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1、二次属数中的面积问题例题精讲求三角形的面积是几何题中常见问题之一，可用的方法也比较多，比如面积公式、捌补等枳变形、三角函数甚至海伦公式，本文介绍的方法是在二次函数问题中常用的一种求面积的方法一一钳垂法.【忖1述】在平面直角坐标系中，已知人(1.1)、8(7.3)、C(4.7),求44BC的面积.【分析】显然对于这样一个位置的三角形.面枳公式并不太好川,割补倒是可以-试比如这样:构造矩形AOER用矩形面积减去三个:角形面积即可得iM8C面枳.2树=S.q+$=CDAE+1CDBfcD(AEBF)此处AE+A尸即为A、8两点之间的水平距离由即意得：AE+BF6.下面求CD：根据小8两点坐标求得宜跳
2、AB解析式为：y=-x+-由点C坐标（4,7）可得D点横坐标为4.将4代入直线八8解析式得D点纵坐标为2.故。点坐标为4.2）,CD=5.S.w=65=15.ak2【方法总结】作以下定义：八、8两点之间的水平距离称为“水平宽”：过点C作K轴的垂线与八8交点为d线段C。即为八8边的“锚垂高二【解J步】 1）求4、8两点水平距建，即水平宽： 2）过点C作X牯垂线与AB交于点/）,可得点。横坐标同点C； 3）求口战AB解析式并代入点。横坐标，得点。纵坐标； 4）根据C。坐标求得铅乖高； 5）利用公式求汨三角形面枳.例题精讲【例1】.如图.附物线F=-A2-2r+3与X轴交于A(1,0),8(-3,0
3、)两点，与y轴交千点C点P为拊物践第象限上一动点，连接/招、PC.BC,求尸8C面枳的球大俏，并求出此时点P的坐标.蝌：令X=0,则y=3.C（0.3）,设11i8C的解析式为y=x+3(K0),把点R型标代入y=t+3得-3*3=0.解得Jl=I.出线BC的解析式为v=+3.设P的横坐标是X(-3x0),则尸的坐标是(x,-2v+3).过点P作y轴的平行线交BC于M,则M,x+3).,-PWUw-.r1=-J-3）3=-=-222228,5，爷./W(而枳的以大使为:8当X=一4T二点坐标为（-.-）.A变式训练【变17,如图，己知物物战.v=v2+限+3与X轴交于八、B两点,过点八的口战/
4、与抛物线交于点C,其中A点的坐标是（1,O）.C点坐标是（4,3）.求抛物找的斛析式和克线AC的解析式：=.r-4+3i设出我AC的解析式为y=fcv+.C两点坐标代入Y=Jtr+/7得：P+h=.（4k+h=3（k=1.Ih=-I二点线AC的解析式为y=-I：=ro”.%联立y=x+my=2-4x+3消掉y知.?5,r+3-m=0.=-5）2-4l（3-n）=0.解得：，”=4却m=-单时.点1JAC的IEM大.MCE的面枳最大.4此时=y=-=-二点E的坐标为（与，-4）.24设过点的的线与X轴交点为F,则F（%0）,44：出线AC的解析式为y=x-I.Zcab=ASv,.,.FfiJAC
5、的距离为Fsin45o=-x又,C=32+（4-D2=，AC的最大面枳=X啦XZ=乌，此时点影标为（与，-4）.28824变1-2.如图，直城产4+2交F轴于点八，交X轴于点U抛物找尸q2+br+c.经过点九点C,且交X轴于另一点81）求他物线的解析式:.=0.fliy=-+2=0.解得k=4,：.C(4.O).把儿C的山代入y-4-r2*htW,卜=2.4(-4+4b+c=0b4解划2.c=2，他物线的解析式为=-2:(2过M点作MUa轴，与AC交干点Mlffl,二SH心，AtKM-S,Kf+p-a-+2r+6-=-?(a-2)2+X.22二当“=2时，四边形ABCM面积城大,其破大值为8.
