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1、2023年上海市15区中韦数学一模汇专题06图形的变化，新定义（27题）一.逸IM（共1小JI）1. （2022秋徐汇区期末）问读理解:我们知道，引进了无理数后，有理数集就扩展到实数柒:同样，如果引进“虚数”实数集就扩展到“复数集”现在我们定义：“虚数单位”.其运算规则是:Z1=AF=I.J3=-Af4=1.,f5=r.r6=-h/7=-A则r2O,9=A.IB.-IC.1D.-i【分析】根据已知得出变化规律进而求出答案.【解答】解：.=i2=-I,?=-i,i4=1.,户=j,b=-,ij=-i,林4个数据一循环.V2OI94=5O4-3.i刈9=户=.f.故选：D.【点评】此题主要考查了新
2、定义,正确理艇题意是解时关键.二.填空Ji（共26小JI）2.2022秋黄浦区校级期末如图，图中提供了一种求8115的方法.作RtZkABC,使NC=90：ZASC=30,再廷长C8到点。，使BD=BA,岷结A。，即可得NO=I50.如果设AC=/,则可得CO=2+3）r.则COtI5=coD=-=23.用以上方法，则cot225=32.【分析】利用题中的方法构建一个RdDe,使ND=15,然后利用余切的定义求解.【解答】解：作R1.ZXABC使NC=91r,ZABC=45,再延长C8到点O,使BD=BA,联结八。,JAB=BD.INBAD=ND,ZABC=ZBADZD,二/。=?NABC=1
3、5.2设AC=八则BC=%，AB=21.CD=BC+BD=2+3f=3+2)t.在RtZADC中.cotD=3+2.ACcot1.5c=3+2.故答案为：3+2.【点评】本即考查了解直角三角形：在直角三角形中.例已知元素求未知元索的过程就是解直角三角形.灵活应用勾股定理和锐用三角函数的定义是解决此类问题的关陕.3. （2022秋黄浦区校级期末）如图，己知在AA8C中，NC=90,8C=8,cos8=,点尸是斜边AB上一点，过点P作。MJ_八8交边八C于点M,过点P作八C的平行城，与过点M作A8的平行线交于点Q.如果点Q恰好在/A3C的平分线上，那么AP的长为_-1_.【分析】根据直角:角形的边
4、角关系可求出A8,AC.再根据相似一:角形,用含有”的代数式发示MC、NcMV,再根据比平分线的定义以及等腰三角形的判定得出BN=NQ.进而列方程求出A尸即可.解答解：在ZkABC中，ZC=W.BC=S,cosfi=A8=-=ocAB2-BC2=6COSD.PM1.AB.：.ZARW=90t=ZC.VZA=ZA.八PMSC8,.AP=PN=AMACBCAB设AP=久，AW=4.v.1.W=5.v.,.WC=6-5.CM_CN-MN一11CACBAB.CN=8-等,MN=IO-:,：HQ平分NABC、A4NAB.：.NQBN:NBQN.20NQ=BN=BJCN=Wx,3：MN/AU.PQ/AC.
5、二四边形APQM是平行四边形.,.QM=P=3x.2029：.MN=NaMQ=殁x+3x=段=争FE7故答案为：.【点评】本即考查/用折变换，解直角：角形.好诀本遨的关键是拿握融折的性斯.5. （2022我徐汇区校级期末）在同一平面直角坐标系中，如果两个：次函数.v=,（加）X与*=“2（AW）?+上的图象的形状相同，并且劝称轴关于y轴对称，那么我们称这两个：次函数互为梦函数.如.次函数尸（r+1.）2-I与y=-|）2+3互为梦函数，写出.次函数产2（K+2）2+1的其中一个梦函数y=2（x-2）2+2（答案为不唯一）.【分析】由一对梦函数的图象的形状相同，并且对称铀关于y轴对称，可Im1.
