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1、数与式中的新定义问题例题精讲k2J若【例I】.定义一种新运算：Jnxn_1dx=an-bn例如J：2xdxk=-2.解：由SS意得.解得Jt=-2.故答案为，-2【变17.定义：对于实数.符号匕表示不大于”的最大整数.例如1：57=5,5=5.-n=-4.如果察=3则X的取值范用是（A.5x7B.5.v7C.5x7D.5x7解：由题意得：3W驾4,26jr+i8.57,故选：A.【变1-2.现定：符号口叫做取整符号,它友示不超过X的最大整数.例如：5=5,2.61=2,0.2=0.现在有一列非负数maz-3.,.已知m=10,当N2时,an=zan+-5（亳与-二马），则2022的值为11.解
2、：.i=10,o2=I-5()-0)二11O3=2+5(tf5=M+l-5(fl4-53-5d6=d5l-5(11-.ai,0,传5个结果循环一次.V20225=404-2.02ce2=G=I1.故答案为：11.【例2.定义：如果一个数的平方等于-I.记为尸=7,这个数i叫做虚数单位，把形如“+/的数叫做处数，其中“叫做这个发数的实部,b叫做这个攵数的虚都,它的加、然、乘法运算与整数的加,减、乘法运算类似.例如计算:(4+r)+=4+6+r-2=IO-(.3-i)=6-2(2-力+(2-r)2=1-1.解：(1+方+(2-r)2=2-/+4-2?+4-4f=2+3+2=7-1.故答案为：7-A
3、”变式训练【变2-1】.阴宪是生活在北宋年间的数学家，“黄帝九章徵法细草:“择镇前书3等书，但是均已失传.所谓“贾宪三角”指的是如图所示的由数字所组成的三角形，称为“开方作法本源”图，也称为“杨辉三角二贸先发明的“开方作法本源一图作用之一，是为了揭示二项式(“+/)(n=l,2.3,4.5)展开后的系数规律,即),=+.2.a+b)=J+3rt3加+初.+)4=w4+4,H-6tr2+4,+fr4.)s=+54+5.则二项式（+/”为正整数）展开后各Iii的系数之和为解：根据即意得：C.2D.2ntl当”=1时.展开后各项的系数之和为：l+l=2l当”=2时，展开后各项的系数之和为：1+2*=
4、2?,当”=3时,展开后各项的系数之和为：1+3+3+1=2n当”=4时，展开后各项的系数之和为；l+4W+4+l=24.当”=5时,展开后各项的系数之和为：1+5+10+10+5+1=2$,当”=6时，展开后各项的系数之和为；1+6+15+20+15+6+1=26,二猜想当n=n时，展开后各项的系数之和为:2n.故选：C.alla12aIna2a22*a2n【变2-2.已知行列(N2)的数表A=：:3,中.对任意的i=l,2.,小尸1,2.IanIan2a*n.都有即=O或1.若当“*=0时,总疔(air+s/+”而)+(u+r?+m)-”则称数表A为典型表，此时记表中所有码的和记为S1,.
5、0,01.其中典型表是（OOq（；：若数表B=1OO,C=00I。OOl典型表中SS的最小值为13.斜：（1）数农8中“12=0,而222+(tf+112+B)=OO+1H0+1=23,二数表占不是典型表：对于数表C中当&t=0时，总有d+n二教表C是典型表：故答案为:C.(2)若典型表中出行最小值,即典型表A中的1最少且当。、尸0时，总行,+g+”,)+(u+u)n.1则八=0001000,1000OlllOlllOlll或A中,则SS的最小值为13.故答案为：13.实战演练I.时任意两个实效.定义两种运算Tmicl，并且定义运算顺序仍然是先做括号内的，例如：3=3,03=-2.(-2)3)
6、02=302=2,则(遍中2)病等于()A.35B.3C.5D.2垂：由题就得:(52)V27=V027=V03=V.故选：C.2.对于两个不相等的实数。、b,我力规定符号M(,川表示。、b中较小的值.lm(2.4)=2,按照这个规定.方程4=&-1的解为()A.I或3B.I或-3C.1D.3耨：分两种情况：当x0时.2,XXVMn-9-J-J.XXX.14lXXl=4-x,解得,k3检验：当X=3时.x0.工l=3是原方程的根：当XVO时,11,XX；Minl1.-I=-1-XXX1,XX3=4-X.解得：*=1,不符合题意，禽去，综上所述：fjViMin-,31=2_的好为3.XXX故选：
