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1、2016年7月9日数学周测试卷一、解答题供25小愚;共326分）1.如图,正方体COTi/CQ的梭长为2.I）在图中找出平面.。,平面WM1.,平面的山的个法向量：2）以点D为坐标原点建立空间宜用坐标系，求HI（I）中三个法向球的坐标.2 .如图,在正方体ABCD-A1H1C1Dx中.求80与平面A1C1D所成角的余弦傀和4所分别为3 .设迫分别是两条异面区线%”的方向向量,乩g电力）=-2.求异面在线。成的角.,如图，立三核柱A8IC，皿C=90C=/.AA=1.点M、NA，,i和8的中点.（锥体体枳公式”=A,其中S为底面面枳J为而(I)证明:MN1.1.平面4ACC；2）求三极银川-MN
2、。的体积.5.三核钺P-八BC中假面C与底面垂直P4=PU=PC=3（I）求证：4BiBq设BBC=2yp）RAC与平面W所成他的大小.6如MM和ASCO所在平面互相叱分别为七。的中点.J1.AB=BC=BD=2,ABC=DBC=120a1）求证:EFIBq（2）求二面角4-C的正弦值72图,四边形ABCD为正方形Q/11平面48CwOIQAQ=AB=加1）证明：PQj平面0CQ：（2）来楂锥如图.在DEH3现将qrcd的体积与枝锥尸一。”的体积比面ABC中?=90o4C=TDE沿以.折成直二面角.求,两点分别在bc,ft4。_/IEOTsr,=2（I）舁面蜕税力。与UC的距离.Q）二面JB的
3、大火用反三碗数表示）的中点.9.加图,直三梭柱48C-4/G中DE分别足AByB1.证明：S平面as2）设IO.如图.i=8=2亚求三梭徘q的体积正四梭V的所限长均为2.EF,G分别为梭ABA呼的中点(1)求证平面G井求出口”到平面MG的距离：(2)求点C到平面EFG的正胤I1.已知过球面上三点4F的被而到球心的距离等于球半径的一半,且AC=BC=48=4计0球的表面积与体枳.12 .如图.三枝柱4北一4/6中.点为在平面ABC内的射形D在c.4c=908C=1八C=CQ=2(1)证明:“CIMB；设直线。平面.,向的距离为W求二而M1.AHY的大小.13 .如图，四梭锥P-48C的底面88是
4、平行四边形，防=8。=/10=2,pa=PD=5时分别是校dpc的中点.证明：EFi1.平面P伍2)若二面角I0-8为60:证明：平面P8C1平面ZUCq求真规EF与平面PBC所成角的正弦值.AH1.ACAH=I14 .如图，在四枝柱ABCD-AxH1C1D1中，健犊AJ1底而AEG),C=必=2,AD=CD=M用向量法解决下列向现(1)若4C的中点为2求4与Wf所成的角：(2)求二面向H1.，-】(锐用)的余弦值.15 .已知在四枝惟PTUCD中.成而SC。是矩形且/ID=2ff=1.PA1.BCDEF分别是线段Z1.B严的中点.(1)证明：(2)在跷段PA上是否存在点G使得EGI1.平面P
5、FO?若存在,倘定点G的位置;若不存在,说明理由.(3)若PU与平面SC。所成的角为45.求二面M-Po-F的余弦依.16 .如图，直三极柱ABI1.B向中，心忆为B,D为则的中点卢为佃上的(I)证明：E为弁面直线“与Co的公垂跳：(2)设异面直线”“马8的央角为45,求二面角4一：的大小己知在四极锥P-ABCD中,ADBC,AD1.CDPPD=AD=2BC=2CDEF分别为(I)求证：4。J平面P8E；(2)求西.平面8吗he1平面BCDE（如图2）.RCDEAH=AEDR=DE1.BAE=1.BDE=90(1)求弁面身践与。“所成用的大小:(2)求二面角B-AEY的余弦值.答案第T分1.(
