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1、方程，不等式新定义R段例题精讲考点1方程今定艮问题【例1】.设m为实数,定义如下一种新运算：，”nn-若关于X的方程“(x4x)=(X12)3m-9+1无解，则。的但是3.解I根据新运算，原方出可化为Xjr=T3x-93x-9r=l2+3x-9.(a-3)x=3.；关于X的方程无耨,.a-3=0.,三3.故答案为：3.A变式训练【变1-11.对于两个不相等的实数,b.我们规定符号而”.外表示外中较小的值,如加爪2.4=2.按照这个规定.方程min-.=3-1-1,故2不符合min的规定.22所以x=2不是方程的解.lI-ll,t.XXminp，-=-1(0)XXX-I.XX=4.线检验,x=4
2、是方程的根.-T-4故*3符介，”加的规定.44所以x=4是方程的解.故选：A.【变1-2.新定义，若关于X的一元二次方程：Wa-)2+,=o与”(-0,b=0.称为“同类方程”.如2(X-I)2.3=0与6(X-I)2+3=0是“同类方程现有关于X的一元二次方程：2(x-l2+I=0与0+)?-X2-(fr+8).v+6=0“同类方程+6)Xt-b+8)x+6=(+6)(x-I)2+1.+6)?-+8)+6=(+6).-2(+6)+i+7,.fb+8=2(a6),l6=a+7解得“a7lb=2r+t2O22=-+2r+2O22=-(X-I)2+2O23.，当X=I时,a2+版+2022取得鼓
3、大值为2023.故芬案为：2023.*2不等式新定义问题【例2.规定x为不大于X的最大整数，I0.7J=0.-2.31=-3.若R=2,则X的取值范围为24X2-解：规定为不大于X的最大整数.x的取值范围为：2x3,故答案为：2ExV3.A变式训练【变27.已知对于任意两组正实数：.2.-.a”：b.bi.儿总有(5%川+/乂bj+fr22+Z)N5b+a必+a就)2.当且仅当4=普=1H取等号.据此我们可以得到,正数4blb2bnb.C满足+fr+c=1.则11J的报小值为()abcA.3B.6C.9解：根据即意所给的不等式可得：-U-U-=(+h+c)(4-U-)abcabc(a)2+(b
4、)2*(V)2(上)，(卡),(/V上|以“/,一时,收博等号.W.工小二的髭小位为9.abc故选：C.【变2-2.新定义：对非负实数X“四舍五入”到个位的值记为x.K1=n:反之，当”为非负整数时，如果=0,=l.=2,V35=V4如枭=3,则实数X的取值范:国是45x55.若关于X的不等式组3,-I的整数解恰有3个处-0解：V=3,2.5-23.5,4.5x5.5,故答案为4.5Wx5.5:解不等式州3X1彻-lx,l-0D.121+1+1)2=9.w：当“为非负将数时,如果“-”，则n-WXW*.例如.1.12=4,试解决下列问题:I”的取值范阚是1.25SXC1.75.不等式组仃3个整
5、数解l2.1.52-K2.5.解得IKVI.75,故答案为1,25dl.75.Slpn研j文战演I.定义R表示不大于X的最大整数，如:3,21=3.（-3.2=-4,3=3,则方程R+2=2t所有解的和为）.3u5r7n92222鹳:令H=”.代入原方程得”+2-2-0.即X二华.又xWx）+l,.*.n-11+12的理得2+22+2.即0=4的解为(A. X=3B. a=2C.x=lD.x=0解：(.v+2)(Zr-1=4.则x+2+2r-I)(Zr-1)=43xl,.2-l斛得:x=1.检验：当Jr=I时，Zk-l0.故X=I是原方程的根.故选：C.3.定义新运第%2”：对于任意实数,b,
