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1、第4章向量代数与空间解析几何习题解答习H4.1一、计算与证明JB1 .f1.f=.|方F4,c=5.并且。+8+c=0.ffab+bc+cn.解：因为Ia1.=I,I力=4.c=5,并且+8+c=0所以。与同向,且+Z与C反向因此“8=0frc=Ocw=O所以8+力c+c0=O2 .b=3.IaXb1.=4.求IaHN帕fe=cos=3(1)=-su9=4?+2得M.附=25所以4W=53 .设力厂=-2i+3j+5&作用在点43,6,1),求力F对点8(J,7,-2)的力矩的大小.裤：因为A(3,6,1),凤1,7,-2)所以布=(一2.1-3)力矩M=BF=(-2z+j-3)(-27+3+
2、5k)所以力矩的大小为4 .向量X与“(,52)共线.且满足/1=3.求向量X的坐标.解：设X的坐标为(x.y.z),又a=(1.5-2)那么“x=x+5),-2z=3(1)又X与共线,那么XXa=O即所以J(一Iy-5二+(z+2x)2+(5X-=OUP29x2+52+26x2+2(),yz+4x-I0=O(2)又X与“共线，X与。夹角为O或”整理得x2+y2+2=(3)联立(1人(2*3)解出向量X的坐标为(45 .用向用方法证明,假设一个四边形的对角线互相分，加么该四边形为平行四边形.证明：如下图,因为平行四边形ABCD的对角线互相平分.那么有由矢地合成的三角形法那么有BA=BM+MA所
3、以84=CQ即8A平行且等于CD四边形八8C。星平行四边形6 .点4(3,8,7),倒-1,2,-3)求线段A5的中垂面的方程.解:因为A(387).8(-12-3)八8中垂面I.的点到A、A的即肉相等,设动点坐标为M(,y,z),那么由Md=IA:得化简得2刀+3)，+5一27=0这就是找段AS的中垂面的方程.7 .向fit.b.C具有相同的校.H.两两所成的角相等.假设力的坐标分别为(1.1.0)和(0.1.1).求向收C的坐标.解：H=IM=M=r且它们两两所成的角相等,设为那么有-=I0+II+0I=I那么COS0=舒=!MpI产设向量C的坐标为(.),z)那么“c=Ix+1)+0z=
4、x+y=cos5=rr-=1.(I)?c=O-X+1-y+1z=y+z=|rcos9=rr-y=1(2)所以/+)/+整=2(3)_联立、(2),(3)求出,r=1.)，=0或343_3所以向SU的坐标为(IOI)或(-gq.-g)8 .点A(3,6J),(2,-4,1.).C(O-2,3),ZX-2.O-3).9 1)求以AH.4C.人。为邻边组成的平行六面体的体积.(2) 求:极锥A-3CD的体积.(3)求A88的面枳.,-I0z+10)3,原点到平面”的距离为120,且在三个坐标轴上的截距之比为-2:6:5,求的方程.解：设微距的比例系数为那么该平面的椽拒式方程为化成-般式为一15+5.
5、y+6-30Jt=0又因点O(OoO)到平面a的距璃为120,加么有求出A=4所以，所求平面方程为一158+5丁+62120、琢=04.假设点4(2.0.-1)在平面上的投影为5(-2.5.1),求平面的方程.解：依魄意，设平面的法矢为=(4,一5,2)代入平面的点法式方程为整理得所求平面方程为4a-5v-2z+35=05 .两平面：F+7.y-6z-24=0与平面万：2x-3+11z-19=0相互垂直，求，的值.解：两平面的法矢分别为%=(m,-1.,-6),n,=(2-3m,1.1.),由J%，得,.66求出加=196 .四点A(0.0。),5(.2-53).C(Oj1.2).Df2.0.