7、D.3.定义：如果t=N(a0.al,那么X叫做以“为底N的对数.记做x=log(身.例如：因为72=49,所以log49=2:因为53=125,所以1咕gga2;若0g23-)=Iog827,则rt=O:Iogzry=log2x+log2,v0.y0.A.4B.3C.2D.I解；.6)=1.Iug61-0,说法普合触意：由于，=r*,设f=(w,F=g11.则,=b,两边同时取以。为夫的劝数，IogCaP=1。8小，则“馋=卜娟3logra所以P-丁七IOgCblogcblijlo8ab=-alogcalog2271rllIog827-g-=ylOg227=1og2273一*T2Vlog2(
8、3-)=logs27=Iog23，=0.说法符合题.旗：故选：A.4.我们把F1称作二阶行列式,规定它的运修法则为aJ=%/-加.史：(j=2X5-3X4=-2.请你计-2。2的值为20.4-9-2B解：24-9=-2)X(-9)-(-)42=18-2)=18+2=20.故谷案为：20.5.而于实数Gh.定义运算“0”如下：ab=(+fe)2-(-ft)2.若(m+l)O2-(,a-b)2=u+-A)(o+b-a+b)=4ab：.Q(/M-2)=4n2-m6=0.耨得m=3或，”=-2.故答案为：3或-2.6 .设”为正整数.记加=1234Xm(w2.I!=1.Wj-J+-J-+?+9,2!3
9、!4!9!10!.110!解.-J-,2I32!3!4!9!10!=+-111-)+(J-)2!2!3!3!-4!9!10!故答案为：.T10!7 .新定义：任意两数按现定y=典得到一个新数V,称所得新数丫为数，”，”的“愉悦数，则n当m=2vH,=I,且加，的愉悦数”为正整数时，正整数M的值是解:m=2hrr=-I.旦F为数r,的愉悦数”时,9vl-2l+(X-I)X-I2x+l(2x+l)(-l)(-l)2X-Ix-1x-12x1-2x2x+1x2-2x1x-1_-x2+x+3x-1_-(x2-2xl)-x4x-1.-(x-1)2.-x4x-1x-1.3和y均为正整数,当x=2时，y=l,
10、当x=3时，V=-1,2枚答案为：2.8 .对数的定义：一般地，若d=N(00且“KI),那么K叫做以“为底N的对数，记作x=l%W,比如指数式2=8可以转化为对数式3=log28,对数式2=1OgQ6,可以转化为指数式62=36.计算Iog39*log525-Iog232=O.解：Iog59+log5125-Iogz32=2+3-5=0.故答案为：09 .对于正整数我们规定：若师为奇数.则/=3n+3:若加为偶数.则/3)=5.例如，=35+3=18.f(8)二微=4,若叫=1?2二,(“)32M-f(T)依此规律进行下去，得到一列数，I,W2,m.，必，而，5为正整数)，则m+m2+aBs
11、r202=14140.解：根据题意得,m=1,m2=/m)=/(I)=6H3=/w?)=/6)=3./W4=/(m)/(3)=12,m5=/rm)=/12)=6,W6=侬)=/=3，m=fn6)=/=12,m=/W7)=/)2)=6.w=/m)=/6)=3.112(2I=6.22=3,20223=674.mm2wm202=(63I2)X(674-1)6l=14140.故答案为：14140.10 .如图.把平面内一条数轮绕原点。逆时针旋转角0(f得到另一条数轮X轴和y轴构成一个平面斜坐标系.规定：过点?作轴的平行战，交轴干点A,过点P作人轴的平行跷，交F轴于点8.若点A在.i轴上对应的实数为点8
12、在轴上对应的实数为队则称有序数对(“.b为点P的斜坐标.(I)点P(X,关于原点对称的点的斜坐标是(-x,7)；2在某平面斜坐标系中,已知0=60,点P的斜坐标为(2,4),点N与点P关于X轮时林，则点N的斜坐标是(6,7).解：(I)点P(,y关于原点对脓的点的斜坐标.故答案为：(-X.-.V)；V=60*,JPF=FN,NPFA=NDFN=,.PAFNDF(AAS),JPA=DN,AF=FD.；点。的斜坐标为2.4).：.OA=BP=3P=BO=4.：.DN=4.VZF=60,AF=DF=4cos60c=2.O=4.：.()!)2+46.：.N(6.-4).故答案为：(6-4).”.欧拉是
