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1、反比例加收中的动点最值问题【例1.如图，直线yn+4与X轴、F轴分别交于点八和点从点C、。分别为线段八从08的中点,点P为OA上一动点，PC+PD值最小时点P的坐标为3二点8的生标为(0,4)；*丫=()时.-14=03解得：X=-6.二点A的坐标为(-6.0.点C、。分别为税段八从。8的中点，二点C的坐标为(-3.2),点。坐标为0.2).作点C关于X釉的对称点C连接C。交X轮于点R此时PC+尸。的值此小，如图所示.；点C的坐标为(-3.2).：.炊C的坐标为-3,-2).设直线CD的解析式为)=iv+*0).将C(-3,-2),D()X上的-个动点，081.Y轴于点从当点尸的横坐标逐渐增大
2、时,四边形C)APH的面积将会()B.不变D.先增大后或小A.逐渐增大C.逐渐减小解：设点。的坐标为(x.X,；PBJ轴干点8.点A是X轴正半轴上的一个定点.二四边形OAPR足个出角梯形，川OlP8的曲枳WHli-AO.M)-MAo)W3，+芈冶t”J22X22x22X,：ao星定tf./.四边形OAPtt的向积足个减函数.即点P的横坐标逐渐增大时四边形OAPli的面积逐渐诚小.故选：C.变1-2.如图，一次函数=2r与反比例/数y=Kq0)的图象交于A,8两点，点M在以C(2,0)X为圆心,半径为I的C)C上，N是AW的中点,已知ON长的最大值礴，则的值是_第_.二O是线段AH的中点.N是线
3、段AAf的中点，迂接则0N8M,II.ONyJ：ON的减人假熄，2：BM的最大值为3.M在0CJB运动.，当8.GM三点共线时,HMliik.此时RC=BM-CM=2,方法二、设点B0的图彳:1.8X/.4与B关于隙点O对称，二。是线段A8的中点.N是戏段AAf的中点.连接BM,则ONBM,JlON=-j-BI.0N的最大值为.8M的胶大值为3.在OC上运动.上当8,CM三点共线时，BMkik.此时BC=BM-Cw=2.,(a-2)2+(2a)2=2.m=或02=0(不合SS施舍去)，,.,.lB,).1=32,251放答案为：祟.【例2.如图，在平面直角坐标系中，反比例函数V=K(.v0的图
4、象与边长是6的正方形018C的两X边A8H;分别相交干W.N两点.ZXOMN的面积为10.若动点P在X轴上，则PM+PN的最小值是226-.B蝌：；正方形OA8C的边长是6.点M的横坐标和点N的纵坐标为6./.W(6.r(.6).av=6,8M=6-66OWN的面积为10,66-6-6-(6-)2=IO.262626t=24,：.M(6.4),(4.6.作M关于X轴的对称点f.连接N交X轴干P则MW的氏=PAf+7W的最小值.XAM-AM=4.：.HM10.BN=2,NM=BMz2+BN2=V102+22=2匹1【变2-1.已知在平面宜用坐标系中有两点A(O,1).两点，与）,轴交于点C,与X
5、轴文于点/）.求双曲线的斛析式：2经研究发现；在y釉极半轴上存在若干个点P,使得/?为等腰三角形.请自按写出P点所有可能的坐标.解：(I)VA1A.4(-1.2)A双曲线K=区(0)I.反I匕例的数籽析代为售一,l,.fjm+ns2(2mn=-l二一次函数的解析式为产户1：令40,则y=l：.C(0.1),设P(0.p)(p.8(2，-l).BC=22+(-i-D2=22=22+(-l-p)2CP=I-p.CP8为等艘三角形，二,BC-BP时2版-=22+(-l-p)2-二P=1(舍)或夕=-3,：.P(0.-3),ul8C=(7对，22=I-/.I-22.：.P0.I-22).当DP=CP时