6、7),求三棱锥D-ABC中ABC面上的高.解：四点4(0.0.0)B(2-53),C(0A-20(2。.7).那么由方，丽I.灰I为邻边构成的平行六面体的体根为由立体几何可知，-：梭椎D-A4C的体枳为设。到平面ABC的高为那么有%W=SM8C所以H=型(WSA40C又丽=(23)元=(OJ1.2)所以，SmaC=I,左同=：血-2=；阿a11-xT282869因此，H=-=-7=J.质696927 .点儿在2釉上H.到平面a:4.r-2)，-7z+1.4=0的距离为7.求点A的坐标.解；A在Z轴上，放设人的坐标为(OQ,2),由点到平面的距离公式，得所以-7z+14=69那么z=2病那么A点
7、的坐标为a(o.O,2阿8 .点.A在Z轴上且到点8(0,-2,1)与到平面。：6*-2.丫+32=9的距离相等，求点A的坐标.解：4在Z轴上，故设A的坐标为(0,0,0，由两点的距高公式和点到平面的苑高公式得O1(-2)2(1.-z)2=佐-9|v+(-2)2+3-化简得40-74z+229=O因为(-74f-4x40x229=-3I1.Nf-Ax-15=0由直线方程得22-6=0-z-5=06 .平面x+y+z+1.=O上的直线/通过直线4J；+：；,。与此平面的交点且与乙垂乩求/的方程.解：依遨意./与人的交点在平面上设通过交点的平面方程为BP(I+fi)x+(1.+)y+(1.+2)z
8、+1+2=0(1)+2z=0一的一组方向数为y+z+1=0所以莺苦苦由直战与平面睢出得上W=U=1.+2+2f2I1,_2所以广=2+24Jr-j=2+24+434=-g.=-g代入(1)得gx+；)_gz+g=0化简得2r+y-z+1.=0故所求直线方程为.v+,+z+1.=02x+y-z+1=07 .求过点（-3,25）且与两平面x一4z=3和3x-），+Z=I平行宜跳方程.解：与两平面平行的巴线与这两个平面的交设平行，那么口跳的方向矢垂直于这两平面法矢所确定的平面，即白战的方向矢为招点代入直线的标准方程得s.中:三”沌即土税仆面1/：一、27.1.1.uIThtv-150.314求该平面
9、的方程.解：设求作的平面为Ar+By+Cz+0=0宜城五=2二二=三在该平面上，那么有点(一520)在平面上，且H戏的方向矢v=(3.1.4)与平314面的法矢=(4及C)垂宜所以一5A+23+。=。(2)3A+4C=0(3)又平面与平面x+y-z+11=0垂直.那么它们的法矢垂直所以A+4C=O(4)联立(2M3M4)得4Q-代入(I)式消去。井化荷褥求作的平面方程为习4.4一计算J1与证明题I.-动点P到定点A(-4,0,0)的距面是它到8(2,0,0)的距离的两倍.求该动点的轨迹方程.好：设动点P的坐标为P(X,筋2),依遨意，褥化简得.1+),2+z-8x=02 .椭阚跄物面的顶点在原
10、点Xoy面和XOZ面是它的两个对称面,且过点(6.1.2)与求该椭圆如物面的方程.解：顶点在版点，q面和面是它的对称面的椭圆微物浅方程为代入点(6,1,2),4,-b2=6:联立求出y*2*10r代入Nkh后化简得求作的解Q施面方程为3 .求顶点为O(Oo.0).轴与平面+y+z=O垂直.且经过点(3.2.1)的阚堆面的方程.解：设轨迹上任一点的坐标为尸(,F，Z).依理意，核圆锥面的轴线与平面x+.y+2=0垂直，那么轴线的方向失为V=(1.1.1)，又点O(OOQ)与点(3,2,1)在锥面上过这两点的线的方向矢为1.t=(3,2,1.).点0(0,0,0)与点Hx,AZ)的方向矢为八二(x
11、,y,2)那么有4与1，的夹角和与V的夹角相等，即化简得所求的即锥面方程为4 .平面过2轴,且与球面F+.V2+Z2-6-8y+IO二+41=O相交得到一个半径为2的圆,求该平面的方程.解：过Z轴的平面为Aa+By=O球面方程化为(X-3)2+(y-4)1+z-(-5)2=9rf=32-22=、疗,如题三.4图所示由点到平面的距离公式为元二次方友示俅心坐标为O(3,4,-5)到版面阅的圆心的愚漓为好关于A的化简得4A2+24BA+1.2=O-24B(24)1-4411A=24求出AI=-！H.A,=-B分别代入(1)式得一：8x+y=O.-.v+By=O消去B得所求平面方程为X=2.y或X=A
