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1、S!【点1做发模量的条件1)动点定长模St(2)MABIIAflia固定线段AB所对动角/P为定位原理：弦AB所对同僚圆冏角恒相等则点P运动轨迹为过A、B、C三点的圆备注：点P在优弧、劣孤上运动皆可(4)四点共IieiSfD若动用A+动用/C=180则A、B、C、D四点共Hl(5)四点共St*9t茏AB所对同侧13周角恒利等备注I点P与点C需在线段AB同例固定畿段AB所对同侧动角/P=NC则A、B、C.P四点共IHSl【点2】中旋转最值问Je条件：雄段AB绕点0旋转,周，点M是线段AB上的一动点，点C是定点(1)求CM最小值与最大值(2)求线段AB扫过的面积(3)求S&a*最大值与最小依作法，
2、如图建立三个同心期.作OM，AB.B.A、M运动路径分别为大即、中即、小圆0结论ICMI小，CMI最大M段AB扫过面积为大与小国蛆成的回环面积区画量小值以AB为底，CMl为高；量大值以AB为底，CM?为行才点一:定点定长构造隙国【例1如图.已知AB=AC=4。.CBD=2BDC.ZJAC=44,.则/CA。的度数为解：AB-AC=AD.：.B.C.。在以八为IH心，八。为半径的HI上,ZCD=2ZCD.ZBAC=2ZBDC.；NCBl)=2/BDC，ZBC=44o,：./CAD=2/HAC=.故答案为：88：A变式训练【变式1T】.如图所示，四边形C。中，DCB.BC=I.B=C=D=2.则B
3、D的长为（A.14B.15C.32D.23解：以为圆心.AB长为半径作BU,廷长BA交CM于F.连接DF.：DC/AB,.DF=BC.；,DF=CB=3F=2+2=4,YFB是OA的直径，ZFDB=90s,：，BD-jVbf2-Df2.故选：B.【变式1-2.如图，点A.B的坐标分别为4.8(0,4),C为坐标平面内一点，RC=2.点”为线段AC的中点，连接。W,OM的最大值为.点C的运动轨迹是在半径为2的08上,；点M为线&AC的中点.二OM是ZVlCD的中位段.-OM=yCD.0M益人值时，CDJUAUCfft.此时。、B.C三点共处.此时在RIZi08)MW)=42+42=42CD=2*
4、42.OM的最大伯必H22.故答案为：l+25考点二：定弦定角构建1【例2】.如图.在ZA8C中,BC=2,点A为动点.在点A运动的过程中始终行N8AC=45,则八8C面枳的最大值为.A二解：如图.A8C的外圆。,连接。从OC.：ZBAC=AS.：.N8OC=2NBAC=2X46=90.过点O作OC_1.BC,垂足为D.OB=OC.HD=CD-4-HC=I.2.80C=90，OD1.HC.PD-C=1.2,tf=Vod2+bd2&.8C=2保持不变，二BC边上的南越大，则AABC的面积越大，当面过网心时.设大,此时8C边上的尚为：2+h二八8C的加大而枳及：i2(2+l)-2+l.故答案为：2
5、+.A变式训练【变式2-1.如图.P是矩形48C。内一点.A8=4.AD=2.AP_1.8P,则当线段OP最短时.CP解：以A8为直径作半阴。,连接。与半圆O交于点P,当点Ptjp小合时，。尸破短,V4D=2.ZftAD=90j.OD-22.ZADOZODZODC-=45.,.DP,-ODOP-2-2.过夕作。_1.C。干点则PE=DE=华DP=2-2.ACE=CDDE=2*2.:a=PzE2J3-l.二。的戢小值为VE-1.【变式3-2.如图，正方形A8C。的边长为2,点是SC边上的一动点，点F是CD上一点,II.CE=DF.八八OE相交于点O.BO=BA,则OC的值为；四边形AMT）是正方
6、形.,.ADDC.ZADkZECDZBC-tK)：DF=CE.,.DFDCE.ZDAF=NEDC,.mC+AW=90,二/。AF+A)=90,Z40D=90.二四边形A8)对角互补.、B.E,。四点共即，取AE的中点K连接8K、OK,作W18FM.则KB=AK=KE=OK.：RA=RO.：./BAO=/B(M=NAEB=ZDEC.：AH=DC.NABE=ZDCe.ZA1.BZDEC.BEDCE.BE=EC=I.：.DF=EC=FC=，；,DE=TF+22=V，.DFODEC.OD_OF_DFDCECDE.OD_OF_121五-.OF=坐,33VDOOF=-/)/(ZW.22,0M-.Owf=0
