8)=1,11G：(*6)+(y+6)2=9,若圆心在*轴上的圆。同时平分圆C和圆C的圆周，则圆C的方程是答案】：+y=8i思路分析圆C平分圆C等价于：两圆的公共弦是圆C的亘径.殿图C的国心为C(e
5、O),半校为了，则f=8i+l且F=E+9,即:/.:.+1,解口I6+6+9=y,例内二所以图C的方程为+y=81.=8i.7、.在平面直角坐标系A勿中，已知过点”(1,1)的直线/与圆(x+l)2+(y-2)2=5相切,且与直线ax+y-l=0垂直，则实数a=.【答案】：T思路分析可用过圆上一点的切线方程求解：也可用垂直条件，设切线方程(*-1)-a(y-l)=0,再令圆心到切线的距离等于半径.因为点”在圆上,所以切线方程为(1+D(X+D+(l2)32)=5,即2-y-l=0.由两直线的法向量-1)与(a,1)垂直,得2a-1=0,即a=：.思想根源以圆Cr-a)+(yO)?=/1上一点
6、7(题必)为切点的切线方程为(刘一G(X-G+(7/)(y-Z)=.e8、若直线A：y=x+a和直线&：尸:*+力将圆(万-1)：+(尸-2)：=8分成长度相等的四段弧,则4+.【答案】：18.【解析】：由IiJi初四段郴所对的IS心角均为8，甥心cu,2)到亶线J.,4的距离H半产=2由=2,得|一】|=2#，同整Ib-Il=M,所以0,，分别为lM,fl*y=18.解后反思实际上，a,A罡方程(1.l)；=8,即，-21.7=O的两个根，曷足+b=2,岫=-7,所以J+y=(+)j-2a=4+14=18.9、若直线3x+4y-m=0与圆+y22-4y+4=0始终有公共点,则实数m的取值范困
7、是.【答案】：0,10,【解析】：圆的标准方程为+DT5-2)2=,故圆心到直线距离d=I-3+8一加附+4,0,所以a=4.11、定义：点M(WNII)到直线的有向距离为.已知点A(T.0),8(1.0),直线,“过点23.0),若圆上存在一点C,使得4及C三点到直线加的有向距离之和为0,则直线/的斜率的取值范围为.【答案】：(f-m4【思路分析】由“A.8C三点到内线，H的有向距离之和为0知,动点C在一条内线上,卜因为点C在Ba上,故问题转化为该直线与圆布公共点,此时圆心(0,18)到该直线的距离小于等于半径9.【解析】：设百.线切的斜率为人-，则岂线m的方程为y=*(x-3),即,设点“
8、,九),则点A,B,C三点到直线，口的有向距离分别为,即，乂因为点在C圆上，故,j.12、已知圆。：/+=4,若不过原点。的直线/与圆交于只。两点,且满足直线OP,PQ,酸的斜率依次成等比数列,则直线1的斜率为.答案】:1思路分析由直线闾的方程与圆的方程联立成方程组,将点P,。的坐标用直线方程中的参数k,b表示出来,进而将OP,园的斜率用k,b技示,再根据OP,PQ,阳的斜率成等比数列求出的值.当直线闻垂直于X轴时，显然不成立,所以设直线PQR六=履+伏#0）,将它与圆方程联立并消去IK得（V+l）M+2Mx+）-4=0,设/（加,%）,仇及,乃），则XIAr2Z2-4=*+1一Zkb7+T,
9、因为MM=(A%+)(Arx+6)=XX+AZ,(x+x:)+Z,=642!Cl),4/+Z/1,ME4A+Z,ar.j,z.,.、k7+T-7+T+b=+I故荔=4=T即ta-D=0,因为Z0,所以=1,即A=l.,12解后反思本题可推广到椭圆中：已知椭圆C5+*=l(aM0),若不过原点。的直线I与椭圆。交于A0两点,且满足直线OP,PQt园的斜率依次成等比数列,则直线/的斜率为413、已知线段初的长为2,动点C满足费劭=（ZUO）,且点C总不在以点B为圆心,J为半径的圆内，则负数4的最大值是【答案】：思路分析建系，以线段用所在直线为X轴,线段仍的垂直平分线为y轴.动点C的轨迹为圆。(或为