6、=加与互为相反数：【解答】解：二次函数y=2（.r+2）2+1的一个与函数是y=2x-2）?+2：故答案为：y=2E8,设边交边C八于点M若BC=2,C=3,则AN=T_.6【分析】根据施转的性质用同一个未知数表示出有关的边，根据勾股定埋列方程计算.【解答】解：MA=MB=ME.：.ZABE=ZE.又,：NE=ZA.ZABE=4,IAN=NB,设CN=x,J1.1.AN=NR=3-.在R1CAN中，AN1=AC1+CNi,即（3-N）2=4+?,解得x=,即CN=.5_13.Atx3-W66故答案为：学.O【点评】本题考查旋转变换，等腰;.胸形的判定和性质等知识，根据旋转的性政得到对应角和对应
7、边之间的关系是裤时的关说.7.（2022秋浦东新区校级期末）如图,在RtZXABC中，NC=90,AB=IO,4C=8.点。是AC的中点.点在边AS上，将AAOE沿。E翎折，使得点A落在点4处,当/VEJM8时，那么八K的长为3CDA【分析】分两种情形分别求解，作。1.48于E证明aAFCsacb,由相似三角形的性鲂及勾股定理可求出答案.【解答】解：如图.作/-1AB于在R1.ZsACH中，c=AB2-AC2=V102-82=6,：ZDF=ABAC.ZAFD=ZC=W.4FD-C.DFADAFBCBAC.DF4AF二二一6IO8IDF=?,AF=VE1B.ZAE,=90,由翻折不变性可知：NA
8、ED=45,：.EF=DF=隼,.AK=A,E=孕芈=555如图，作。E1.A8于尸，当EU8时，同法可得AE=ZrE=华B故答案为:(iJ本题考查翻折变换，相似：知形的判定和性质，解FI角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助规，构造口.角三角形解决何明.8.(2022秋杨浦区校级期末)己知.y是关于N的函数，若该函数的图象经过戊尸(,1),则称点P为函数图象上的“相反点”,例如：H战y=2x-3上存在“相反点”P(1.-1).若二次函数=/+2根什切+2的图您上存在唯一“相反点“，则，”=以.-2【分析】将P5-D代入产内2mt+m+2中得/2+2w+m+2=-BPf2+(2H1)t+
9、m+2=0,将：次函数,y=F+2u+m+2的图象上存在唯一“相反点”，转化为方程有两个相等的实数根，=0.求解即可.【解答】解:4Pr.-八代入y=r+2m+w+2中,得r2+2nw+wt+2=-t.1.+(2n+1)，+，”+2=0,；二次函数y=+2三+m+2的图象上存在唯一“相反点”.二方程有两个相等的实数根，=(2n+1.)2-41(.m+2)=0.解得m=冬，故答案为：士条.【点评】本题考i了：次函数、一元二次方程根的判别式，解遨的关键是将函数向SS转化为方程间璃.9.(2022秋杨浦区校级期末)在R匕A8C中.C=9S,AB=5SinB=*点。在斜边八8上,把也ACD沿直线CC翻
10、折，使得点A落在同一平面内的点A处，当AD平行RtC的H角边时，AC的长为I或3.【分析】如图.当根据平行线的性质得到NADB=NB.根据折状的性质对到AD=AD.A=A,根据三角形的面积公式褥到皑.由相似:角形的性质即可得到结论：如图2,AB5当AC根据折亮的性质得到4O=AD.AC=AC.ZACD=ZA,CD.根据平行线的性质泡到ZAZX?=ZACD.于是得到NAOC=NACD.推出AO=AC,于是得到4O=AC=8.【解答】解：RtWC,ZC=90.八8=5,sin=.3.AC=3,BC三AB2-AC2=4如图,当AO8C.ZADB=NB.；把八CO沿身战。折心，点A落在同一平面内的八处
11、,AD=D.N4=ZA.4+/A08=90,：.AC1.AB.mAeBC12ce-AB5,ADRC.4DES(*3_空号吟54,O=1,4D=I:如图,当ADAC,A；把4ACO沿直线6折,点A落在同一平面内的A处，.,.AD=A1）.AC=A,C.NACD=NACD.VZADC=ZACD.ZADC=Z,CD.：.AD=,C,.,.AD=AC=3,综上所述：A）的长为：I或3,故答案为：1或3【点评】本跑考查了例折变换-折段问题,直角三用形的性质.熟练掌旌折段的性质是解即的关键.10.（2022秋浦东新区期末如图，点从尸分别在边长为I的正方形ABa）的边A8、AD.BE=IAE.=2和,正方形