6、部有必+3,其中等式右边是通常的加法和乘法运算.例如：3*4=3X4+3=15.若关于X的方程X“(h+2)=0有两个实数根.则实数上的取值范阚是()A.*4B,*4C.A=0.：.x(Jtr+2)+3=0,情理可得小+2r+3=0.又Y关于X的方程/解得：且R0.故选：&.4.对于两个不相等的有理数瓜从我们规定符号加用”.勿表示。、两数中较小的数,例如M-2.3=-2.按照这个规定,方程，由口，*=2l1的斛为()A.X=WB.X=-I3C.V=ID,X=-1或X=4解：；加加M川表示。、b两数中较小的数，/-ninx-.r)=X或-x.Zr-I=x或-.1)2I=K时，解得X=W，W此时r
7、=J*5V-x,.X=-符合SS就.X.：.X=-1不符合时意.瀛匕可得：按照这个规定,W”5-、)=-2-的就为=.故选：A.5.对非货实数X“四舍五入”到个位的他记为.即当”为非负整数时，若njxn则3=，如：(3.4=3,35)=4,若国=3,则X应满足的条件足()A.=3B.33.5C.2.5x3.5D,2.5x3,5解：,.M=3,.=33-x3+y.2.5x3.5.故选：D.6,对于任怠实效。、b.定义一稗运算：4*6=fr+62,例如,2*5=25-2+5-2=11.请根据上述的定义解决问胞，若不等式2*V6,则该不等式的正整数解有几个()A.IB.2C.3D.4解：由题就得.Z
8、r-2+x-26,解得3,该不等式的正整数解有I,2.3共3个.故选：C.7.将关于X的一元二次方程F-PX+0,则F-2t2+Zr+l的优为)C.3-5D.3+VA.l-VB.1+V解：V?-x-1=0.*.jr=x+l./.?-2r+Zt+l=xx+l)-2E)+2-+1=2+x-Ir-2+2r+l=x2+x-I=+.r-I=2x,-X-=o的根为1.I嗖或x=-k,Vx0,.v=11.*2,.,.-2x2+lr+li+V5.故选，8.8.回读理解；“、/，、八d是实效，我们把符号称为2X2阶行列式，并旦规定：a=ad-bc,9Ia+bIy=CI例如，/=3X(-2)-2X(-1)=-6+
9、2=-4二元一次方程组,的解可以利用2X21-1-2a2x+b2y=c2阶行列式表示为程组DXX-DD/其中D=y=T(DX=JbC2b2，D,=.用上面的方法解二元一次方“I7?时，下面的说法错误的是（x+3y=7B.=0D.D4=20A.。=8c.方程组的解为（=ly=2故选：A.9 .给出一种运算；时于函数）,=/,现定y例如：若函数F=X5,则有）,=5a4.已知函数F=?.y,=12,则X的值足2.蝌：.、，=?.y=12.Alr=12./=4,x2,故答案为：2.10 .定义一种新运算：”秘=-/，.若0+3*（21.l）=1.则根据定义的运算求出X的值为5.23解：根据题意.吗x
10、+3）4-I）=1.去分母.得3（户3-2（Ir-I）=6.去括号,得3.v+9-4x+2=6.移项，得3-4.=6-2-9,合并同类项，ft-=-5,系数化为I，Htx=5.故答案为：5.II.时于实数”，h,定义一种新运算“为”为。区）b=-3一,这等式右边是实数运算.例如：I82=Yk=a+b1+2I-则方程2(-x)=一段一的解是-Z-x2-2x4解：根据曲意可知:320一)号x+52-xx2-2x-3x=x+5,_5X=.4,当工IW.4故答案为：412.、”为正整数，I=1.1,1.1.1.12612mn3042567290110132156,Ixm.ly.,”4”,则代数耳小W的