13、18世纪瑞士著名的数学家，他的贡献不仅遍及高等数学的各个领域.在初等数学中也留下了他的足迹,下面是关于分式的欧拉公式：7-7llS3En-=p,r=0时0,r=10t1,r=2时a+b+c,r=3时(其中b,c均中为零,且两两互不相等).当r=O时.常数的值为0.利用欧拉公式计算：_202132-=6063.物二时.(a-b-c)(M(b-a)Yc-ac-b)_111(a-b)(a-c)(b-c)(b-a)(c-a)(c-b)_b-c_a-ca-b(a-b)(a-c)(b-c)(b-c)(a-b)(ac)(a-c)(b-c)(a-b)=0,IP=O,故答案为：0：当0=2022,b2O2l,c
14、=2O2O,r=3时，20223Q90203-20213#柴一=2022+2021+2020=)63.故答案为：6063.12.任何一个正整数”都可以进行这样的分解：n=st($、，是正整数.且$力如果PXq在”的所有这种分解中两因数之差的绝时值最小，我们就称PXq是的最佳分解，并规定：F()=2.例如18可以分解成1X8.29.3X6这三种,这时就行尸(18=.给出下列关于F(”)的说尚F(2)=:F(48=yFn2+n)=肃若”非。整数,则产(后=1.其中正确说法的是(将正确答案的序号Ift写在横戏上).解：V2=l2,(2)=工2故遇句符合即意：V48=148=224=316=412=6
15、8.Ff-O5_6_384故语句不符合也意：Vn2*=+1),：.F(n2+n)=-r,n+1故语句符合跑意：V2=ii.故语句符合题意,故答案为：(烦.13.对于三个实个b,C用Mo,b，c)表示这三个数的平均数,用加n(o,b,0表示这三个数中最小的数.例如：M1.2.9=叱+9=4.min,2.-31=-3.,”汕3.1.1=1,请结合上述材料.5解决下列时即：MJtsin30o,cos60a.tan45o)：若-2x,，3=2.求X的(ft.解：(I)wr(sin30,.cos60.tan45|=”而哈,PI)-1-2：V.W-2x.X2.3J=2.-2x+x2+3,-32，整理汨：x
16、2-Zt-3=0. -3)(x+l)=0-3=0uJ.v+i=0.=3或K=-I.I的值为3成-I.14.定义0C求若)为二阶行列式，规定它的运算法则为:201720181.ffi201620172m1=20，求，”的伯.m-2m+&=Od-be.例如:=58-67=-2.2017201820162017=2OI72-2018X2016=2OI72-207+)X(2017-I)=2O172-2O172+lVa=ad-bc.m+2Brm=20.Icqm-2m+3-(m-2m-2)=20.解得rt=-.I5材料：对于一个四位正整数，n,如果满足百位上数字的2倍等于位与十位的数字之和，十位上数字的2
17、倍等于百位与个位的数字之和，那么称这个数为“相邻数二例如：；3579中，25=3+7=IO.72=5+9=l4.3579是“相如数”.+l0c为“相邻数其中,b.c.d为整数，且1W.W9,OWbW9,OWCW9,OWdW9,设尸=2c,G()=Id-a，若期行空(n)侬为蜷数,求所有海足条件的值.Hfh(I)7653不是“相邻数”：3210是“相邻数”，；7653中，6X2=7+5=12.52=IO.6+3=9,IO9.7653不是“相邻数”：V3210.22=3+l-4.I2=2+0=2.32!0“相邻数”：2)；四位正整数”=1000o+l(X)Hl0rd为“相铭数“，2=+.2=b+d
18、.VF(/)=2c,G=2d-a.3F(n)Y(n)+236c+a-2d+236c+a-2(2c-b)+232a+3c+23,2a+3c+617=1717=17=1Vl9,0Z9.09.0rf9.82a+3-Hi5.*.2+3i+6=17.34.51.20+3C=H时.-l.c=3.b=2.d=4,此时”=1234.2+3=28时，=8.c=4,b=6,(1=2.此时a=S642,2+3c=45时，“=9.=9,b=9.=,它只有一攻，系数为I： u+),=,它有两项，系数分别为I,1,系数和为2： +)2=fl2+2flH-,它有三项,系数分别为1.2.I,系数和为4：根据以上规律，解答下列