6、，22+(-l-p)2-1。：P=-I.：.P.故满足条件的点P的坐标为(0.-3)I!c，”，”wj0),m2.,V=-(2-m)=Am4A-2,m22m：.SMN=-MNn=-tr-m3=-(m-2)2+2,244.当”r=2时，ZXOMNiSfJUkJ,最小值为2.故选：B.2 .如图，在aA8C中，AB=AC=a,ZFAC=18i,动点7Q分别在1践8C上运动，且始终保持/用Q=99.设8P=x,CQ=y,则y与X之间的函数关系用图奴大致可以表示为解：AB=AC=a.ZHAC=W.，/八8C=NAa=1180-18)=8,2NABC=ZAPB+ZA=8.VZ=99.ZBC=18.B+Q
7、IC=99-I8,=8.：.ZAPB=ZQAC.同理可汨/8=NA。G4PAC.BPABACCQ,0ji=-.ay2格理汨.v=3-x.aF都是边的长度，是正数，/.V与X之间的函数关系用图%我示是反比例函数在第&取内的部分，纵观各选项,只有A符合.故选：A.3 .如图，已知小8是反比例函数V=K(JI0,x0)图象上的两点，8Cx轴，交y轴于点C动点PX从坐标原点”出发，沿O-A-8C匀速运动,终点为C过点。作。M1.r轴./Wl轴,垂足分别为“、N.设四边形OMpN的面积为S,点P运动的时间为八则S关于，的函数图象大致为()解：点P在八。上运动时，此时四边形OMPN的面枳S=K保持不变.故
8、排除8、D：点在8C上运动时，设跖戏0-A8-C的总路程为。戊。的速度为“，则S=OCXcP=OCX.因为/,OC,。均是常数，所以5叮，成次函数关系.故井除C故选：A.4,已知点A是双曲段丫=在第一象限上的一动点，连接八。并延长交另一分支于点8,以八8为一边作等XMABC的若点A的运动点C的位置也不断变化,但始终在一个函数的图象上运动则这个函数的表达式为V=-N.X解：设A(a,2).a点A与点8关于原点对制.OA-OB.八伙？为等边三角形.fflOC.OC-3A6.过点。作CDJ_x釉于点O.则可汨ZAOD=ZOCD(mCOD的余角,2一点C1的坐标为(x,v),贝UanA(7)=ianO
9、C7).即21.=-a-y解褥：F=-rx,O(.Rtcod中.c2+o2=oc1.即.+-3J1.4将)=-JX代入.a则xy-3.故可得：V=(x0.X故答案为：F=-(x0.X5 .如图,点P是双曲线C：y=-0)上的一点,过点P作X轴的垂线交直线A8：y=-2于点0.连接。凡OQ.当点P在曲线C上运动，且点P在Q的上方时，ZiPOQ面积的最大值姑_2_.，.poo面枳有以大做，Ja大伯是3,故答案为3.6 .如图.直线A8与X轴交于点4(1.0,与F轴交千点8(0.2).符城段A8绕点八联时针旋转9()，得到城段/U7,反比例函数Y=K(0.r0)的图象经过点C已知点P是反比例函数y=
10、K(0.xXX0)图象上的一个动点,则点P到直城AB距离见短时的坐标为坐-a.蝌：（I）设Fl线A8的解析式为.r=t+h.符小A（1.0）.,.0,2）代入得卜=0lb=2，出城/18为y=-2x+2s；过点C作CTX1.x轴，；线段AB绕点A顺时针旋转90得到姓段AC,.ABOCAD(AAS.AD=()B-2.CD-OA=I.C(3.1)=3,X设与AB平行的IiI线F=lt+,联立-，+/?=,X：.-2?+Av-3=0.m-2-24=0B.h3或-2巡舍弃.此时点P允H线AS/离最短.解方科-2r+26v-3-0WXh与理，222:.p(喙,6).7 .如图.在平面宜角坐标系中.点A.
11、8在反比例函数Y=KaHO）的图象上速动,且始终保持线段A8X=小及的长度不变,，W为线段AB的中点，连接OM,则线段OM长度的/小值是_V2k+8_（用含k的代数式表示）.解：如图，因为反比例函数关于直线y=对称，观察图纹可知；节战段48叱线y=垂H时，垂足为M.此时AM=用W.OM的住公小.为线收A8的中点.：.OAOB.；点A,8在反比例用数V=Ku0)的图象上，X二点A与点8关于H找y=r时称,V=42二可以假设八，.).IilHOrl.-4).mm：./OA=90”.ZEAO=ZD4t.ftAOE4D(TUS),DE=Ofi.；点A是反比例函数、=。第象限的图W.的,.X=4,.,.