6、1)由正方体可得叫1平面ABC,B1平面WD,平面48C的一个法向盘为).平面、”小4的一个法向fit为AB.连接仪ICI叫人Q叫MCi平面叫%5面8叫比的一个法向量为(2)如图.II建立空间宜知坐标系Dryz,可得小(Oa2)J(2O),8(2Z0),C(0,2.0)DDI=(0,0,2)4ff=(0,2,0)tAC=(-2.2.0)2.以B/D/%为X轴)轴,z轴建立空间口角坐标系.设正方体的极长为1.则4(Wu),W),0(0,1,0)设平面AiCW的法向僦为h=(x,y力厕；1.1.C1.OrAW=。解得n=(-1,1,1),M=(TJQ)所以30与平面AG所成角cs=再R=.所以8。
7、与平面ACW所成用的余弦值是上因为cos(幼=-；(阖0川所以所以1和2所成的角为34. (I)证法一:连接A夕，AC，由己知Z_/MC=90。，/18=IC1.ARC-AHC为百三枝柱.所以M为AB中点又因为N为*C的中点，所以MN1.41.又AfNC平面AACCACU平面AACC因此MN1.平面八ACC.证法二：取48中点P,连接MPNP因为Wv分别为W与夕C的中点.所以MPI4小PNIC1所以Mp1.平面44。?可|平面上ACCyMP11NP=P因此平面A1.pNI平面4ACC,而MNU平面MPN因此MN1.平面*T1.C1.(2)解法一：连接8N.如图，所以*N工平面NBCVAf-MN
8、C=vN-AtMC1=产,4,BC11=/上-NBC=g解法二vAr-.W.VC=vA-NBCvM-NBC11二-NBC=台5. (I)如图.取ac中点.连接PaH.,PA=PC.PO1AC又Tft1.Qy1.C1底面bc,p01.底面4叫又P=PBPC.OBOCO.ZU8C为巨角三角形.-MH1.ffC(2)如图,取BC的中点U连接OM,PM则有OM=B=y3t0（2树+（2、B）Z=业PO=P1.-AOi=C由有P01平面丽C.OM1BCt再结合PB=Pc,Ur知PM1BC.二平而PoM1.平面PBQ又TP。=OM=3P（）M是等腰直角三角形.取M的中点N.连接OMNC则ON1PM.又平面
9、pom1平面P8C,且交战是PM二ON1.平面PBC1.0cn即为71C与平面P8C所成的角.1 1而ON=M=1=3二sin,CN=研=1:4CN=U11故AC与平面PBC所成的角为6.（I）法一：如图,过E作叩1.8C.垂足为。连OFJ1ABcEDHC1.1.ji1.fr1EoCmFOC所以4E0C=OC=；即FO1.M又Eo1.叱因此BC1.ffijfcT0,又EFU面叮。,所以EF1.BC.法二：由咫意.以B为坐标原点,在平内过B作垂直HC的直线为X拈，8C所在宜线为y轴在平面48内过B作垂R8C的自城为z轴，建立如图所示的空间EI角坐标系.易褥w(o.o,o),(o.-,v),D-,
10、o),c(o,2,o).因而。媚阳。)所以“=(，,0闻玩=(020),因此%*8C=0,从而%/J.BC所以EF1BC2)法一：在图中.过作。1,垂足为G,连EG,由平面/WC1.平面8。C从而EO1.,平面BDC,所以E。1又OG1所以1平面EOGmEG1.BF.因此AEGO为二而角E-BF-C的平面角：在EOC中,可得1 13EO=产=/Ccos30=由HGO4BFC.知BOWOG=阮FC=因此EOUmzEGO=7ff7r=2,Uu从而25SinzEGO=22即二面用E-8卜一C的正弦值为F.法二：在图中.平而C的一个法向Gt为n=(D,设平面BEF的法向史叼=(叩/),又亦=卜0)赢=