19、问题；+)$展开式共有6项,系数和为32.求(2;-1)$的展开式； 3)利用表中规律计算:25-524+1023-IO22+52-1(不用表中规律计算不给分)：i殳(x+l),7=i7x+rtiMl6+flix+)3=a33a-+3ab+b3(+b)4=a4+4a3t+6a-l2+4ab1+b4图I图2解：根抑;图发中的比律.可得：S+b)$展开式共有6项，ll+5+l(H-l(H5+l=32,故答案为:6.32：(22-I)5=25a+5244+102,a3(-!)j+10222(-I)3+52a(-1)4+,=325-80r4+80-40a+1-I； 3)根据图衣中数据的规律可以发现：2
20、5-524+IO23-1O22+52-I=(2-I)5.2s-524+IO2j-IO22+52-1=1： 4)，：(x+l)l7=u7x+,6+u+ro.二当X=I时， 1+1)=E+5+G+a3+“16+。”，当X=O时， 0+1)l7=o=h.2l7=l+u+r2+i+-+CI16+fII7.a*a2+3+l+l7的值为217-I.故答案为：2”-I.17.若规定f”，m)=n(+3(n+w-1),且，n,为正整数，例如/(3,l=3.=4X5,/(5,3)=567.计算f4,3)-/(3,4)：2试说明：f(nm)-rf(n,m+l)-f(n-l.m+1)：tn+1利用(2中的方法解决下
21、面的问题.记=/V(2,2V(3.2)+(27,2),b=f i.3)V2.3)V3.3)+4(11.3).0,的也分别为多少？试确定/的个位数字.(I)解I/(4.3)-/3,4)=456-3456=456(1-3)=-2456=-240：2)证明：*/(】)=w(+1)(+2)(/1+3)(rw-1)(-i-ir(n.n+)-fn-1.n+l)=-(+I)X(n+2)(n+n)m+1m+1-In+l)(n+2)(n+3)X-(n-1+m+l-1)=i-(11(m+1)(rr+2)(r+3)(11+m-I)Jm+1=(rt+l(t+2(+3)XX(n+m-1).f(n,m)=f(n,m+1)
22、-f(n-l,m+1)：tn+13)解：V=(l.2)(2.2)(3.2)+(27.2)(2.3)+-+/(27.3)-26.3)-/(2.4)+-4/(il,4)-f(0.3)V(2.3)f(l.3(3.3)*5=-(27.3)-/(0.3)I-A2728293=7308.b=f(1.3)+f(2.3)+f(3.3)+-V(II.3)-f(0.4)V(2.4)-V3.4)4412I3141-4=6006：(？=730806,.6的个位数字是8.82的个位数字是8.4.2.6撕环.V6()064=150i.V的个位数字是8.,请阅读以下材料,解决问题.我们知道：在实数体系中，一个实数的平方不可
23、能为负数，即HQ.但是，在复数体系中，如果一个数的平方等于-1.记为F=-1.这个数，叫做虚数单位,那么形如。+历(、人为实数)的数就叫做复数.。叫做这个坡数的实部，/，叫做这个发数的虚部.它的加，减，乘法运算与整式的加，M，乘法运算类似，例如计算：(3+i)i=ii+i1=3i-i(2+/)+(3-4f)=(2+3)+1-4)i=5=3r三若两个笈数，它们的实部和虚部分别相等，则称这两个狂数相等：若它们的实剖相等，虚部互为相反数，则称这两个亚数共辅.如l+2i的共转复数为I-2/.根据材料回答：(I)埴空：(2+f)(3i-1)=Si-5；符”r2+9(，”为实数)因式分解成两个复数的积：A
24、g=(+3i)(,”-3普：若，叶加是l+2f)2的共规更数，求12on的值;(3)已知(+i)(Ki)=2-4r.求(J一庐)(尸+沁产+产23)的值解：(1)D(2+i)(3i-I)=6i-2+3产-f=5-2-3=Si-5.故答案为：5/-5；w2+9=(m+3i)(m-3i),故答案为：(，+3力(m-3i)s(2) l+2i)2=+4+4r2=-3+41.Z+加是1+202的共惧灾数.,.a=-3.b-4.Jh-fl)屈=(7+3)血二|：3)7(0D(W)=ab+3b)i-I=24r.:2=aba+b=-4:ab=3.b=4ab=2,Vi2=-I,?=-i,i*=l,i5=ir=-