7、F2-0N2ycw-,+4在Rt(VfCl,-oh2m2=-io.故答案为实战演练1 .如图，在平面直角坐标系中，点A、8的坐标分别为(-3,0)、(0.4),以点4为圆心，以AB长为半解：，：点A、B的坐标分别为ZP+ZFWC-90.：ZPBC=ZPB.；.Nn8+NPBA=9(,.ZAPB=90i.点。在以AS为直径的腿上运动，设用心为O.连接OC交。于H此时PC被小.oc=0B2*BC2=42+62=2行二尸。的最小位为2I-4.故选：C.4 .如图所示，NMoN=A5.RtABCAC8=90,BC=f,.4C=8.当A、8分别在射线OM.ON上滑动时.PC的最大值为()A.I22B.1
8、4C.16D.I42解:如图,在R(Z8C中，由勾股定FW-2+82=104A8的下方作等腰直角ZXA08.NA08=3)作8”,0C于.：.点O在以点Q为上心，QB为半径的网上，；NAQ8+NACS=180,二点A、G8、Q共圆，.8CQ=8A0=45.：.BH=CH=3如,6RlZiBQ”中.内勾式定状的QH=八历，C=2.当点CQ、。共战时，OCAi大，.C,的奴大侪为（城+CQ5匹用122.故选:A.5 .如图.已知A8=AC=A）.NCBD=2NBDC.ABAC-AAo.则NC4/）的度数为解：AB=AC=AD,：.B.C,。在以A为隔心，A8为平径的厕上./CAD=2CRD.ZR4
9、C=2ZBX.VZCBD=2BDC.8AC=44.NCA。=2N/MC-88.故答案为：88-.6 .如图示.A.8两点的坐标分别为（-2,0）.F=FB=FC=-.设C(0.”，222则2+-m)2-.故答案为(0,6或(0,-6).7 .如图,RA=90.ZPfi=90./在以A8为口径的圆周上（P在ZUC8内部）.连接。C,交。于凡此时CP的的M小.如图，8=6.0fl-3.VC=4.由勾股定理得：OC=S,CP=5-3=2,故答案为：2.8.在八8C中，A8=4,NC=45,则&AC+BC的最大使为解：过点B作/W1.AC于点D,VZC=45c,BCD为等腰直角角形，：.BD=CD.设
10、BD=CD=a,延长AC至点八使得CF=小VlanZ4FB=y-=i,年的外接嵋0”.过点。和QEABJ,E.则IB=2./AOE=/AFIi./W二,i.urnNAOE=,2,.OE=A，OA=22+42=2，.2ACfiC=2(AC-y-C=2(AC+Cf)=2AF2(OA+。广),2ACCffjlf117245=410.故答案为：410.9.如图，等边八8C中，A8=6,点。、点E分别在8C和AC上，且8C=C,连接A。、8E交于点F,则CF的最小值为.解：如图,YZiAbC是等边三角形，AB=BC=AC.ZABC=ZBAc=ZCE=60,JBD=CE,：.4D5CE(SAS)N8AD=
11、ZCBE.XVNAFE=NBAD+N8E,：，NAFE=NCBE4NABE=/A8C,.,.ZFE=60.8=I2O,二煎F的运动就选是O为网心,OA为半径的班上运动(NAO8=120,O4=23).连接OC交OOrM当点八与N求合时，CT的值髭小，hM、伯=OC-ON=4炳-昭=昭.故答案为2i10.如图，正方形AHC/)中A8=2,动点E从点八出发向点。运动，同时动点尸从点。出发向点C运动，点从F运动的速度相同.当它们到达各自终点时停止运动,运动过程中线段A速BE相交于点P.则线段OP的最小值为.:动点F,E的速度相同，J.DF=AE.又Y正方形ABa)中,AB=2,AD=AH.在八鹿和)
12、中，AB=ADZbae=Zadf,AE=DF.4BEMF,ZABE=NDAF.VAHE+Z.BEA=lHr.ZMZ)+=90.：./.APB=W.；点在运动中保持乙4户8=90“，二点P的路径是一段以AR为直径的弧.出AB的中点为G,连接CG交瓠干点尸，此时CP的长度以小.AGI.2/lRlBCG,ll7X7=q2+d2=yl2+22VVFG=AG=I,：.DP1.DG-PG=近!即跳段。P的?小俏为我7,放答案为：5-I.解：如图，作。1.8C交BC的延长践广，.取。的中点O,连接。八，OB.VDHIBH.ZDHC=9()i,四边形ZMeH对角互补,A.C.H.。四点共Bh；NDAC=90.