6、此时A夕的坐标为(2,2).【例2.如图，撤物战.y=Fbx+c与X轴交于A-1.O),B两点，过点八的H线/交拊物线于点C(2.点。是线段AC上一个动点,过点P作X轴的垂线交抛物线于点.求她物税的解析式：2)当P在何处时.ZiACKlM税最大.解：(I)拗物线解析式为y=(x+l)(-3),即F=X2-2-3;(2把(7(2,，“代入,=/-次-3得巾=4-4-3=-3,则C(2，-3).设H线AC的解析式为y=mx+n.把A(-1,O).C代入得E=,集得(IB=I1211t+n三-3In=TmAC的解析式为y=-X-1：Hi.E(.t,?-2r-3.则PU,-1-I),：.PE=-/-1
7、-(r2-2/-3)=-?+/+2.ACE的向枳=2X2+DPE2=W-r+z+2)2=.3(,2.”228当r=W时,Cf的现行最大值，大小为名此时P力印标为-4).2822A变式训练【变2-1.如图，他物线y=0f+bx+2交X轴于点A(-3,0)和点8(I.0),交4轴于点C求这个枪物城的函数表达式：若点。的坐标为(-1,0).点P为第二象限内她物线上的一个动点，求四边形ADCP面积的及大(ft.yAy/5.IdoVx解：(I)t物线的表达式为：y=a(x+3)(x-1-ac-A0yp+y0Cxp-COOD-y3(-x2-x+2)-2(-x)-21=-x2-3x+2V-KO.故SqwI大
8、伯当X=W时，5的她大他为.24变2-2.如图,在平面直痢坐标系中，直线产产2与X轴交于点8.与5,轴交于点C,二次函数N=+w+c的图象经过RC两点，且与N轴的负半轴交于点八，动点。在食跷8C下方的：次函数图象上.1求：次函数的表达式；2连接OC./M,设BCD的面积为S,求S的最大(.把y=o代2得x=4.：.R(4.0).设抛物段的解析式为.v=(-4)x-m),.二附物纹的解析式y=,r-4)x+l)-v-2:D.(3.2)28力产-42+2令产-b4+2=0,解得X=-IHlc4,令K=O,PJIV=2.故点4、B、C的唱标分别为(-1.0)、(4.0)、,故选：A.2.如图I.微物
9、设y=2+b+c与X轴交于a、B两点,与.轴交于点C,H找y=+2过从C两点,连接AU求抛物线的解析式：2点P为抛物战上百戕BC上方的一动点，求MBC面积的最大值，并求出点P坐标；若点Q为她物税对称轴上一动点，求AQAC周氏的最小值.：.C(0.2),令=0,则X=4,AB(4.0).(4.0)和点。(0.2)代入y=-2+b+c.U424bc=0c=2解得:1响.施物般的解析式为产-v2:lin.-z4-5m+2)K1ID(，”,ni7)=-n2*2-令y=0,l24+2=(b(1,A(-1.0).鼬能的对称轴为直域*i八点与B点关于对称轴对林，：.AQ=BQ.AQ+CQ+AC=8Q+CQ+
10、AC妾8C+AC,.当8、C、Q三点共战时，1QAC周长JS小,VC(0.2).R(4.0),(-h0),C=25AC=5.C+fiC=5.。八(：州长岫小依为讨亏.图13.如图，恤物纹.Y=-.t2+Zu+c与X轴交于A（1.0）.-3.0）两点.求该撤物线的解析式；2）设（1中的拗物雄交y轴于C点，在该抛物战的对称轴上是否存在点Q,使得AQAC的周长城小？若存在.求出Q点的坐标：若不存在，请说明理由.3在（D中的她物线上的第二象限上是否存在一点P.使尸8C的面积最大？若存在.求出APBC面积的及大值.若没有，请说明理由.则附物纹的解析小是.v=-x2-2+3:理由如下r由题如A、8两点关于