11、；)由t2j,=o,2BH=O.得其中一个112=(1-v.1.).设二面角E-BF-C的大小为H.由题意知“为锐血则即二而用E-SF-C的正弦值为丁.7. (1)由条件如PDAQ为宜角梯形.Q4J.平面ABCD,.,.平面P04Qj平面文发为又四边形ABCD为正方舷DCI/10,DC1.平面皿QUj得PQ1DC在口角梯形PD仅中Ur得DQ=PQ=PD.则PQIQD所以PQ1.平面DCQ(2)设8=由即设知做为梭锥Q-/18CD的高，所以梭锥QVBCO的体积由知PQ为枕椎P-DCQ的高而PQ=V2ADCQ的面积为X:所以梭推PfCQ的体积故核推QTBCD的体枳与棱椎P-DCQ的体积比值为1.8
12、. (I)如图I中.ADAE因为耽F所以MIHC又因为B=90.从而Mi吃因A-DE-B是宜二面角1DE,故D1.DBCED1.DB而DB1.BCt故为异面直线4与m7的公垂绒下而求DB之长.在图1中,由ADAEDB=EC=2,得DEAD2近=丽=3又已知E=3,从而3因加一N故DH=2.即界面直线40与DC的距离为2-32-32联立、,M得3648Xo=-25,y=25,即364825,250)得因为MEM-篝（-2）+1故AhCE,又因ICE所以WA为所求的二而角A-EjB的平面角.JI版有同=周忑T#.jX所以Uo1.5tanz4FD三=*.!dftS因此所求二面为4-EC-8的大小为S
13、.旌接A(：1.交z1.,cF可得Iie1.又ODu1.ftAmHGa而4C/)所以/“；1I平面W.(2)宜极柱ABC一41B1.C1.1面所以A%1CD又AB1CDAiAH=所以(：，)1而AIP,CD=V,底面为后的面积为所以三梭锥W可以把面*作为底面，离就是Wj=所以三极雄JQ的体枳为*z*；=1.10(1)因为ff分别为梭84的中点所以EF1.8,又KFC平面EFGRDC面EFG所以8I平面EFG如图建立空间直角坐标系.m(2,0,0)t8(0,/,0)D(O1.0,0)S(。，。，,H制阴刊U。回设平面EFG的法向量为11=(x.),)=(ONQ产=Yo用可得m=(i,o,1.)f
14、tf1.m1.d=rr=2所以点8到平而EFG的即离为w.1即直线80到平面EFG的距离为2.=(-o)(2)因为丁？BCI平而GCBCU故平面MW平面HCC作AE1.CC1.8为垂足,则为h平面BCC1.By又亘线佃1平而雨G”.因而A为宜线S与平面师M的距离俨=3因为“为CCt的角平分线故4=A1.E=P作DFIA纥产为索足,连接At例题可知21面”所以为1AH.因此可知48i面为”因此X|F1b,故0户。为二面角A1.THY的平面角.由ADyAi-iD11.r得为4C的中点.所以iDIanzz1.1FD=YT5,所以二面MITBY的大小为arctan、13. 1)如图.取PB中点M.连接
15、fm,因为F为PC中点,所以m为pm中位线.所以FMIBC1.AE=BC=AE所以四边形EFMA为平行四边形,即M.因为EFB平面因比U平面P/I8所以EF1.平面P8.(2)连接PEtBEEB为二而角的平因为PA=PD,BA=BD,而H为AD中点.故PEIAD严1.AD.所以而角.在APin中由AD=2,P=PD=5,可解得PE=2.48。中，由B=BD,Ur解得BE=I.在三角形P中，PE=I8E=1.B=60由余弦定理可解得PB=3,从而“BE=90.gp8E1.P8,又8CIA。.BE1.AD从而BE1.BC,因此BE1.乂HU平面4BC2所以平面PBCI平面4HCD：连接BF,由知8
16、口平面一所以为直戌EF与平面P8C所成的用由PB=31P1=EAB=、2,得乙WP为直角,而Irt3MB=PB=./TTJTT可M二r故仃=丁又8E=1.故在RtAE中.可超BE2.TsinzEF0=群=所以.直线“与平面PM所成体的正非值为F-14. （I）由AO=CD.A。的中点为E所以DEi4Q如图,以A为原点建立空间宜角坐标系,依通之可得/1(0,0.0),ff(1.,0,0)A1.(0,0,2)C(0,2,0)r0(-2,1,0),W1.(1,0,2)D1.(-2,1.,2)E(M,0)41C=(0,2-2)DE=(2,0.0)因为4C.DE(0,2,-2)(2,0,0)=0+0+0
