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1、平面向量的线性运算目标导航1 .通过向量加法的探究，掌握向量加法概念，结合物理学实际理解向量加法的意义。能熟练地掌握向量加法的平行四边形法则和三角形法则，并能作出已知西向做的和向量。2 .在应用活动中，理解向量加法满足交换律和结合律及表述两个运算律的几何意义。掌握有特殊位置关系的两个向量的和.比如共线向量、共起点向量、共终点向量等。3,通过本节内容的学习，认识事物之间的相互转化，培养数学应用遨识，体会数学在生活中的作用.培养类比、迁移、分类、归纳等能力。4 .通过探究活动，掌握向量减法概念，理解两个向量的减法就是转化为加法来进行，掌握相反向量。5 .学会分析问题和创造性地解决问题.能熟练地掌握
2、用:角形法则和平行四边形法则作出两向量的差向量。6 .通过经历探究数乘运算法则及几何意义的过程，掌握实数与向星积的定义，理解实数与向址积的几何意义，掌握实数与向量积的运算律。7 .理解两个向量共线的等价条件，能够运用两向量共线条件判定两向量是否平行。8 .通过探究，体会类比迁移的思想方法，渗透研究新问巡的思想和方法，培养创新能力和积极进取精神。通过解决具体问题，体会数学在生活中的重要作用。重难点臾破1.向量加法的运算及其几何意义。2 .对向量加法定义的理解。3 .向量的减法运算及其几何意义。4,对向量减法定义的理解。5 .实数与向量积的意义.6 .实数与向量积的运算律。7 .两个向量共线的等价
3、条件及其运用。8 .对向疥共线的等价条件的理解运用.每课Ta、求若干个向量的和的模（或最值）的问题通常按下列步骤进行：（D寻找或构造平行四边形，找出所求向量的关系式；（2）用已知长度的向量表示待求向量的模，有时还要利用模的重要性质。二、1.向量的加法定义向量加法的定义：如图3,已知非零向量Ab,在平面内任取点A,作八方=a,BC-b,则向址Ad叫做a与b的和，记作a+b.即a+bAfiBC-AC求两个向量和的运算，叫做向量的加法。2 .向呈加法的法则：（1）向量加法的：.角形法则在定义中所给出的求象量和的方法就是向量加法的三角形法则。运用这一法则时要特别注意“首尾相接”，即第二个向量要以第个向
4、量的终点为起点，则由第一个向量的起点指向第二个向量的终点的向量即为和向量。零位移的合成可以若作向量加法三角形法则的物理模型。（2）平行四边形法则向量加法的平行四边形法则如图4,以同点。为起点的两个已知向员a、b为邻边作平行四边形，则以O为起点的对角线区.就是a与b的和。我们把这种作两个向量和的方法叫做向量加法的平行四边形法则。3 .向量a,b的加法也满足交换律和结合律：对于零向量与任一向地，我们规定a+O=O+a=iu两个数相加其结果是个数，对应于数轴上的个点：在数轴上的两个向员相加，它们的和仍是一个向量，对应于数轴上的一条有向线段.当a,b不共线时，a+bVa+b（即三角形两边之和大于第三边
5、）；当a,b共线且方向相同时，a+b=a+b：当a,b共线且方向相反时，a+b=ab（或IbHaI）。其中当向量a的长度大于向量b的长度时，a+b=a-b;当向量a的长度小于向量b的长度时,a+b=b-a一般地，我们有1a+bW+b”如图5,作人8y，D以AB.AD为邻边作OABCD,贝8Cr,DCao因为AC=AB-AD=a+b,AC=AD+11C=b+a,所以a+b=b+a。BC)+CD=(a+b)+c,，,11,如图6,因为AO-AC+CO：(八8+AD=AB+BD=AB+BC+CD)=a+(b+c),所以(a+b)+c=a+(b+c).综上所述，向量的加法满足交换律和结合律。特殊与一般
6、，归纳与类比，数形结合，分类讨论，特别是通过知识迁移类比获得新知识的过程与方法。，用向量法解决物理问题的步骤为：先用向珏表示物理址，再进行向量运算，最后回扣物理问题，解决问题。四、向量也有减法运算。由于方向反转两次仍回到原来的方向，因此a和-a互为相反向量，于是-(-a)=a。我们规定，零向量的相反向星仍是零向量.任一向量与其相反向量的和是零向量，即a+(-u)=(-a)+a=0所以,如果a、b是互为相反的向量,那么a=-b,b=-a.a+b=O.1 .平行四边形法则图I如图1,设向室第=b,北=a.则AD=-b,由向量诚法的定义.知AE=a+(-b)=a-bo又b+BC=a,所以BC=a-b