11、抛物线的对称轴X=-I对称,M线8C与4=7的交点即为Q点，此时AAQC周长取小，对于.、=-?-2+3,令*=0,则f=3,故点Cl3）过点P作）轴的平行线交BC于点D.设P的横坐标是人则的坐标是（X.-A2-2r+3）,对称轴与8C的交点。是（x,/3）.则PD=(-i-2x+3)-x+3)=-X2-3x.-X2-3x)X3=-.r*-r三-日(x*)4F：-o.故尸8C的面枳AJ(j,:J吟.如图I,在平面面角坐标系中，已如她物线y=d+限-5X轴交于八（-I,O）,B（5.0）两点，与了轴交于点C.图】图I备用图图2求搬物税的二次函数解析式： 2若戊尸在抛物戏上，点Q在K轴上，当以点8
12、、C、P、Q为顶点的四边形是平行四边形时，求点P的坐标：如图2.点H是直线8C下方抵!物线上的动点，连接BH.CH.当&?/的面枳最大时，求点，的坐标.解：(I)过八(-I.O).B(5.0)把A(-1.0).B(5.0)代入衲物线y=t2+fer-5得(0=a-b-5l=25a+5b-5解得八=1lb=-4y=.r-4x-5：=OW.y=5,：.C(0.-5),设Pm*-4m-5),Q(，0),W;为对地线则.卬-xcxb.灯，yQ-yc=yB-yp9解得卜=4Jm=O舍去In=lIn=5：.P(4.-5).CP为对地线，则KQ-xc-xp-xbyv-yc-yP-vb解得m=211或m=2-
13、但,(n=V14-3ln=-3-,vl4：.P(2+145)或(2-14.5).CQ为对角线时.CP/BQ.则点P(4.-5)综上0(4,-5)或5或(2*145):第三种，CQ为时角战不合要求，台去：-)22228.j力=与时，H与，-上3，时，SBCHnux=22485.如图.在平面直角坐标系中，二次函数y=+hr+c的图象与X轴交于八、8两点,8点的坐标为（3,0）.与）相交于点C（0,-3）,点P是直战8C下方撤物战上的一个动点.（”求：次函数斛析式：2连接PO.PC.并将/）（：沿y轴对折，忠到四边形POOU是否存在点P,使四边形P。C为菱形？若存在,求出此时点尸的坐标：若不存在，请
14、说明理由：当点P揖动到什么位置时，四边形A8PC的面积最大？求出此时。点的坐标和四边形A8PC的最c=-3.二次函数的解析式为y=F+版-3.；点8（3.0）在二次函数图象上.9+3ft-3=0.：.b=-2.二次函数的解析式为y=-2v-3；2）存在.理由：如图I.连接Pp交y轴于E.:四边形C为姿形.：.PfOC.OE=CE=IOC2；点C(0.-3).OE-r2：.E(0,-).2.点P的现出标为,2由I知，：次函数的解析式为y=.v2-Zt-3.A.r-2x-3=.2.广组/=理.22:点。在H线81.下方的跄物线上.,.Ox3.点中冬3)如图2.过点P作PA1.r轴于F,则PF/OC
15、.Ill知.二次函数的解析式为y=-Zx-3.令y=0,则x2-2-3=O.：.X=-I或=3,A(-I.0)./.P(m,nr-3(OVw,824IP点,运动到点(，-琴时，AW1C的面枳最大,具被大伯为华.Si6.如图.附物纹y=t2+hr+c与坐标轴交点分别为A(-1,O),B(3,0),C(0.2),作比线8C.求她物戏的解析式；2)点P为岫物线上第一象限内一动点，过点P作PD1.x轴于点/),设点P的根坐标为t0f求AABP的面枳S与t的函数关系式：3)条件同(2,若2O0P与ACOB相似.求点尸的坐标.a-b+c=O9a+3b+c=0.c=2解：(1)把A(1.0B3,0),C(0
16、,2)代入F=i+fer+(新解得:a-h-gc233.附物戏的解析式为=-,+2.设力:P的坐标为(/.-r-H+2).VA(-I.0).B(3.0),AB=4.S=A心尸。=X4X-豕管+2)-等吟+4,(,r:.OO.r)n_f_-1+193np_-3+3193816二点。的坐标为(二例函,於跆豆)816ODPOC.则岩二器.出二整理得P-r-3=0.解得：r耳亘或，=上弊（X人.X）=r=工（./）?=/）。=工可皿.233，点。的坐标为（上坐上乎2）.23绘上所述立P的坐标为（二吗瓯老鲤匣）或里亘，上亘，.经过点A,与抛物城的816237.如图，抛物线.v=aF-3ar44储0）与X