11、最小值为x+1.18.-7-1112+23+34+.+1112+1213+11121213(i-)+(i4)+.+)I%，乂mnll.13,l2O,.2,r+ll4.2+l2l.2-12tl217,X+14213.新定义，若关于X，y的二元一次方程组，a.x+b.y=c1,的解是a2x+b2y=c2.代数的最小俏x+17故答案为：y.*o，关于X，y的二元一次方程y=y01x+f1y=d1X=X1X1-X0y1-y组*j的解是.且满足1.i-0.hP_-IO.1.则称方程组的解是方程e2x+f2y=d2y=y1oy0组的模例解，关于X,y的二元一次方程祖,x+y=2m+2fx+y=10C,0“
12、的解是方程殂；,c的模糊解，则”?2-y=10m+4(x+3y=-10的取值范围是4.5A”日5Ix+y=2m+2解：解方程用cJ1.(2-y=10m+4x=4m+2y=-2m解方程的+yT0x+3y=-10x=20y=-10(+y=2t11+2:儿h,的解是力，(2-y=10m+4.l4m+2-20t,1-2m+10,.-jl,20i,F-im+y=10；,C的模糊解，x+3y=-10解得4W,”554.5m5.5若nQxn故答案为4.5这，”5.14.新定义：对非负数X“四舍五入”到个位的值记为(X).即当“为作他整数时,则*)=”.如0.46)=0.(3.67)=4.下列结论:=2；则X
13、的取值范围是6W0,，”为非负整数时，有(H2O22)=n+2O2Zr);其中正确的是初(填写所有正确的序号).解：2.493)=2.故符合遨意：.例如当X=O.3时，(3x)=1.3)=0.故不符合四意：若(当7)=1.1-l2x-1U.：6-o.：i；.Ta4242m为非负壑数.故l”,+2O2(h)n+(2()2（三）.故符合即意：琮上可得iE确.故答案为：.15H然数1到的连乘积，用！衣示，这是我们还没有学过的新运算(高中称为阶乘)，这种运算规定：U=1.2!=2l=2.3!=321=6,4!=4X3X2X1=24,在这种规定下，请你解决下列问 l）计尊5!=12（）:已知X为自然数，
14、求出酒足该等式的x：-=l;x5!分斛因式2-嘿解：（1）5!=5X4X3X2X1=12（2分）只写出5X4X3X2X1得1分）G654321,2)-1120x解得=6(2分)：3)序式=F-K-100X99X98X97XX2X19897-21=X1-X-9900.v-100）（x+99）.（如结论不对，过程疗黑-98!l99可解2分）16.（1）解方程组;(2-y=5(3x+4y=2D对于实数,/规定一种新的运算Va2+b2(ab)ab(a湎足方程组，2x；-29求lrC的值.J2-y=50是倡根方程：若2扇-9c=0时.则方程r+t+c=0是倍根方程.解：解方程V-4/4=0得：x=2.x
15、2=2,Vi2,二方程r-4-*4=0不是倍根方程：故不正确：若(.x-2)(m,x+n)=0是倍根方程,用=2,因此工=I或X2=4.当2=l时,w+n=0.当xj=4时,4m+n=0.故正确：；Pq=8.：.q=.P方程pxi6,r+g=0(0)变为：PF-6v+-=0.P即p2,r-6+8=0./.+d=O(cH0)的解满足IX-M=为正数.则称方程u+A=0(W0)与方程o+d=0(cW0)是“差，”方程例如：方程Zx-3=1的解是X=2.方程y-4=0的解足产4,.QN=2-4=2,工方程2x3=l与方程y-4=0是“差2方程请判断方程K-2=3-X与方程2=3(h-I)是不是“差3
16、方程”，并说明理由：若无论上取任何有理数，关于X的方程气包-b=27,(小/)为常数)与关于y的方程3.v+5=.v7都是“差1方程”，求+&的伯.解：(I)1-2=3-工的解为了=|.r+2=3的解为V=.方程*-2=3-*与方程/2=3(尹1是“差3方程”；(2) 3y+5=y-I的解为y=-3. 关于X的方程3费-b=2k-.(.b为常数)与关于y的方程为+5=y1都是差1方程二.,4v+3=l.耨得X=-2或X=-4.当X=-2时，-3y2-I.：(-4)=4+2 A取任何有现数.,.j=4.b=-2,=2:当X=-4时.-6+掾-力=2人-1,：.A=l(H2fr. .，取任何有理数