10、一点,可视为点圆)，欲使点。总不在以点8为圆心为半径的圆内，也就两圆外切或外离,.或者圆“内切或内含于圆6再根据圆心距与半处的关系求解即可.以线段力力所在直线为X轴,线段,伤的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系，设点C(x,力，则。+_/=1+1,且0久N1.当两圆外切或外离时，Oli=YT+713II5+5,解得-p圆内切或内含于圆时，如=1/715，解得Q(舍)，故负数1的最大值是一彳【问题探究,变式训练】例1、已知圆G(*给+(7一给2=1(苏0)与直线尸3相交于2。两点，则当0%的面积最大时,实数a的值为.【答案】乎【解析】：因为，%的面积等于sinTQ所以当/T0=9O时,%的面积最
11、大,此时圆心到直线y=3*的距离为半,因此乎=-,解得a=埠乙乙y10N【变式1、.已知直线/过点f(1,2)且与圆GM=2相交于48两点,胸的面积为1,则宜线/的方程为.【答案】3l+5=0或片1当H线斜率存在时，设宜线的方程为y=*(x1)+2,即以一y一+2=0.因为S=OfCBsinZ/O=1,所以)正y2sinZO=1,所以sinZCB=1,即sin/48=90,所以圆心。到直线,仿的距离为1,所以i-A+2i=1,解得A=*所以直线方程为3-4y+5=0;当直线斜率不存在时,直线方程为x=l,经检验符合题意.综上所述,直线方程为3*4.+5=0或*=1.【变式2、在平面直角坐标系M
12、r中，圆G：(x-1)2+4=2,圆Q(-7)-+(y+=后,若圆G上存在点尸满足：过点/向圆C作两条切线PAiPB,切点为4,/I4P的面积为1,则正数力的取值范围是.【答案】：1,3+23思路分析注意到AABP的面积是定值,从而点P的位置应该具有某种确定性，故首先由AABP的面积来确定点P所满足的条件,进而将问题转化为以。为圆心的圆与以G为圆心的圆有公共点的问题来加以处理.如图，设P(x,y),设PA,PB的夹角为2O.ABP的面积S=:PAs%2O=Psincos=Pr=1,即蛆PA=ZvrCPa=PA?+2,解得PA=*,所以PC1=2,所以点P在圆(-l)z+y2=4上.所以m2I-
13、1in1彳inm2,解得lm32j3.解后反思本题的本质是两个圆的位置关系问题，要解.决这个问题，首先要确定点P所满足的条件,为此，由AARP的面积来确定点P所满足的条件是解决本题的关键所在.【变式31已知点A(l,0)和点B(0,1),若圆x2+y2-4-2y+t=0上恰有两个不同的点P,使得APAB的面积%则实数t的取值范围是.1cf(S思路分析勉设“四+,-2y+t=0上恰有两个不同的点P,MAPAB的面枳为”等价于“圆上有2目只有两个点到更线AB的距看为学”，进而用叁圆心到直线M的距面在什么范围内符合题意./+y4-2y+t=O的方程可化为&-2)；+(y-l)；=5-t,ifi点P到
14、色纹AB的葩高为h,WjS_.=1x2h=,解声h=坐，而圆心到直线AB的距宦为止，欲使得国f+-4-2y+t=O上恰有两个不同的点P,使用APAB的面织内;，R腐要圆上有目只有两个点到宣线AB的距Si为半，稔网的单餐后W(/邛，s+野黑得【关联II过圆x2+y2=16内一点P(-2,3)作两条相互垂直的弦AB和CD,且AB=CD1则四边形ACBD的面积为【答案】：19【解析】：设0到AB的距离为4,0到CD的距离为d2,则由垂径定理可得d；=r2一群QT鄂,.1T-AB=CD,故而且&=d产痴=等,所以偿)2=r2-dl=16-y=y,得AB=38,从而四边形ACBD的面积为S=CD=X38