17、轴交于A,8两点，出城另一个交点为点C.点C的横坐标为3.线段产。在线段AH上移动PQ=I.分别过点AQ作K轴的垂线,交抛物线于从F交直线于dG1）求他物线的解析式;当四边形)EFG为平行四边形时，求出此时点尸、Q的生标：3)在线段产。的移动过程中.以。、AG为顶点的四边形向枳是杏目最大值.若有求出最大值.若没有请说明理由.解：（1）：点C的演坐标为3,.v=3=2.，点C的坐标为（3.2）,把点CC.2）代入效物线.可得2=9a-QQ-4a.解得：a.二恤物线的解析式为-V=冬2+2：2）设点/（m.O）.Q（m+l.0）.Gn1.由题意，点。(阳,xr,12m.1m,2m：四边形DEbG为
18、平行四边形，ED=AG.：1124m+2）c*2vm+2s-tm2*ltf+!一l2w+,B印卷!+m号=-n!?+2,Amj=0.5.：.P（0.5.。）、Q1.5,0）：1可奔.S=（-112+tnm2+2）.I，”=2时，5最大你为学，28.以D、E.F、G为顶点的四边形面积有最大值,最大值为年.8.如图，已知二次函数y=+加+3的图敦交X轴于点A(1.0,R.交轴于点C斤是8C上一点.?Ey轴.)求这个二次函数的耨析式： 2)点P是直线SC下方抛物线上的一动点，求8CP面枳的最大值：直线A=ZM分别交H找BC和抛物线于点M.N.当m为何值时MN=8M,解：(I)4A(I,O),B(3,
19、0)代入函数解析式，如a+b+3=0(9a+3b+3=解得卜口，lb=-4这个二次函数的表达式是y=x2-4.r+3; 2)当X=O时.)=3.即点C(0.3).设BC的表达式为F=Ir+儿将点8(3()点C(0.3)代入函数解析式,得(3k+b=0lb=3解这个方程Ji1.籽Pc=-I.(b=3故H线HC的解析是为y=-A3,过点P作PEyfil.交宜城8CF点EC,-/+3)./(m9阳+3)，N(mnr-4m*3).Vf,V=zr-3m,J=2w-3.,pMN=HMi.r-3m=V2，3)解得w=V29 .1.I知口践y=-x-3与X轴交于点A.v轴交点C,抛物线y=-x2+wv+rt处
20、过点八和点C.求此枪物线的解析式；在口戏Ct上方的搬物规上是否存在点。,使得ZkACC的面积最大？若存在，求出点。的坐标;若不存在,说明理由.解得15m,n=-3所以二次函数解析式为y=+12=0.=122-43I2)=0.解褥=Q,3?-1Ix+12=0.解得xt=x2=2.把x=2.b=0代入产率+b.y=-.。点坐标为（2.导.10 .如图.在平面直角坐标系中，她物税y=+板-3交X轴于点4（-I.0）,8（3,0）,过点8的直线-2交拗物微于点Ci）求该撇物线的函数表达式:若点P是直&BC下方拗物战上的一个动点/不与点8,CRA.求APBC面积的Ai大侑.峪(I)将点A(-I,0).H
21、x-31.得:(a-b-3=0l9a+3b-3=解得:a=lb=-2.该拊物线去达式为y=r-Zt-3.过点作PO，轴,交X釉于点。,交8CF点作CE1.PoF点连接/&PC.设点F(用,n2-2m-3),则点E，39./XF=3+切=学.：.V-2,/nt-1K中AV”；23333273尹，.这个二次函数仃最大值.二当T=V时,STw、的公大值为*,11.如图，在平面出角坐标系x6中,已知直线y=x-2与X轴交于点A.与.V轴交于点儿过A、8两点的抛物找y=r02+fer+e与X轴交于另一点C(-1,0).求抛物线的解析式：在抛物戏上是否存在一点P,使SMB=S?若存在，访求出点P的坐标，若