17、=0所以A1.CI叫即与所成的用为(2)设平面与平面V所成的角为”.平面平面MC的法向量为n=(x2*,1.).B=(-1.,0,-2)DxA=(2,-1,-2)AC=(0,2.0)如的法向量为fn=（勺刈1）,m=0-x1-2=0.IX1=-Z由ImYC=。，褥I2力=。.解得y=0,所以m=(-2,0,1.),同理可科n=(1,0,1).mn-Z1cos=设的夹角为0f,则IEMC所以二面珀BI-AC-DI（锐用）的余弦伯为JVOF.m.COSo=-COSa=r,由图知t.FT1.T15.（1）/1平面/|80），4840=9048=1.40=2建立如图所示的空间宜角坐标系-xyz,t则t
18、(0,0,0),ff(1.,O,O)tF(1,1,O)1D(0,2,0)不妨令P(O明,VPF=(1.,1.,-t)fW=(1.,-1.,O)t.PFDF=1X1+1X(-1)+(-t)XO=O即PFIFO(2)如图所示.设平面的法向量为k=(x),由“=得X+y-1.x=OrIx-y0.令z=,得x=y=；,所以n=GR.设G点坐标为(0Om)(0mq)jCQ则”=(一；词要使EGI平面PFD只需EGR=O,即(一JX2+XZ+IXm=吟=0得1m=-e,从而满足G的点G即为所求.(3) 48J平面PZIqM是平面PyIo的法向也易得AH=(I,O1O)1又VPZ1平面ABCD,BA是PB与
19、平面AUG所成的角，得“84=45,P1.=1.,平面PFD的法向瘠为,n=C41)VZt,所以frABn2J5卢因为所求二面用为锐用.故所求二面角-PD-b的余弦值为右.16.法一:如图，连接&B,记m与的交点为F.因为面相道出为正方形.故41H1!H,hX=FH1又AE=3E/所以FE=E81,又D为孙的中点.故DEIBFtDE1ABi作CG1.A8.G为垂足，由C=知.G为AB中点乂由底面连接呼由1“DEAHC1面44A1.HCG1而AA1.H1.A，nrXJDGQABiitiDE1.DG,易得DEIe为异面直线位与C的公垂线.法二:以U为坐标原点，射战4为X箱正半箱，射战8小为y轴正半
20、箱,建立如图所示的空间直角坐标系JyZ.设48=2,则(2.0.0),H1(0,2.0),D(0,1,0)(.o)又设C1,o,g,则加=CJo厢=(2-2,0)JC=(1.-1.,c).于是bfj8/=Op1.DC1=0,故bPI1.IA,加Ib6所以E为异面HWI与的公垂缥(2)解法一:因为OG1.故OG为异面直然佃与CO的夹角,CDG=45设“8=2,则AHi=2、ZDG=,CG=WrAC=0.如图,作咿IAICI为垂足因为底面WrIftMGC故“1而八年巴又作Kg.为垂足.连接“,易得B1.K1.SM此为二而向1.1.%的平面向.又BiH= 5件。叼2,23= yi.f.=Vwc=府曰
21、W=RG=甘+(6=WKA1.、J、AA/C123= =可B1HE所以1.anK=OTr=产所以二而角4-1.%的大小为arc1.an11解法二因为等于异面直线他与C。的夹角,故B1.A加=|斫A1.dcos45,即22*+2X学=4,解解c=故%。=(.又=B=(0,2,0),所以八CI=IC+/M；=(-1Z2).设平面4C1.的法向量为=(xyz),则mACi=0,mAAi=0,即-X+2y+FZ=0,2y=0.令X=M则z=1.,y=0故m=(Z,0,1.)设平面”/G的法向情为=3的),则nAC1.=0,n8/=0,即-p+2q+vd.从而1,必。八部与匈48互余，因此z1.18三j