12、5o=-0A=2.Scd=-ACDE=-O8H=2.22Sn=SACO+SH，OAD9011XAO2360-_2,11(AB2X)B2)4V(AB-OB)0.AAtf2-2AB()8+OB20.AB1+OB2？2OB,兀Sa;242f=2+211.4故答案为：2+2”.如图.点A是反比例函数Y=K(Jl0)图象第一象限上一点,过点A作A81.*轴于8点,以A8为直X径的圆恰好与轴相切，交反比例函数图象于点C在AB的左侧半阳上有动点。连接CO交AB于点记E的面枳为Si,4ACE的面积为52,连接BC,4AC8是等盘的角三角形,则若SlS2的他最大为1,则k的侑为4历4.市题意0。与反比例函数图象
13、为关于直线y=x对称.：.炊A、C关于直线F=X对称.设A(m.2m则C(2h.m.,.BO,=CHm.HO,/CH.，四边形0CO是平行四边形,.ZW=C从ZC=90.工四边形8CO是正方形.ZMBC=454,二八CH足等腰六角:角形.：Sl-S2=StmC-S,ACB.fiC的面积是定值.:.Al)BC的而枳被大时，Sl-5:的(ft城大，当。O_1.8C时，Z08C的面积公人.2=2(2).,k=2m2.-42+4.故答案为：等腰直角：珀形，424.10.如图.正比例函数)=的图象与反比例函数y=K(20)在第一象限的图取交于A点，过A点作2XX轴的垂线,垂足为已知ACMM的面积为I.求
14、反比例函数的解析式：如果8为反比例函数在第一象限图象上的点(点8与点八不理合,且8点的横坐标为1.P为X釉上一点，求使陷+PB的假最小时点P的坐标.耨：(I)设a点:的坐标为(”.b,MJIllyab=I-存a-二反比例函数的解析代为y上：X由条件知：两函数的交点为1y=2y2，解3：x=2x=-2Iy=IIy=-I.a,戊坐标为：(2.I).作出八点关于X轴对此点C点,连接BC.点即是所求则点C2,-I).Vfi(1.2).设H线8C的解析式为：ykx+b.k+b=2l2k+b=l解汨：(k=-3.lb=5二出线BC的解析式为：y=-lt+5.Iy-Olir.*三-,0).如图，正比例函数v
15、=2r的图象与反比例函数V=K的图象交于八、两点，过点八作八C垂出A釉于X点C连接8C.若4A8C面枳为2.I求人的值(2)K轴上是否存在一点。，使AABC是以八8为斜边的口,角三角形？若存在，求出点。的坐标，若不W:(I)Y反比例函数与正比例函数的图象相交于九8两点,；、8两点关于原点对称，：.OA=OB.：.ABOC的面枳=AAOC的面枳=22=I.乂.A是反比例函数Y=K图或I的3IAC1.x鞋;0,.,.i=2.故这个反比例函数的解析式为F-2：.如图3.为线段A8的中点，.,.OD=-AB=OA,2VA(1.2).OC=1.C=2.由勾及定J/：o=oc2+AC2=Vs.(W=5:.
16、D.根描对称性,当。为立角顶点.且。在X轴负半轴时,D.-5.0).故X轮上存在一点),使AA80以八8为斜边的H角三角形,点。的坐标为B,0)或-亏，0.12.如图，一次函数v=x+2的图象与反比例函数V=K的图象交于点A“，0)f8两点.X求反比例函数的解析式及点B的坐标：在、轴上找一点C,使IeA-C阴的伯奴大，求满足条件的点C的坐标及AABC的面积.解:1.v+2r,.I.a).，。二3.IEMii八,1.31.X=3._3.v.(-3.-I).2作点A关于4轴的对称点外,连接4,延长A*交X轴于点G点C即为所求:VA(i.3).,(-3.I).B,的解析式为y-+,：.C(-5.0)
17、.：.SW=SeBB+SHHa-22+4-24-6.2213.如图，一次函数y=2.3的图象与反比例函数y=区的图象相交于点A(-1.),B两点.I求反比例函数的解析式与点B的坐标：=5.，点BC,2）；2）设y=2x-3与F轴的交点为点,则点E5A=-3lJ3=-:2224(3设点D(a,).a如图，分别过点。,。作F轴的平行线。M,BN.过点八作助)时于“，交8N于MWjMNlBN,.,.ZW=ZZ=901.OAM+AW=3,.84)-W).ZfiZD=9O,.：.NBAN=WADM.：3ANS&ADM,ANDH+1F-(-5).史1.=M1.,Rp_aBNAM2-(-5)-l-a解汨：a