17、.=4=-5.a+b=-1：媒上所述：+Z=2或+b=-1.19.航天创造美好生活,每年4月24日为中国航天日.学习了一元一次方程以后，小悦结合中国航天日给出一个新定义：若M1是关于X的一元一次方程的解，“是关于y的方程的一个解，ft.w.y,满足m+g=424,则关于y的方程是关于X的一元一次方程的“航天方程”.例如：一元一次方程4x=5-400的解是=400,方程M=24的就是y=24或,v=-24,当=24时，满足o+.wi=400+24=424,所以关于y的方程E=24是关于X的一元一次方程4x=5x-4X)的“航天方程二试判断关于y的方程IV-Il=20是否是关于K的一元一次方程x+
18、403=2r的“航天方程”？井说明FIUIh若关于的方程Iy-U-3=13是关于X的一元一次方程厂2警2=加|的“航天方程，求的值.解：是,理由如下：x+4O3=2x.解褥：X=403.解得:=21或y=-19,V403+21=424.二关于y的方程Iy-l=20是关于X的一元一次方程x+4O3=2X的“航天方程”:2).警=%+,孵得1x=40+3,1.v-Il-3=13.解褥：.y=17或),=-15.关于的产小-11-3=13是关Jr的-.1.1.号=a”的航当4,+3+17=424时，布得：=IOh当4*3-15=424时，解得:=109.煤匕”的值为IOI或109.20.对K定义一种
19、新运算E,规定E(x)=(t+2)(2瓜-3),其中,b是非零常数.如：当a=1.b=l时.(x)=(.v+2)(2x-3)=2d+x-6.当“，jA1.(a-y)2+b+6=0h计算K(x)：2)已知E(2-3x)W-2x-竽，请求嵋的伯:3若当=3,b=2时,关于X的不等式抗E(x)-2x(6x+3)2k4E(2+x)-E(2x-l)360,u=0-/,+6=0,2,a=b=-6.；E(x)=(yx+2)(-12x-3)=-fr2-24.v-6-62-y-6=：E(2-3x)a(2-浜)+22(2-3)-3)=IWw2-|3(4-39(2+2)k*2+2)*-9+12)x+-6)，I8uf
20、t=.-(24ab-9w+l2A)=-2,8“/，-&，+&，-6=-r23.”W：.2-9a+2b-2.9a+12Z=0.3w=4.a43)；当=3,h=2flr.E=(lr+2)-Zr(w+3)=-7x-6.Y当=3,=2时，4E(2+x)-E(Zi-I)=23KrH53,.原不等式组UJ化为:-7-62k,238x+153228,解三x.不等式组恰好有5个整数斛.llJt14.5.21.规定，若两个不相等的数，其中一个数比另一个数大1.则称这两个数关于1的“刹那又一年”,例如:67=1或15-6=1,则称6与5是关于I的“刹那又一年”,请你尝拭运用上述规定,解答下列问时：1)填空：(在横
21、晚上填“是”或“不是”已知：P(2x+12.2y+10)在坐标系的原点匕那么X1.j是否关于I的“刹那又一年”是：2x-lx已知不等式组I11,3K-I的整数解为那么。与匕姑否关于I的“刹原又一年”是：3、广12已知方程组：-y-?的解X和是关于I的“测那乂一年”，求，的值：(4x+y=6tC已知:xy且X=,T0）中的X和F是关于1的刹那又一年,当J为正整数时.S=n2+8nj+7.y=bz+452=*Mi+8满足条件0“-5城的整数M有且只有8个，令=m+b2,化简1解：（I）.P（2+l2.2y+IO）在坐标系的原点上，2r+12=0.2v+10=0.x=-6,y=-5,Vy-X=-5-