13、CO=OD.：.OA=OD=OC=OH,/.A.C,H.。四点在以。为园心的W1.匕：AC=AD.ZCM-ZAMD=45,.(没有学习四点共网,可以这样证明：过点A作A4UZW于M,过点A作AN1.BHFM证明AAMO经Z4Nc推出AW=AV,推出八平分/M/N即UJ),：ZABC=AS-.ZBAH=90i,IBA=AH.；/8A/CW=90./8Ae-ZHAD.JAC=AD.AR=AH.：.BCHAD.BC=Dll.：，SUCD=AXBCXDH=AX8C2=16,22.8C=4或4（舍弃），故答案为4.12 .已知：在AABC中，A8=AC=6./8=30.E为BC上一点,BE=2EC.DE
14、=DC.AOC=60.则AD的长.解：连接AE.过点A作A，j.8C于，点.在Rt1.；/830.M二A8=3.利用勾股定理可鼎w=mB,根据等腰:角形性MI可知C=8=35,BC=63.：.CE23./.WE=CM-CE=3.在RuMEB,由勾股定理可求AE=2.所以AE=CE,ZCAE=ZACB=W.所以/八8=60”=NADC二四边形AEe对为互补，二点A、D,C、石四点共圆，二/八OE=/ACE=30,所以/COE=/ADC-NAOe=YV.,：DE-DC.：.ZDEC=15.ZED=120h-75=45*.过点A作AMIDEFM点.则4=-,Af=6.在RIAMfD中.NAOM=30
15、.,.a)=2=26.故答案为2%.13 .ra.在正方形A8CO中，八。=6,点是对角城AC上点，连接1.)E过点作/=1.,连接CF交AC于点G,将AEFG沿EFiH折,得到厂,”.连接D”.交EF干点M若=2.则ZiEMN的面解：如图,取。尸的中点K.连接AKEK.连接GW2FF于从；四边形AC。是正方形.AO=A8=6.NM8=90.AB/CD.N)AC=NC48=45.；DE1.EF,.ZDEF=ZDAF=90,；.四边形AFED对向互补.,.A.F,E,。四点共圆,：DK-KF.IKA=KD=KF=KE.,.ZDFE=ZDAE=45,工NEDF=NEFD=45,IDE=EF.VAF
16、=2,AD=6.Dk-22+62=210DE=DF=25.,JAh7CD.FG.AF.1-DGDC3.,.FG=FM=.2.,GM=2FM=5.：.FH=GH=HM=2JEFGM.1.EH:EF-FHJMH/DE.5,电理=Wl=a.DEEN2V4岖.55,:g2,W=q.或号=.22522故答案为卷.14.如图.在正方形A8C/)中，A)=8.点E是对用线AC上一点，连接/)过点E作EFlE/).交AB千点匕连接交AC于点G,将ZkEFG沿口翻折,得到AUM,连接。M,交口,干点M若点F是/18的中点,则FM=,黑=.解：；将“（；沿“翎折.得到：.FG=FM,；四边形A8C。是正方形.：.