22、不存在，语说明理由：(3点M为口跳48下方抛物践上一点，点N为)轴上一点，当AMAB的面枳增大时，求MNqoN的最小值.解：；直线V=X-2,jVV.A.Ii-l-：,Ii.设搬物戌解析式为：r=“(x+l)-4),二岫物线解析式为：y=-:当点P在自.线AB卜方时,在OB的延长线上效取BE=OB=2.连接4BP,：.AB/EFr/OP.OB=BE.工SA严，=SMMh：ErAB.且过点C(0-4.ftE叫析式为y吟,1,y三2-4联立方程组可得1,y=jx2x-2解得卜=2ly=-3二点夕(2,-3),综I.所述：/，+标为2+22.+2)222Itrnt-2).Wl.,lin-2.222过
23、点E作EP八&交抛物线于点P.r2)或2+2.二的面积=X4X(/-2):+2j-U-2)2+4./.当m=2时,AMAB的面积有最大值，点M(2,-3).如图3.过点。作NK8=30。.过点N作KN1.cK千K煎.过点M作A/。K于0.延长AfF交直找KO于Q,YNKOB=30；KN1.OK,：.KN=-ON,2：.MN得ONhMN+KN、：.,A/,、.，人，火线，IIKM，MN-八行附小值.，I”.2：ZKOB=W.H线。K解析式为.v=55当x=2时，点Q(2.24)，w23+3.：OBfiQM、：./PQM=/PON=30,12.直线y=-,JK仙交丁点儿与y轴交于点B,抛物线y=-
24、F+r+c羟过A、B两点.求这个：次函数的表达式;2）省尸是直线AB上方抛物找上一点：当尸8A的面枳最大时.求点P的坐标：在的条件下,点。关于他物线对称轴的对称点为。.在宜线A8上是否存在点M,使得直线。M与宜城ZM的夹角是NQA8的两倍？若存在，宜按n出点M的坐标；若不存在,请说明理由.（I）且战产-2,j轴交h2j.B,则点4、B的坐标分别为；4,0、.7物点48的坐标代入她物线发达式褥：（C=2,解得：b=J,0=-16+4b+c故附物级的达式为：Y=-普+2,r+2)点N(WN-i+2),(I)若：ZQMB=2ZQAM.则Q,W=A,W,则(-)2+(-+32(-4)2+(-rt+2)
25、2.解得：=.故力.jVi(看.):.1)求此枪物线的表达式.2若点P是百.线八8F方的拊物线上一动点，当aA8P的面枳分上时，求出此时点。的出标和AzlB尸的最大面积.i殳拈物税顶点为/),在(2)的条件下直线AB上确定一点H,使/)，。为等腰三角形，请宜接写出此时点H的坐标_心若一瑞2-.解：(I)将点8(7.0)和点C(1.0代入y=f+t-3,(9a-3b-3=0(a+b-3=0小E(b=2.y=jC+2x-3：令X=O.Wl=-3,：.A(O.-3).设直线AB的解析式为y=kfb.(b=-3l-3k+b=Jk=-Itb=-3,:y=-X-3.过点P作PG1.x轴交AB干点G.设P3
26、.P+2z-3.则GJ7-3).PG=-1-3-12-2t+3=-12-3t.S.i,=3(r-3f)=-g2228*r=1aw-28此时p(-2.Jj24(3由y=+2t-3的顶点C(-1,-4)设H(.nt.-w-3).为等腰：角形.XDH=PH.，+1：二-wr+l)2=(，3)2+(-m+-24解得E=-.24,1359)242414.如图，己知她物戏）=-F+b+c与一直i相交于A（I.0）、C两点，与）轴交于点M其顶点为D.1）求他物线及H线AC的函数关系式:2在对称轴上是否存在-点时，使/!MW的周长最小,若存在，请求出M点的坐标和八NM周长的最小值:若不存在,请说明理由.若尸是
27、她物线上位于口践AC上方的个动点，求AAPC的面积的以大侑及此时戊尸的坐标.解：(1)将A(I,O),C(-2.3)代入,v=-r+fcr+c.触(TEo.解得b=-2-4-2b+c=3Ic=3.附物线的函数关系式为y=-F-lt+3：设宜伐AC的函数关系式为y=m+”mO).将A(I,O).C-2,3)代入y=M5,得：(m+n=,斛如卜=T.-2m+n=3In=I.直线AC的函数关系式为y=-+1：当K=O时，),=-F-2+3=3,二点N的坐标为(0.3).Vy=X2-2v+3=-(+I)2+4.二粕物蝶的对称轴为Il浅K=-I.点C的坐标为(-2.3).二点C,M关于抛物筏的对称他对称