22、xO1xJ.3x1(2)3、4&12由得xl;由得x42.二原不等式的解集为1WxW2.，整教解为=.b=2.或a=2,h=.Va-h=2-I=I或g-4=|1-2=1.：.a与b是关于I的“刹那又一年”.故答案为：是;(2)2-y=614x+y=6t+褥6=64,.,.x=r+l,把X=i+l代入，2t+2-)=6.耨得F=21.4.,这个方程组的解为(Xt+1.y=2t-4(2-v=6:方程组1,的解X和Y是关FI的“刹那又一年”，(4x+y=6tf+l)-(2f-4)=1或(2/-4)-(/+1)=1.X=(1110)V,中的X和是关于1的：V.l.vv.y=b+4x-y=(n-IO)2
23、-2+4)=1,2+4)+1=(n-10)2,BIJb2+5=(n-10)2,Sim+8m+7(S2m+hm+8S-S2=0,S-S2=2w-1.且21.l是整数.IS1.s2|的整数n行且只8个.即0nIV0w9,：.n-10)0,5-10)I=IO-n.即衣=IO-n.22.我们把关于F的两个二元一次方程x+b=6与h+y=b*1)叫整可.为共筑二元一次方程，二元一x+ky=b,、叫做共柜二元一次方程组.kx+y=b(+2y=b+2(I)若关于My的二元一次方程组为I(；卜打一3挥挽二元一次方程组，则“=7,b=1.2)若二元一次方程A妙=中X,F的值满足下列表格：则这个方程的共挽二元一次
24、方程是次+丫=2(x+2y=3(X=I(3x+2y=-10(x=-2f2x-y=4直接写出方做的解：也,3的解为一y=1.CxW7。的解为一k2-(x+2y=4的解为一；，4)发现：若共视二元一次方程组”丫：的解是F,则m,之间的数埴关系是m=n.(kx+y=by=n应用：请你构造,个共由二元一次方程坦，并直接写出它的解.:(I)Vx+2y=b+2(l-a)x+y=3是共筑1：元一次方程组.I-a=2./+2=3,解得a=-1.=1.故答案为：-1.1：=0：,r=0.=1代入方程+=b中.2=fr.k=b.k=b=2二：元一次方程是x+2.=2,二共蝇二元一次方程是2r+y=2.故答案为：l
25、r+=2:fx+2y=3,l2xy=3),X2咕2r+4r=6(3).得,F=1.将y=I代入,得尸1，.方程组的解为”：Iy=I3x+2y=-ll2x+3y=-10(2),X2解.fer+4v=-20.X3褥，r+9r=-30&-汨,F=-2,将y=-2代入，得X=-2，二方程组的艇为12：ly=-22-y=4l-x+2y=4X2得，4.r-2y=).+阳,X=4.将x=4代入得.y=4.二力程现的解为(“4；ly=4故答案为:(X=I.卜=.卜”:Iy=Ily=-21y=4(4)产力的解为卜T(kx+y=b(y=n.m+kn=blkm+n=b(D-，JfJ(I-*)m(*-I)n=0.m=
26、.故答案为：m=n5)-2y=l-2x+y=lX2，Ix-4y=2.将.v=-I代入得，K=-I方程组的解为卜=?.Iy=T23.阅读理解：定义：若一元次方程的解在一元一次不等式组解集范围内，则称该一元一次方程为该不等式组的“予方程”，例如：2-1=3的解为x=2,O-3Q-V、的解集为-3Wx4,不碓发现x=2在-3x2-4的范用内，所以2r-I=3是:总吃的“子方程二2x*lx+1,、J的“子方程”3(x-2)-x4-10ov-/x5m若方程2r+4=0,1.=-I部於关于X的不等式组，J.C的“子方程Z试求m的取值3x+m2m-3范围.解：(1)3x-I=0.解得：.*=会.22-l=0