17、AB/CD,:&GFSdCGa.DFAFDG3CDY点F是AB的中点.A=-CD.2.幽=IDG2.MD=8,.,.AA=4.二，RAD2+AF2;45.所衿塔3V4C型正方形ABCD的对角缥.CAO=45”.；EF1.DE：.NDEF=W=ZBAD,AZfiAfHZDfF=ISO-.二点A,D,E，F四点共因1，AZDFE=ZDAC=45.：.DE=EF=-DF210.由折心泡，PG=PM,GM1.EF.：DElEF.GW9DE.,.FPG=1AD.PGFGPF_1DBDFeF3.=3.,GM/DE,.MPNDEN.PNPIPG1ENDEDE1.PE=4F=TElV=E=10.(R(Dilj
18、.带M，：-：4.3215.如图，在矩形A8C/）中,AB=f.AD=H,点尸分别是边CQ.BC上的动点，HAFE=901）证明：ABFFCE当。取何值时，ZAEDiAk.1）证明：；四边形AS。是即形,Z=ZC=90u.VZFE=9O1.ZF+ZEFC=90,VZEFC+ZATC=9(),/AFR=ZFEC,：.KABFs502)JUA的中点O,连接O。、OF.：AFE=ZDE=9O(对角互补)，.”、D、E、尸四点共朋，.,./AED=ZAFD.当。与SC相切时,NA上。的值最大.易知8F=C7=4.VBFCE.ABBFFCEC6_4-4EC,EC=.3IDE=DC-CE=SZ-*三1.一
19、33.当。=当时,ZAEi)的值m大.16.如图，将两张等殁直角二.角形纸片CMB和。(力放置在平面直角坐标系中，点。(Q,O),A(0.4).招RtAOCQ绕点顺时针旋转,连接ACHl).宜城AC与8。相交千点。.求证：八P1.8j:若点。为O八的中点，求PQ的朵小值.(1)证明；ZiOABftOCD都是等膻H角:三角形,J.OA=OB.OC=OD.ZAOB=ZCOD=9t.：.ZACKZCOH=C08+/的/)=90,/AOC=ZBOD.在八OC和ABOC中，OA=OBZaoc=Zbod.OC=OD.AOCi2,BOD(SS),ZOAC=NQBd.八8是等腰直角三角杉.，NCA8+NOM=
20、9(rZOC+ZGA+ZAflO=W.ZOfiDZC+ZAO=90,ZPfl=90.：.AP1RP；(2)解：如图,：AP1.HP.二点。在以A8为直径的即E上运动，由点掰歧值可得，当P.Q.E三点共线.且点夕在。的延长线上时,PQm小.018足等腰直焦三角形，0,4),.OAOB=4.A=2A-42-E是AB的中点,Q是OA的中点,：.QEWOB-2.；/：是阳E的半径.pt=Xuy-22：.PQ=PE-QEnM-2.“Q的最小侑为2&2.17.(1)【学习心得】于彤同学在学习完Iffl这一章内容后，感觉到一些几何问题如果添加辅助Ifll,运用国的知识解决，可以使何典变得非常容易.例如：如图
21、I,在AABC中,AB=AC.ZffAC=90,。是八BC外一点，fl.AD=AC.求NbOC的度.若以点八为回心,八8为半径作辅助OA,则点C、。必在CM上,NBAC是CM的圆心角，而NBOC是KI周角，从而可容易得到/8。C=45.(2)【问SS解决】如图2,在四边形A8C/)中，NBAD=NBCD=90,8OC=25,求/BAC的度数.【何跑拓展】如图3.如图./,是正方形A8C/)的边八。上两个动点，满足AE=DF.连接CT交8Q千点G连接BE交AG于点H.若正方形的边氏为2,则税段DH长度的最小但是Gl.:(l)如图I,.B=C.AD=AC.以点A为网心.A8为半径作,A.点从C、。
22、必在OAI-.,/ZBACOA的酸心角.MNBDCIfllMl角./.ZDC=-ZBAC=45.2故答案是：4S：2)如图2,取M的中点0,连接AO、CO.Y/BAD=NBCD=9。”.，点A、8、C、/)共圆，NBDC=ZBAC.YNBDC=2S；ZBC=25.1S).Z1=Z2.在4W)GftCDG.AD=CDZadg=Zcdg.DG=DG4XJ5CZX;(SAS).Z2=Z3.*.ZI=Z3.VZS4W+Z3=ZBAD=90a，ZI+ZAW=9(，Z4H=180-90=90.取AB的中点O.连接OH.OD,则OHAO当8I.2/lRAOD1I1.O)=q2+)2Jl2+22=V根据：角形