22、1.DA,所以R1.aApWSmA/44因此AA48AD=AAC犯=D1.Bi8.从而A1D=1.1.Xf+AD1H2、3.BID-AiD=2(3,所以在为M中.由余弦定现得CoS从叫=.，4D瓦D-A1D2+B1D2-A1B119.(1)如图1.在等腰梯形48CO中.|产|/1。80=24=2幺=60。为人。中点,.所以ABE为等边三角形.如图2,因为为BE的中点，所以A1.OIBE又因为平面为8，平面HCOE.且平面AMF平而BCOE=SE.所以WI平面8CDE,所以AxO1.CE(2)连接由已知得C8=CE又为BE的中点，所以OeBE出(1)颊。，平面BCDE由IJAoIHEW10。f,
23、所以*qc两两垂直,以“为原点.B.C.为分别为XJ./轴建立空间过角坐标系(如图因为8C=2易知00C=y3所以4(0,03).8(100).C(03,0)E(TOO).所以，也=(Ui-网JIC=(。,眄-丫3)AE=(-1,0,3)设平面4Of的一个法向最为11=(x).y-=0.+8z=0,JnAC=0,In4E=0,由取/=1得n=（一3jj）IStfttft4与平面AIGf所成用为,则SinO=ICOS凡n）=|y/3_所以在找4B与平面A。”所成用的正弦位为手.(3)假设在侧梭4。上存在点使得8川1设4。=痴/4e10,1J因为BP1=iBAi+A1P=BAi+讥C所以BP=(一
24、1，。7国+M。,、3,-、团=(-1,3八13-、02)易证四边形BCDE为菱形且CE1BD又由问题可知4。1CT所以CEi平而为叫所以ZE=(-i-v3.o)为平面40尸的个法向“由B*CE=(1.qBZ3、8.(1,、3,o)=-3=0褥，=u(，1)iFI所以侧技仅上存在点0,使得3/平面为”且不F20.(I)在图I中，取BE的中点,连接F.因为6E8=CAF4=1:2,所以=/1。=2而U=60所以4是正三角形,乂Ah=DE=I所以EF1AD在图)中4*IE/*BEJ1.EF所以为二面角Ai-EF-B的平面角由鹿设条件如此二面角为立二面角,所以A1.EIBE乂BECEF=E,所以At
25、EI平面HEF即A1.Ej.平面8EP(2)建立分别以ed.fc7?4*为*轴，轴，z轴的空间直角坐标飘则仅0,0,0)4(0,0,1)H(2,0,0)F(0,v,0)P(1.,3.0)hij4tE=(0.0-1)4=(2,0,-1)加=(-10,0)设平面A18。的法向班M=(M，yJi).I2x1.-x1.=0,由In1.1平面ABP知J1.Affn1.1叫即IT1.+口乃=。，令M=B,得Ni=1.Z=23,%=(、81,2、3)s30+10+2vAACD=7所以而八O=3,SaOcd=,6pc.ch=AO所以所以点到平面4C0解法二：的距国为丁,设平面acd的法向收为m=(,ya),z
26、m=(0.1a/3)1.DC=(v,1.,)h也拿:M).m-OAr国加1于所以GF=)8GrAB因为OC=)8CDgab所以CDI1.GFCD=GF所以四边形CFGD是平行四边形，所以CFIGD因为1平面BEq所以481CF因为CF1.BY8n8E=8所以CFI平面/I8E因为CG,所以DGi平面48E.因为DG-ADE,所以平面48E1.平面/IDE证法2:如图，可证将上BGD是二面角E-O的平面角.在AUGZ?中,计算可得：BG=2gDG=2串,BD=2f,BD2=BG2+DG2故4BG。=；所以平面43EJ平面八02）方法1：如图,过点G作GHM。丁点H,过点作“M1.OE于点M,1.