27、O解得，=,2x+3x+l3(-2)-4)耨不等式得：2.解不等式得：S5.，原不等式组的解条为：2VW5,.不等式如2-lx+l3(x-2)-x4的“子方程”是：,故答案为：:2)3x-64-您-l4-10(2)解不等式得：X解不等式得：W3,二威不等式祖的解支为：-x4x-10导*3,解得：34:(3)2+4=0.耨得：x-2.空一7,3解得：X=-1.(x+511(Dtx+m2m-3解不等式得：xm-5.IW不等式得:Vm-3.工原不等式组的解集为：n-5x,n-3,S方程2v+4=0.缉=-I都是关于*的不等式lai*15：的“3x+m-l,解得12m3.24.定义-,种新运算：对于实
28、数小户有1.=y(其中均为非零常数)，由这种运算得到的故称之为雄性数，记为1.(X,y),其中K,y叫做戏性数的一个数对，若实数,都取正整数，称这样的线性数为正格线性数，这时的X,叫做正格线性数的正格数0.若1.(x.y)=2v+7y.则1.(3.-2)=-.1.-)=T:已知1.(5,-=-y./.(2,-=8.若/.(n-1,m2)为正格级性数.求满足66.(Wl-I,，/2)99的正格数对布哪些？若正格线性数/.(x,y)=55,满足这样的正格数对中,有满足问题的数对吗，若有.请找出：若没有，请说明理由.解：V1.(x.W=2x+7y,：.1.(3.-2)=23+7-2)=-8,IOl-
29、)=2-=+7(=222故答案为：-8,-4；22)VA-5,一半1.2,)=8.3355a*b号,2a+fb=8.Ja=3.(b=5.1.Z(”，-I,m+2为正格线性数，ml,V661.n-I./+2)99.66+5(m+2)99.7-m.1.(8,II),1.(9.12).1.10,13)共4对，”=55.lr+5y=55.,.y=ll-x,；y0的整数，二x=5或X=IO或X=15.力=8或=5或y=2.二没仃满足问题的数对.25.阅读下列材料解答问卷：新定义：对非负数X“四舍五入”到个位的伯记为V,即：当n为非负整数时，如果WXV“2,22则=；反之，当为非负整数时，如果V=n,JW
30、11-1114-1.例如：22=0.=2.=3.=5.-试解决下列问胞：Vn+2,4=6(n为圆周率)：如枭=2,则数X的取值范围为25x35:2）求出满足Q=gx-1的X的取低范围.解：由JS意可得:=6:故答案为:6.l.5-I2.5,.25WV35;故答案为:2.5.r3.5:=hJt为整数，2)VxO.3X-I为祭数,fcO,二F啮.人正值为3、4,5、6.=2,3、4、5,l.5xy,若存在,请求出4的依：若不存在，请说明理由.解：根据时意得-2=lly+2=l解得产Iy=-I故答案为：（x3JIy=T由题道可札x=3k-l(y=2k-2y(+l)=ky(y-2)=k-2-1.又.N
31、为负整数.二不存在负整数代使得中方程组的解满足xy.27.小兵喜欢研究数学问题.在学习一元一次方程后.他给出一个新定义：若m是关于X的一元一次方程r+b=O（a0的解.W是关于y的方程的所有解的其中一个解.且如W满足E=100.则称关于F的方程为关于K的一元一次方程的“友好方程二例如：一元一次方程3-2r99=0的斛足o=99,方程，+1=2的所有解是=1或=-I.当加=1Hto+o=IW,所以，+1=2为一元一次方程3-2r-99=0的“友好方程”.1）已知关于F的方程：2），-2=4,惘=2.以上就个方程是一元一次方程Kr-2x-102=0的“友好方程”？请直接写出正确的序号是.若关于F的方程2y-2+3=S是关于K的一元一次方程.红件=+l的”友好方程请求出“5的值.+yo=IW.故是友好方程,故答案及：(2)方程2.r-21+3=5的解是y=2或=(),兀次方程-2段=“+1的解是=3,苦”一0Mi+冲=100则rr3+O=I(X).解得。二97：若”二2.M5=100则03+2=100.解得0二95：答：的值为97或95.v3mv+45/54w.Mf=54