23、的三边关系，OHDHOD.，当。、D、HE点共线时，）H的长度及小.AI小俏O-OH=烟I.（解法.：可以理帽为点2在RdA8,A8H役的+四窟卜.右助i。、H./）,.J.DH最小）故答案为：5-1.18.如图，已知拗物炒=M+Zn+6（tt0）的图象与K轴交于点A和点8,与y轴交于点。，点。为地物线的顶点.求他物战的表达式及顶点。的坐标：如图，连接8C,点P是战段8C上方拗粉畿上一动点，若?（；的面枳为12,求点尸的坐标;如图，已知08的半径为2,点Q是08上一个动点，连接AQ,Q.求。Q士AQ的最小值.C(0.6).VA(-2,0)eR(6,O),，设他物线的表达式为y=(.r-60),
24、当X=O时，y=-I2a=6,那得。=-,衲物线的内上式为V-(-6，一-l,r+2r+6.：y-+2v+6=-1(x-2)2+S.22二顶点。的坐标为2,8):(2)til(1)知.C0.6).设Fi战AC的表达式为y=Z+，.将点8、C的坐标代入得6A+=0.(6k+t=0解浦1c=-111=611=6，直线BC的表达式为,y=-.r+6：如图，过点P作/Wy轴交8CF点”，连接?8.PC,设。(.-+2v*6).WjH或(4.6)；(3)如图，取点E(5.5.0.；.BE=O5.；AB=.BQ=2,：.ARz80=4：I.V=().5.80=2.，BQ：BE=4：I.：ZABQ=ZQBE
25、.1.AABQsdQBE：.AQ：QE-HQiHE4：1.即06工0.4J.DQ-AQ=DQQE.4由两点间鼓段最短可知,当点D,Q，E三点共线时，叱QE最小,最小值为DE.:dl=J（5.5-2）2+（0-8）2=-模型分析如图在2XA8C中,八。，8（;于点。,其中N8AC为定角,AO为定值,我们称该模型为定角定高模型.问题：随着点A的运动，探究SC的最小值（AA8C面积的最小值.当N8AC=90时（如图：第一步：作aABC的外接期。O：第二步：连接Qk第一步：由图知AONAO当AO=A/）时.BC取得最小值.当N8ACV90时（如图）：第一步：作AABC的外接圆。：第二步：连接ObOB,
26、OC.过点。作O_1.8C于点：第三步：由图知A0+0E9A当AO+OE=A。时，6C取得最小假.那么N8AC90呢？结论：当人。过人/J（：的外接圆圆心。（即AB=AC时，BC取得最小值，此时AAZiC的面枳最小当N8AC90时,请根据【模型分析】（2）中的做法将下面证明过程补充完整.求证：当A-过A8C的外接ISIB心O(RMB=AG时,BC取得最小值,此时aABC的面积最小.证明：如解图,作ZkAbC的外接圆00.连接0A.08,0C.过点。作041.8C千点.设。的半径为r，NBOE=NB八C=a.D=.：.BCz=2BE-2Olisin=2rsin.sin为定值，.要使8C班小，只衢
27、自主探究：我们知道了当AO过AAHC的外接即回心。(即AH=AC时，AAHC的面积取得最小伯,模型分析：证明：如图1.图1作八8C的外接即。连接OA，OB.11OE-1.flCF.设0O的半径为r,AD=h.J.BC=2BE=2CE,VBC-BC.N8OC=2NBC=2a,：OB=OC,：.N8()E=3N8OC;a.2/.OE=()Bcos,a=rcos.V0A+2三AD./H-r*csa.、h.r-.l+co三a：HE=Hsin=rsin.C-2E2rsna.当r取小时,BeG小.”=小时,8C-=10嘈l+cosr.EiI-Sin万a1-sinyQ2h*cosya1-sinQ.八8C的周
28、KG小例为:I-Sinya20.如图,抛物城y=ar2+x+c与K轴交于八，8两点(点8在点A左侧，与y轴交于点。出线)=履+)经过点A.C.且OA=2OC=4.求柚物线的解析式：(2)点E为八C上方加勒线上一动点，过点作-)轴交AC于点人求线段E尸的公大假：在(2)的结论卜，若点G是K轴上一点，当NCGF的度数G大时,求点G的坐标.：.A4,0).C(0.2),将A(4.0).C,=2,(16a+6+c=0解得卜二ic=22)将点A.C(0,2)代入y=心+也.fb=24k+b=2.1.,.E=-当，=2时,EF的最大值为2,设5+2).W.f.22-(1-2)2+2.,.MC=MF=r.,.X2+(r-22=J,(2-,)2+(I-r)2=r2,x=4-10.G4-10.0).