27、1.BE1.CF9BE1FC可褥BE1.平面GFCD，平面RED1平面GFCD从而GH1平面BEq由此可得DE1平面GHMUP1.GMH就是二面角-DE-8的平面角.因为GH=Fp=*MH=与所以cos三=F即二面角4-DE-8的邛面角的余弦值为T方法2:如图,过A中点G作GM1.OE于点M连接叫可证VMB就是二面角4-。8的平面角在AGMB中，计尊可得/G=2Z,GM=孥8M=*故coszfiAf/=JJ=vc即二面角一DE-8的平面角的余弦值为彳方法3：加图，作Ei8C于点,八81平面8EC,AB1EOBCBCBEO平面CD以E.8C所在的点拽分别为X怕、y轴.则40,-2.4),8(0,
28、-2,0)P(0,2,2),E(2、区0,0)于是=(-25,2,21.=(-2J,-2,4)Eq=(-23,-2,)设平面以。的法向为=QmnJ.-MUX1.-y1+2z=o,-31+y1.+Zj=0.取“1=2,则n=(3,1,2),设平面BDE的法向为2=6/2/2).Jv3z+y?=0.I-FX2+y2+=取*2=，则“2=(1,-13,23),II.Q-S+40.,6COSmIn2)=-=T即二面角A-DE-B的平面角的氽弦值为工23.(I)作zviC点?如图,分别以481P,4所在出战为A7轴建立空间直角坐标系.则4(000),8(100)(.)(-2Q)O(Oo2),M(Oo1.
29、)MI-E和)fy-2z=0,I-FX+2y-2x=0.加=(TWT)加=(喘-2)丽=(d),设平面08的法向量为k=(xyN).则卜=,n%0=O,即取Z=V2.解得:(04Z).MJV=(I-M-I)(0A2)=OMNI平面。CO(2)设加与MZJ所成角为8.洞=(1,0W(WT)abmcICOM=E=.M-M2/0=3.A1.)与M所成角的大小为3.设点B到平而的即肉为4则4为08在向Ian=(O42)上的投影的绝对电WU2Id=-11-=32由08=(1,0,-2)得1川,所以点8到平面OCD的距离为工24.(1)方法一：由题意可知二面角一一8的平面角为1.DOB即。U=，.当0=9
30、0时,即WOB=90,分别取DC.8。的中点M,N,连接OMMNON,.()MIADMNI1.HC*,MN为异面直线4与BC所成的角或其扑角，在AOAfN中.OM=2MN=2.ON=亚COS40MN=；,即弁面IJmd。与8C所成用的余我伯为；方法二:D如图建立空间口角坐标系0yz.由题意可知人(200)Q(Oa2炉),8(0,23,0),。-2。0)AU=(-2,0,2(3)4C=(-2,-23,).,cos(D,K6)=4,即并面当跳ADBC所成他的余就假为4.(2)方法一：当0=60时.即Z.DOB=60由题意可知ZKi平面DoBQDOB为等边三角形.取8的中点，,则有M1.平面/18C
31、,且DH=3.的距离).-VD-ABC=VC-ABDBIJrSAXBT丽=丁5Wd(其中d为点C到平面人如.二口产即直线BC与平面ZM8所成角的正弦ff1.m1.吗方法二r如图建立空间直角坐标系0yz.题意可知(2,0,0)D(0,3)(0,23.0)C(-2,0.0),A0=(-20,3)A3=(-2,2、3.0)HC=(-2,-2,0)设平面4UD的法向Jft为r=(W),Yad-1.111.=-2xFy+3Z=O.I*M-2x+2秒=0,即可得卜=(3Q1).设宜城BC。平面8所成的角为9.n311则兑呷=|两=E人3,即且线BC与平面W所成用的正弦位口门25.(1)设BE的中点为。.连
32、接4P.因为A1.i=AEBO=OE所以4。，戏同理DO1.ttE又平面ABEI平面BW,平面/18En平面8C=BK所以401,平面8C0E,由题意BE?=2AB2=2D”所以B=BD=DE=AE不妨设”=4以为坐标原点，建立如图所示空间口角坐标系0-yz则1(0.0,)B(O-a,O)C(a,-2a,0)D(a.O.O)E(OAo)所以，8=(,-a,-a),7)d=(-ara,0)es()=M=-:因为TOg罚2所以1.B与b/的夹角为120所以异面出线4H与防所成角为60。(2)设平面4CE的法向Iit为r*1.=(XJN),因为AE=(0,a,-a)(HC=(a,-3a,0),所以兀=01Ec=O所以y=zj1.x=3y取y=z=1.得x=3,所以平面ACE的一个法向fit为肌=(3.1.1)又平面ABE的一个法向盘为n2=(I，。，。)，设二