18、=-10cn=-I(舍)，,D(-10,-)14.如图.出城=2+3与丫粕交于A点,与反比例函数产区(x()的图象交于点8.过点8作8。1.rX轴于点C，且C点的坐标为(1,0).求反比例函数的解析式：点D(“，1)足反比例场数y=区(.v0图象上的点，在X轴上是否存在点P,使得P8+P。最小？X若存在,求出点P的坐标,若不存在.请说明理由.二在也筏y=2r+3中，当K=I时，=2+3=5.二点8的坐标为I,5）.又：悬B（I.5）在反比例函数y=区上，X=l5=5.二反比例函数的解析式为：y=&：X将点。关于X轴的对称点为ZT.过点8（1.5）、点O1的解析式为：W=YIT.22根据烟意如，
19、t1.tHBD与X轴的交点即为所求点H当y=0时，得：WT=O,一触x=223故点P的型标为（0）.15.如图，在矩形OI8C中，OA=3,OC=2,是八8上的一个动点（F不与八，8用合），过点的反比例函数y=K（x0的图能与HC边交于点X当为AB的中点时，求该反比例函数的解析式和点E的坐标.设过(1)中的直战/=1的解析式为y=av+b,H接写出不等式+hvK的解集.X3)当A为何侪时.AAE尸的面积最大,最大而枳足多少？“)四边形0A8C为矩形.0.4=3,OC=2.：.AB=2.8C=3.二点F坐标为0)的图象上.X=3l=3.二反比例函数解析式为y=3.XY点E在HCk,二E点纵坐标为
20、2.在).=3中.令y=2.可求x=.点坐标为：2：不等式S二-IfJW集即Il线&IKf-H依卜川卜;小宽的门空心Klff;范用,X111可知点反户两点的横坐标分别吗、3.式,“+/区的解为：0x3:X2由同点可知点E的纵坐标为为2,点F的横坐标为3,HE、F在反比例函数V=K(.r0)的图象X上，二可设哆2；,F3.-),MA-.CE32.E=RC-CE=3-,2.F.s=BE=g（3-&=-*=-ri-3）2+.2232122124：-o.12.Sg是关于k的开口向下的抛物线，.M=3町.5SEFGM大侑.以大侬为2.4即的值为3时，AAEF的闻枳最大，最大ifi积为身.416.如图，口
21、践04：.v=x的图效与反比例函数）=U0）在第象限的图象交于A点，过A点作轴的垂鼓，乖足为M，已知。从W的面枳为1.1）求反比例函数的解析式；如果8为反比例函数在第,象限图象上的点（点8与点A不虫合），且B点的横坐标为1,在、轴上求一点凡使网+P8最小.HIHUW战的解析式为v=2.X2）联立直线OA和反比例函数蟀析式机二点A的坐标为（2.1）.设A点关于X他的对称点为C,则C点的坐标为（2.-I）.连接BC较X轴于点P.点尸即为所求.如图所示.设出线BC的解析式为y=三w.Ih题意可得：8点的坐标为（1.2）.2=m+n，解得:1.l-l=2m+nIn=5二8（?的解析式为F=-ix+5.
22、当y=0时，O=3x+5,制得：x=-.二。点的坐标为-.Ok17.已知：如图，诙函数,=-2x+10的图象与反比例函数y=K的图象相交于A、8两点（A在8的右侧）.X点A横坐标为4.求反比例函数解析式及点B的坐标：观察图象.直接写出关于X的不等式-2t+10-K0的解集：X反比例函数图象的月一支上是否存在一点P,使内8是以AB为直角边的直角:角形？若存在,求出所有符合条件的点户的坐标：若不存在,请说明理由.耨：把x=4代入F=-2r+10得.=2.(4,2).把A（4.2代入V-区.得Jt=4X2=8.X(X=IJX=4y=8ly=2.反比例函数的解析式为Xy=-2x+10解方程肌y=g.得
23、，点8的坐标为o的解集为：1VV4或kVO：X3）存在，现由:若/8AP=90.过点作AH1.OE于H.设AP与K轴的交点为M,如图I.对于F=-2x+l().当y=0时.-2v+10=0.解得x=5.：.尽E(5.0),OE=S.VA(4,2).OH=4.AH=2.HE=5-4=1.：AH1.OE.：.ZAHM=ZAWE=90.XVZP=90.Zf+ZfM-9(),.ZE+ZM-90,.ZfAW=ZEM.4HMW.4.AHMH,ll,2KHEHAH12H=4.(O.O),UJ设曲设人户的解析式为y=rt.则仃4”,=2,解得m=，.口线八夕的蚱析式为二，.一二点。的坐标为(-%-2).若A8