12、y5 .求以2轴为母线,直线F=H为中心轴的啖柱面的方程.Iy=I解:如习题三.5所示.阴柱面在oy平面上投影的阅心坐标为(1,1),半径为2.所以求作的13柱面方程为(工一if+(y-I)2=26.求以二轴为母线.经过点A(.422)以及8(6.-3.7)的网柱面的方程解:设以2轴为母线的柱面方程为(x-)+6-ft)1=a2(1)因为点A(,422).B(G-XJ)在柱面上.那么行(4-)2+(2-)2=R2(2)(6-)2+(-3-)2=R(3)那么(a-0f+(,-0)2=W(4)955”5联立(2).(3).(4)求出=,Z=-./?=8464代入(I)式得所求的柱面方程为7.根据4
13、的不同取饯，说明(9-幻+GY),/+(1-4炉=I我示的各是什么图形.解:方程(9-*+(4-女拄2+(1-2=1(1)A9时，(D式不成立.不表示任何图形;4&9时,1式变为与-9-0=1,表示双叶双曲线；1Av4时N1.)式变为+j-亍=1,表示单叶双曲战；222A=16z=36震习四一、计算与证明J1.1 .II=2.I=7,I(?I=5,并I1.a+8+c=0.计算46+Ac+c0.解：|“|=2.IbI=7.c=5.且+b+c=O那么与C同向，“、C均与。反向.所以ab+bc+ca=O2 .设力尸=T+3-24作用在厚点点，求力广对点8(-201)的力矩的大小.解:原点坐标。(0.
14、0,0).那么OQ=(-ZZ1.)=-2J+2j+kxF=-i+3j-2k.对H的力矩为力矩的大小为M=(-3)2+(-5)2+(-6)2=回3 .点(0.1.4).(-Z3.0)求线段Afi的中垂面的方程.解：点八(Oj.4).仇-2,3,0),设A6的中垂面上任一点的坐标为M(X,y,z),由两点间的距寓公式得(A-0)2+(y-i)2+(z-4)2=(.v+2)2+(y-1.)2+(z-0)2化简得工一.丫+221=04 .平面“与三个坐标轴的交点分别为A.8.C且。-AAe的体枳为80.又a在三个坐标轴上的故用之比为4:-5:-3,求a的方程.解：设在三个坐标轴上的钱距之比为a:：c=
15、4:(-5):(-3)=A，加么平面”与三个坐标轴的交点为A(4A.0.0),B0-5k.0C(0.03灯所以.k-=8=2因此，a=4k=8,8=-5k=-10,C=-3=-6平面的方程为H+二二+_=18-10-65 .两平面a:-2x+zo-+1.1.=()与平面/?WyT=I相互垂直.求M的优解；平面a:-2x+zy-+11=O,nt=(-2,w,.-1.)与口垂直，那么Ij.叫，所以/%=0即一2/-加一1=O所以?=J36.2取何值时直线x-2y+z-1.=0v+2y+3z+1.=O与X轴相交?解：直线，-与X轴相交，那么交点坐标为(x,0,0),代入直战方程为r+2y+3z+1.
16、=O.V-I=O(I)Zv+1=0(1)+(2)ft(1.+)1.r=O,而原点O(OOo)不在直线上.故XW0.所以1+2=0/=-1)()H1Q,二，/，三,y=60fv0是)也平面与y=6的k0线，在Z平面上，与Z轴的距离为6且平行与2轴rtM，x+8y2-10.q直战/,=，过点*002(-8.0.0).方向矢为y=(0.0.2)也平行于Z轴，所面的母线平行于Z轴，且准规在*，y平面内，点(0.0,0).(0,6.0),(-8,0,0)均在该准城上，所以准线标为(-430),半径为J(-4)2+3?=5故圈柱面的方程为(060)8.球面面的方程为/+/+2-6-8y+1.z-41.=0.求的与Z轴垂H相交的H径所在直线的方程.解：求面的方程为/+)J+Z?-6x-8)，+102-41=0化为(X-3+(y-4)2+(z+5)2-91=0所以球心坐标为O(3.4.-5)所求II径与Z粕乖乩那么垂足坐标为A(Oa-3),JE么该直径所在直,线的方向矢为V=(3-0,4-0-5-(-5)=(3,4,0).把点4(0,(),-3)与v代入宜线的准规方程将所求直线方程为Xyz+5-=-=340