25、1.j7=-i.，.in的运算结果-1.-i,.i循环出现，V2023-I)4=5O5-2,i2+ii+ii+i2a2y=-j-i,当Q-6=2时,(J-户)(产+户+，4+产”)=-8-I-i)=8+8/：当-/=-2时，(r-b2)内户+人+产=8(-/)=-8-8/：踪上所述：(2-扇)(沁pH%.一泮力的慎为8+&或-8-8i.19.式子-1+2+3+4+100”表示从1开始的连续100个正整数的和,由于上述式子比较长，书写不方便,100为了简便起见,可以将上述式子表示为En.这里是求和的符号.例如“I+3+5+7+%用n-15010可以表示为(2n-l).3+2M3+-+IO3,MJ
26、*,可以表示为En3.n-ln-l6)把工写成加法的形式是15+32+42+52Hz:n-l50“27+6+8+10()”用u可以表示为_Y2n；E2022.计算；E(/n)n-1n(n+l)6)解：En-12+22+32*42*52+62.n-l故答案为：12+32+32+42+52+62：50(22+4+6+8+1()02.n-l50故答案为：2”：n-l20221(-Z.T)n三ln(n+l)=1-1.1+，_1_122334n(n+l)J1.-223344520222023=I-2023.2022一202320.好学的小货I可学，在学习多j式乘以多项式时发现：(4)2r+5)(3-6)
27、的结果是一个多项式，并且最离次项为：x23x=3.t常数*45-6)=-120,那么一次Js是多少呢？要解决这个何甥，就是要确定该一次JS的系数.根据尝试和总结他发现：一次项系数就是；y5(-6)+2(-6)4+345=-3,即一次项为-3x.谛你认真领小东同学斜决向胞的思路，方法.仔细分析上面等式的结构特征.结合自己时多项式乘法法则的理解，解决以下何甥.计算(-5(5-3)所得专项式的一次项系数为17.若计算(.r+.v-IX?-2t+)(2r+3)所得多项式的一次项系数为2,求“的假；若(.v+l)20=(m+“I.产1.dit2020+xm2022,WO2(121=2022.解：(I)(
28、x-5)(3x+l)的一次项系数为：IXIX+3-5)(-3)+5(-5)Xl=-3+45-25=17.故答案为：17：2)(+x-1)(？-2v+a)(2+3)的一次项系数为：lXX3+(-2)3+2(-I)a=34+6-2=4+6,V+-1)(?-2r+)(2t+3)的一次项系数为2.:a+6=2,*=-4：晔:2哈20君晔20N.(.r+l)W的一次项系数为:IX1X-11IX-X1+1IX-Xi-,l+l+12022.又x+1022=wr2022+x2021+it2,20+2)2.v+202222=2022.故答案为：2022.21.阅读下列材料.材料一：时于-个四位正整数，如果百位数
29、字大于千位数字，且个位数字大于十位数字，则称这个数是“双增数”：如果百位数字小于干位数字.且个位数字小于十位数字，则称这个数地“双减数”.例如：3628,4747“双增数”.5231.9042是“双减数”.材料二：将一个四位正整数E的百位数字和I位数字交换位置后，得到一个新的四位数加，规定：F(m)=m-ni.例如：F2146)=2146-2416=-270.最大的“双增数”是8989.0小的“双减数”是IOIO；已知“双增数”$=I(KX1.v+100(94)+1OyIWX9.。、Z)是整数)，且r的各个数位上的数字之和能被12整除，现规定K=F(三)+Fr).求*的最大值.耨：(1)由双增数的定义得最大的双增数是：8989.根据双减数的定义得出小的双战数是：IUlS故答案为：8989.1010.由题念：F(三)=s-s=I000+I00(m4)+I0v+6-OOO*100IO(.v+4)46=360.Vr=3000+2.，2+是一个一:位数.设它的百位数是e,卜位数是/；个位数足,则1001.Ky=2(M.r=3(XXHKXV+l(y+.Y，为双M数.0e乱12的倍数./&2的倍数=6,b=2此时k的报大值为：3M)+90(1-6)=-9().