12、#8C。1的四边分别经过正方形ABCC的四个顶点，己知八77R那么正方形ATrCC【分析】通过证明AAEfsAAA8,可求AA的长，同理可求AC的长，即可求解.【解答】解：BE=2AE.AF=2FD.AB=AD=I,JE=.AE=,F=.DF=.3333E=ae2+af2=.5JAiyEF.：.ZAAB-ZAEF.又.NV=N；1.=9y,.,.AEFAB.AAABAEEF1r-.,.A=-/-=X,553同理可求：Aiy=.55/.正方形AHC/）的边长为邛,3故答案为：工匠.5【点评】本题考查了正方形的性质,相似：角形的判定和性质，证明三角形相似是解8的关犍.I1.SO22秋浦东新区期末）
13、如图，正方形ABCT）的边长为5.点E是边C7）上的一点，将正方形4BC/）沿直线AK胡折后.点。的对应点是点.联结CY）交iE方形A8C/）的边八8于点F.如果AP=CE.那么的长是【分析】根据翻折的性质得AE，。，DE=DE,可得/EC。=ZfDD,证明四边形AECF是平行四边形.VAAF=CE.AE/CF.可犯CF1。，根据等角的余角相等可得/E/）C=/IYCE,则D,E=CE=DE.即可求解.【解答】解：加图：连接.BD由翻折得AE，。，DE=D,E,：.ZEDD=/E。D,；四边形，WJe7）是正方形,：AF=CE.四边形AEb是平行四边形，AF=CE,AE/CF,J.CF1.DD
14、.：.ZEDD+ZD,CE=ZEDD+EDC=W,/.ZDC=NzyCE.：.!)E=CE=DE.；正方形八SCD的边长为5,：.CE=jcD=B=.“=.故答案为：【点评】本题是考查了翻折变换的性防.正方形的性质、等腰二角形的判定和性质.平行四边形的判定与性质等知识，解决问题的关键是作辅助统，构造百角二知形斛决何题.12.（2022秋闵行区期末）如图，在R1.AA8C中,ZCB=90,B=9.cot=2,点O在边八/T匕点E在边AC上，将ZSABC沿卷折痕。E翎折后，点八恰好落在我段8C的延长线上的点P处，如果/8P。=ZA.那么折痕DE的长为【分析】先求出A)E=45,由等腰直角三角形的性
15、质可得。E=5”.由钱用三角函数可求。，的长，即可求解.【解誓】曲如图.过点E作石，1.AB于从；将八8C沿着折痕DE二折,AD=DP,NADE=NPDE,:BPD=ZA,A+B=90,.8PXB=90,1.NBDP=W=ZADP.JNAo=45VEH1.AB.；/DEH=/EDH=45，：.DH=EH,DE=2JA.c1是等边三角形,进而可解。尸=F,BC：.AF：DF：BF=-3:2,.DF,3AB3VACDEF.三=（DF）2=（近）2=工，SZkABcAB33,.,A8C的面积为48.DEF的面积一16.故答案为：16.【点计】本题考查了相似三角形的判定与性质，等边三角形的性质，熟练掌
16、树相似三角形的判定与性质是解题的关键.15 .（2022秋徐汇区期末）如图，在R1.ZiABC中，NA=90,AB=AC=2,将线段8C绕点B逆时针旋H*0,：AR=AC.NzMC=90.AF1.HC.：.BF=CF,：.AF=-BC.2：BC=BD.F=DE,：.DE=-BD.2：.ZDBE=30.CBD=BD,ZfiDD=ZfiDD=30o,ZD,B/)=120,ZDBC=ZDB/H/)BE=I20+30=150.满足条件的的值为30或150。.VA=C=2.,.hc=22.AF=BF=DE=42,：.BE=近DE=巫.AD=V-V2.A1.),=26-(V-V2)=VW2.故答案为：6-