7、。由此，我们得到a-b的作图方法。图22 .三角形法则I如图2,己知a、b,在平面内任取一点0,作OA=a,直=b,则8A-a-b,即a-b可以表示为从b的终点指向a的终点的向量，这是向量减法的几何意义。(1)定义向员减法运算之前，应先引进相反向量。与数X的相反数是-X类似，我们规定，与a长度相等，方向相反的后，叫做a的相反向量,记作-a。(2)向量:减法的定义。我们定义a-b=a+(-b),即减去一个向量相当于加上这个向量的相反向量。规定：零向量的相反向量是零向量。(3)向垃的减法运算也有平行四边形法则和一：角形法则，这也正是向量的运算的几何意义所在，是数形结合处想的歪要体现。五、我们规定实
8、数与向量a的积是个向量,这种运算叫做向量的数乘，记作Aa,它的长度与方向规定如下：(1) Ia=Ia:当人0时，a的方向与a的方向相同：当入VO时，入a的方向与a的方向相反。由(1)11J知，N=O时，a=0e根据实数与向是的积的定义，我们可以验证下面的运算律.实数与向量的积的运算律设卜、U为实数，那么A(a)=()a:(2) (+)a=a+a:(3) (a+b)三a+b.特别地，我们有(7)a=-(Au)=HO,(a-b)=a-b.向量共线的等价条件是：如果a(aW0)与b共线,那么有I1.只有个实数,使b-a.共线向量可能有以下几种情况：(D有一个为零向量；(2)两个都为零向量：(3)同向
9、且模相等：同向F1.模不等：(5)反向且模相等：(6)反向且模不等。数与向量的枳仍是一个向量，向量的方向由实数的正负及原向量的方向确定，大小由I入Ia确定.它的几何意义是把向量a沿a的方向或a的反方向放大或缩小。向量的平行与直线的平行是不同的，直线的平行是指两条直线在同一平面内没有公共点：而向量的平行既包含没有交点的情况，乂包含两个向量在同条直线上的情形。向量的加、减、数乘运兑统称为向量的线性运算:。对于任意向量a、b.以及任意实数、2,恒有X(a亦)=入田土入出人经典例Ig例1化简：B(5+Xfi丽+而+正，11,+DF+CD+BC+FA解：氏+a6=A1.氏=蔽而+加辰=证+而1丽=(前+
10、西+丽=丽+丽=O(3)+DF+CD+BC+FA=AB+BC+CDDF+FA=ACCD.DFtM=ADtDF+7=AFtEA=0解析：要善于运用向盘的加法的运算法则及运算律来求和向S1.例2若AC=a+b,三=a-b当a.b满足什么条件时，a+b与a-b垂直？当a.b满足什么条件时，a+b=a-b?当a.b满足什么条件时，a+b平分a与b所夹的角？a+b与a-b可能是相等向量吗？解析：如图6,用向量构建平行四边形，其中向量正、丽怡为平行四边形的对角线。由平行四边形法则，得AC=a+b,DB-AB-AD-a-b由此问题就可转换为：当边AB、AD满足什么条件时,对角线互相垂直?(IaI=IbI)当
11、边AB、AD满足什么条件时,对角线相等？（a.b互相垂直）当边AB、AD满足什么条件时,对角线平分内角？（ab相等）a+b与a-b可能是相等向量吗？（不可能，因为对角线方向不同）解析：灵活的构想，独特巧妙，数形结合思想得到充分体现。由此我们可以想到在解决向量问题时，可以利用向垃的几何意义构造几何图形，转化为平面几何问题。练习题1 .已知正方形ABCD的边长为1,而=a,k=。，记=b,则a+b+c为（）。A.0B.3C.2D.2隹2 .设a=（而+而）+（前-亦），b是任一非零向量,则卜列结论中正确的为（）。ab:a+b=a：a+b=b:3）a+bIa+Ib：a+b=a+b,0A.DDB.1.
12、b；,则a+b与a的方向,且a+ba-b.U.如图17所示，已知正方体ABCD-A1B1C1D1,设而=a,而=b,AA=：,则AG=。(用A、B、C表示)12 .在aABC,第=M而，EF/7BC,EF交.AC于3设丽=a,c=b,则方用a、b表示的形式是BF=。13 .在AABC,V、N、P分别是AB.BC、CA边上的靠近A、B、C的三等分点，0是ABC平面上的任意点，若加+OB+OC=3e1.-2e2,则OM+ONOP=14 .某人在静水中游泳，速度为4百k11h,如果他径直游向对岸,水流速度为4km/h,则他实际以多大的速度沿何方向游？15 .在中心为0的正八边形A1A2A8中,a0=A,ai=44(i=1.,2,，7),bj=。AjG=1.2,，8),忒化简a2+a5+b2+b5+b716 .己知AABC为直角三角形，ZA-90a,AD1.BCFD,求证：；而2=|而+K/2+1氏+而厂217 .已知两向员a和b,求证：a+b=a-b的充要条件是a的方向与b的方向垂直。18.已知AABC的重心为G.0为坐标原点,次=a,OB=b,OC=c,求证：=3(a+b+c)19.对判断向量a=-2e与b=2e是否共线?有如下解法：解：.a=-2e,b=-2e,.b=-a.a与b共线。请根据本节所学的共线知识给以评析,如果解法有误，请给出正确解法.