24、P=9().同理可得：点P的坐标为(16,-.iifc:：if-P-.-PV-.1-4.2),(-16.-4).2,反比例函数y*a为常数.且AWo)的图象经过点八(I.3),B(3.).X求反比例函数的解析式及B点的坐标：.B(3.-I)代入得，产=3,解得k=-2.l3k+b=-llb=5ftAB的关系式为y=-2,r+5.当)=0时,X=旦即:P(A,0),也就是,OP=,22219.如图，一次的数.、=-.r+4的图象与反比例=.8为常数，且KKO)的图象交于人(I.a).8两点.X1)求反比例函数的表达式及点8的坐标：2在X轴I：找一点P,使附+。8的值最小.求满足条件的点的坐标：在
25、X轴上找一点M,使M-脑树的值为用夫，曲接写出M点的坐标.解：(1)把点A(1.“)代入一次函数y=-+4,得=3.A(I.3).把小A(I.3)代入反比例区,得*3,，反比例函数的达式.v=3.故B(3.1).2作点8关于X轴的对称点D,连接AD,交K拈于点R此时PAPB的值蜃小：.D3,-1)设H纹A/)的解析式为.则m+n=3.解得(ffs2l3m=-lIn=5Jl线八。的解析式为y=-2：3)直线尸-x+4与X轴的交点即为M点此时IMA-A|的值为最大,令v=0.则x=4.M点的坐标为(4.0).20.如图，四边形ABCC是正方形，点A的坐标是(0,I),点8的坐标是(0,-2),反比
26、例函数y=的X图象经过点C，一次函数y=s+力的图象经过八、C两点,两函数图象的另一个交点E的坐标是(M3).分别求出一次函数与反比例函数的解析式.(2)求出，”的伯，并根据图象回答：当X为何值时，一次函数的伯大于反比例函数的值.若点?是反比例函数图象上的一点,4AOP的面枳恰好等于正方形ABC7)的面枳,求点尸坐标.(I)点八的坐标为Ol3点8的坐标为(0.-2).A=l2=3.Y四边形A68为正方形，BC=4B=3C(3.-2).把C2)代入产K,得jt=3X2)=-3XJ.反比例函数解析式为y=：X把C(3-2)AE点的坐标为(-2.3)：由图象可知，当KV-2或OVXV3时，一次函数落
27、在反比例函数图型上方,即当XV-2或OCXV3时.次函数的值大于反比例函数的例：3)设P(/.八8的面枳恰好等于正方形ARCD的向枳,-l33.解(“=18或-18.；IX.-1)s0)的图象上的一个动点,AC1.r轴干点G是线段AC的中点.X过点E作AC的垂规，与,T轴和反比例函数的图象分别交于点8、。两点：连接4/1.BC、CD.DA.i点A的横坐标为加求点。的坐标(用含有，”的代数式表示)：判断四边形八8C。的形状，并说明理由：当,”为何值时，四边形八8C。是正方形？并求出此时八。所在直线的解析式.*?：(1)；点A的横坐标为，.二点A的纵坐标为8.mOE是Ac的中点,ACj1.x轴.：
28、.Em.m；BD1.AGC1.X轴，二点8.E,。的纵坐标相等,庐,m，点。的横坐标为2：.D2h.)：m2)四边形ABCQ足菱形.VB(O.A),E(m,D(2m.mmm工EB=ED=mXAE=EC.四边形A8。足平行四边形.：BDlAC.平行四边形ABC。是差形:Y平行四边形A8C/）是箜形.，当AC8。时,四边形ASCD是正方形.,-8.lm，mm=2.PRm=-2（舍），（2.4）.D（4.2）.设flD的蝌折式为y=H+b.f2k+b=44k+b=2Jk=-Ilb=6二直线八。蝌析式为=+6,二当r=2时，四边形A8C。是正方形，此时直规AC解析式为=-+622.如图，一次函数A=-
29、X+2的图象与两坐标轴分别交于A.R两点，与反比例函数V=区交于点C、D.X且点C坐标为（-2,，”）.求反比例函数的解析式：若点M在y轴正半轴上,且与点从C构成以8C为股的等腰三丽形，求点W的坐标.3点P在第二象米的反比例函数图双上.若ianOCP=3,求点P的坐标.解：（1）；点C（-2,切）在一次函数y=-+2的图缭上,m=-=一旦：X2)如图1,过点C作CH1.y轴fH.在直线y=-x+2中，当X=Q时,则=2,：.B(0.2).Ill(I)知.C(-2.4).nc22+22=l8M=8C=2加时，l=22+2,.W(O.22+2).当8C=C时，点C在BM的乖口.平分找，M(Q.6),琮上所述.点.”的坐标为0,22+2)或(0.6)(3)作例UPC于0.过0作G1.x轴于G.Cx轴.交，G于从.CQ_CH_HQ0QQG-OGVianZOCP=3,.CQ1二OQ3设CH=X,则GQ=AX.HQ=4-3x.：.OG=3HQ=12-9=+2,解得x=l,：.Q-3.3),.H线C。的解析式为.r=x*,+6=.X解得XI=-2.X2=-4.；点与C不Hi合，:P(-4,2).