28、.令ft*ACtJ附物线的对称轴的交点为点W，如图所示.VAC,N关于抛物线的对称轴对称.：.MN=CM.：.AM+MN-AM+MC-AC.：.此时八MW周长取最小值.当X=I时，F=-+I=2.此时点M的坐标为（-1.2）.丁点A的坐标为（I,（）,点C的坐标为（-2.3）,点的坐标为-2,则点E的坐标为（X,0）,点尸的坐标为（x,-x*l）.PE=-Xt-2x+3.EF=-.r+l.PF=PE-EF=-X2-2t+3-（-x+l）=-?-+2.点C的坐标为（-2,3）.二点。的坐标为（-2,0）,：.AQ=I-2）=3.、,QPF-v+3=-“得.；-10,.i=-W时,4Pe大值,乐大
29、值为乌此时也P的坐标为-孕2824如图,在平面直角坐标系中，二次函数的图象交坐标轴于A（-1.0）,J4,0）,C0.-4）三点,点P是直线8C下方枪物线上一动点.(I)求这个二次函数的解析式： 2)动点P运动到什么位置时,Q8C面积圾大,求出此时。点坐标和APSC的最大面枳.(3)是否存在点P,使aPOC是以OC为底边的等襟三角形？若存在，求出。点坐标；若不存在，请说明理由.峪 1)设抛物税解析式为y=u-+ftre.a-b+c=0把A、B、CnM“小代入可用16a+4b+c=0,c=-4a=l解汨b三-3,c=-4工拊物般解析式为y=/-31： 2).点P在物物线匕二可设。(/,r2-3-
30、4).过尸作尸E1.t轴于点E,交立我BC广点F,如图I,图】 ：B=-r+4z,.,.SS-m-PFOEPFBE=PF(OE+BE)-PFOB=2+S.二当r=2时,5BC最大值为8,此时r2-31-4=-6.；.当P点坐标为(2,-6时，&PBC的最大面枳为8.(3)作。C的垂直平分线DP,交OC于点D,交HCF方附物线干点P.如图2.图2：.PO=PC,此时尸点即为满足条件的点.VC（0.-4）.：.D0,-2）.：.P点纵坐标为-2.代入抛物线解析式可口J3、4-2,那得X=生票，小IG台上）或1.昱票,:存在酒足条件的尸点，其坐标为（碧亘-2）.16.已知她物线y=-+辰+与X轴交于
31、八（-1.0）.8（3,0）的点，与）轴交于点C.图I图21)求抛物线的解析式:如图1.抛物线的对称轴交X轴于点M,连接8C、CM.求/?CM的周长及UInN8CM的值：如图2,过戊A的宜践涧8C,点P是直线8C上方拗物设上一动点，过点P作1.”，垂足为点4连接8)CD.CP.PB,当四边形W)C尸的面枳最大时，求点P的坐标及四边形MCP面积的最大值.解：(I)将A(-I,0),83,0分别代入y=-/+ftr+=-+2t+3.(2)由解析式可得M(1.0).C(0.3).,BH=2,BC=32,CM-V10.8CM的盾长为2+3l.如图1.过点M作MN工BC干点M图1：Oli=OC.Z0C=
32、Z,=45.2r-三=BN=:y-BM=2CN=BC-BN=32-2=22./s21tan/BaF在万方(3)由题意可知:SnA，MCP=S,ADC+SWC.:过点A的出线“SCsBDCssABC杷VA(-1.0).H(3.0).8=4.V衲物纹y=-x2+2x+3交y轴干点C(0.3).OC=3.sabcaboc=43=6如图2,过点。作工1.K轴，不足为点匕交8CF点,图2出线8C的科析式为：F=-3.设0(x,-+2x3),则石(.-x+3),；点P是出线8C上方枪物战上一动点,APE=PF-EF=-xj+2x+3)-x+3)=-x2+3x.则SApCBVPEX(xb-xc)=(-x2+3x)3=-2+y，S四边防仪P=-IX2Vx+6X=I时，四边形BDCP的面枳最大，最大向枳啜.此时，点P的小杯为(,半),17.如图1,在平面H角坐标系Ko)中，撇物线Fi：