15、38=19.解后反思解决直线与圆的综合问题时，需要充分利用圆的几何性质进行转化.本题结合条件,利用垂径定理,通过整体计算,实现了简化的目的.【关联2、已知圆a.+=4,点J(4,0),过原点的立线(不与X轴重合)与圆。交于AtB两点，则/!V的外接圆的面积的最小值为.【答案】：上【舔析】：设A,mw的外接圆的方程为+y+F+A=0(z+ft-4Q0),力(汨,m),则/?(A,-y),所以点+M+为+Q0,术+。一改一外+QO，由得Px1+i5yl=03),又4+.1=4,由(1)(5)得A=-4,所以外接圆方.程为/+V+0-4=0.乂圆过点(4,0),所以4+4O-4=0,解得g-3,所以
16、圆方程为炉+尸一3*+Er-4=0所以半径7=j9+16=25+g,当乙乙E=Q时,最小,为|,所以制的外接圆的面积的最小值为和.【关联3、在平面直角坐标系g中，已知点v)在圆内，动直线AB过点P且交圆。于4.8两点,若力比的面积的最大值为则实数,”的取值范围为【答案】.【解析】圆。的标准方程为(1.加尸+(1.2尸=32,圆心为6U2),半径为42,当的面积的最大值为16时，NACB=90、此时。到/山的距离为4,所以4642,UP16(z-3)2+(0-2)232,解得23zb-327,即mW.例1、在平面直角坐标系xy中,已知点A(-4,0),B(0,4),从直线AB上一点P向圆x2ya
17、=4引两条切线PC,PD,切点分别为CtD.设线段CD的中点为M,则线段AM长的最大值为.【答案】：32思路分析P在直线AB：y=x+4上,设P(a,a+4),可以求出切点弦CD的方程为ax+(a+4)y=4,易知CD过定点,所以M的轨迹为一个定圆，问题转化为求圆外一点到圆上一点的距离的最大值.解法1(几何法)因为直线AB的方程为y=x+4,所以可设P(a,a+4),设C(xl,y),D(x-,yj,所以PC方程为x1x+y1y=4,PD：x?x+y=4,将P(a,a+4)分)ax+(a+4)y1=4,一、1则直线CD的方程为ax+(a+4)y=4,ax2(a4)y；=4,即a(x+y)=44
18、y,所以直线CD过定点N(1,l)r又因为OM_1.CD,所以点M在以ON为直径的I即上(除去原点)，又因为以0为直径的(1121)21圆的方程为1+5+yJi=2解法2(参数法)因为直线AB的方程为y=x+4,所以可设P(a,a+4),同解法1可知直线CD的方程为ax+(a4)y=4,即a(x+y)=4-4y,得a=出三.又因为X十。,Ml三点共线,所以ay-(a+4)x=0,得a=言.因为*=含,所以点M的轨迹方程为；*+(2+,一胃2=(除去原点)，所以M的最大值为MT+才+断+坐=34.解后反思此类问题往往是求出一点的轨迹方程，转化为定点到曲线上动点的距离的最值问题，而求轨迹方程,解法
19、1运用J几何法,解法2运用了参数法,消去参数a得到轨迹方程.另外要熟练记住过圆上一点的切线方程和圆的切点弦方程的有关结论.【变式1、在平面宜角坐标系应丫中，已知圆，点A(2,O),若圆C上存在点M,满足,则点M的纵坐标的取值范围是.【答案】：IW率思路分析：根据条件U得动点M的轨迹是圆,进而以将问题转化为圆与圆的位置关系进行处理.解题过程：设M(,)、因为所以,化简得,则圆与园有公共点,将两圆方程相减IU得两圆公共弦所在直.线方程为X=g代入可得，所以点的的纵坐标的取值范附是-4.当.解后反思：在解决与圆相关的综合问题时，要注意充分利用圆的几何性质或一些简单的航迹知识将问题转化为直线与圆或圆与
20、限I的位置关系问题.【变式2、在平面直角坐标系MK中，已知氏C为圆ry=4上两点,点Ad,1),且AfJlAG则线段比的长的取值范围为.【答案】刊-乖,思路分析本题考查圆的方程和性质，考查等价转化和运算求解能力，借助直角三角形的性质,把求比的长转化为求2儿”的长,而4为定点，思路1,求出”的轨迹方程,根据圆的性质及宜角三角形的性质不难求得,其凯迹为一个圆，问题就转化为一定点到圆上一点的距离,这是一个基本题型，求解即得：思路2,设出AgX,OM=乂寻找到My之间的关系式,通过线性规划的知识去处理.解法1设火的中点为W(*,y).因为O后=ON+BN=OV+M所以4=f+J-1)2+(7-i)2,
21、化简得MTH,所以点J/的轨迹是以巳，W为圆心,乎为半径的圆，所以力V的取值范围是吗WI在芈，所以方的取值范围是南一小,乖+啦.解法2设的中点为必设AM=x,例=因为OC=Sf+C=a+M所以r+=4.因为0=2,所以xy2,x+m2y,y+2x.如图所示，可得”耳所以比的取值范围是加一啦,6+2.解后反思求线段,的长度范围，如果一个端点为定点，这时可以考虑运用轨迹法，求出另外一个端点的轨迹，问题迎刃而解.【变式3、在平面白角坐标系Mr中，立线4：依r+2=0与直线A：-ky-2=0相交于点只则当实数变化时，点夕到直线-y-4=0的距离的最大值为.【答案】：32思路分析因为直线九A分别经过定点
22、4(0,2),8(2,0),且所以点P在以月8为直径的圆C上.解法1当=O时，点。(2,2)到直线“一，-4=0的距离为2/：当20时，解方匕一r+2=0,(22A2+2公,为求得最大值,考虑正222+2AT+7-T+7线1.J-4=0的距离为程组一2-0得两直线交点的坐标为IJT淳，TMrj,所以点到直【关联1、如图，在平面直角坐标系*0中，已知圆C-4x=0及点水-1,0),Ml,2).(1)若直线1/AB,与圆C相交于MM两点,浜=AB,求直线1的方程；(2)在圆C上是否存在点上使得府+川=12?若存在,求点产的个数；若不存在,请说明理由.规范解答圆C的标准方程为(l2)S=4,所以圆心
23、C(2,0),半径为2.20因为/力比力(-1,0),1,2),所以直线/的斜率为丁，-1.=I,设直线/的方11.程为ay+7=0,（2分）则网心C到立线/的距离为d=12-0+朋I2+/77,.（4分）因为J三/=2-+22=22,IfU=+30尸+(*1)2+(/2尸=12,即炉+/一2、-3=0,即*+(71)2=4.(10分)因为|2-2|),因为G力中巨咻玄AB,且XB-2G0,所以GGOx2j,在打、4GC中，AC=A,CG=JX+2)：+G-m)：,GC=90,由4C-AGii+CG;fl：3x:+y:+(x+2):+Q-m):,W(x+1):(j-*三m-,4显然三二20,所
24、以-J4a4,州:所求罡女不力的取信览国是-a&.【关联3、在平面直角坐标系*0中，点月(1,0),4(4,0).若直线A-p+m=0上存在点使得PA=PB,则实数距的取值范围是【答案】一2必,2m思路分析本题旨在考查区线与圆的位置关系.48为定点,满足/1TFB的点P的轨迹是一个圆，要求加的范围只要使得动直线a-7+=O与该圆有公共点.解法1设满足条件加=2日的点坐标为(为力，则(工-4)2+=4(*一1尸+4人化简得V+.，=4,要使直线-y+m=O有交点，只需要南W2,即一2十w22,解法2设在宜线Xy+n=O上有一点(,+4满足PB=2PyP!J(x4)z+(+ot)=4(-1)4(aot),整理得,2x27a-4=0,(*)因为方程(*)有解,则4=4/-8(4)20,解得一2t21.1数上则有TT7=i这亍所以力解法2圆。的圆心为Hl,1),半径I=y2.因为圆心。到直线;：1.y-4=0的距离为d=l1=22,所以点尸到0线1的距离的最大值为+r=32.解后反思直接求出九八的交点的坐标(用左表示)虽然也能做,但计算量较大.找出点变化的规律性比较好.