17、2462.【点评】本麴考查施转变换,等腰直向三角形的性质等知识.解起的关圾是理情题遨,学会添加常用幼助线,构造直用三角形解决问起.16. （2022秋百浦区校缎期末）如图，在RI八8C中，ZACB=W.八C=I,IanNC八8=2,将ZiABC银点A旋转后，点8落在八C的延长城上的点。，点C落在点,QE与直线8C相交于点R那么Cf=5-1.【分析】根据已知条件得到8C=ACtan/CAB=2,根据勾股定理解到八8=疯五寿=泥.根据旅转的性质得到A）=A8=g.D=B根据知函数的定义即可料到结论.【解答】解：如图.；在RtZsahc中，zacb=w=.AC=1.tancab=2.BC=ACanZ
18、CAB=2.=AC24C2=5.,：将ZSABC烧点A旋转后.点8落在AC的廷氏线上的点D,D=5.ZD=ZB.VAC=I.CD=5-I.VZFCD=ZAC=90.rn：,tanD=tan/CB=-=2.CF：.c/二返2【点评】本即考连了旋转的性质.艇口角三角形,正确的商印图形是解题的关健.17. （2022次黄浦区期末）如图.在矩形A8C。中,过点。作对角线AC的垂纹,垂足为从过点E作8的垂线，交边AD于点F,如果A8=3,BC=5,那么。尸的长是二.3【分析】利用矩形的性质求出Ac利用三角形的面积、勾股定理求出DE、CE的长,再利用等角的余角相等说明ZBAE=NACE,/AEB=NDEF
19、,DEFBEA,最后利用相似三角形的性质得结论.【解答】解：；四边形A8C。是矩形，.,.ZABC=ZAIX-=1.Xr.AR=CD=3.BC=AD=5,AB/CD.AC=24c2=32+52-V34-V5Adc=4DCJ=-.4CDE.,p.1534.34：DE1.AC,.=屈而=商_(i)2=噜.,.AE=AC-CE=-2-34VAB/CD,INBAE=NDCA.：OCA+C)E=COE+A)E=90,：.NBAE=ZADE.：BE1.FE,DE1.AC.NFEA+NAEB=NDEF+NFE=90*.：.ZAEB=NDEF,.DEFBEA.DF=DE=2AB-AE-S-DF=1x3=1.5
20、5故答案为：-.【点评】本题主要考查了相似三角形，掌握相似三角形的性顺与判定、三角形的内角和定理及勾股定理是解决本时的关雄.18. （2022秋黄浦区期末）制-张直角三角形纸片沿一条坦线一开,折其分成一张：角形纸片与张四边形纸片,如果所得四边形纸片ASC。如图5所示，其中A=NC=90,八8=7匣米，BC=9爆米，CD=21米，加么原来的直角三角形纸片的面积是54或萼平方厘米.【分析】分两种情况讨论，出勾股定理求出八。长，由三角形面枳公式求出四边形A8CC的面积，由相似三角形的性顺，即可解抉问题.t解答解：（1分别延长CC,8人交于M,连接3D设4M8C的面积是5（vn2.VAI、VZC=ZD
21、4=906,：.DC2+BC2=B2+AD2=B1.JT.22+92=72+D2.：.AD=6(cm),.八。8的面枳=八。八8=X6X7=21(J),Z0C8的面枳=4)C8C=X2X9=9c11r).2222四边形ABCC的面积=21+9=30c),：ZM=ZM.ZAMD=NAfe8.WD.WC.s1.1.11)A,fAD.2_必)2=2S-kBC;k3*j9,.S-30.4S9.,.5=54(cm2).2)分别延长A。.BC笑千N,设4NA8的面枳是Scr).【点评】本题考查相似角形的应用,关键是应用相似三角形的性质，分两种情况讨论.19. （2022次徐汇区期末）在RtZA8C中,NB
22、=W.NHAC=30，BC=1.以AC为边在ZA8C,外作等进AACD.设点F分别是和ZXACD的重心,则两重心4与尸之间的距离是一近【分析】取AC中点。，连接。8、OD.RD.EF.根据含30度角的直角三角形的性质求出AC=28C=2.利用勾段定理得出八8二对,根据等边三角形的性版得出CO=AO=八C=2.NCA。=60.僚么NHAD=ZHAC+ZCAD=90,.利用勾股定理求出8O=7.然后证明AAYsA80/).得出EF=J8OW=1.3.【解答】解：如图.取AC中点。连接。8、OD.RD、EF.在RtZA8C中，B=90.ZBAC=30j.BC=I,.,.AC=2BC=2.A=02-C
23、2=22-I2-V3.；AACO是等边三角形，：.CD=AD-AC=I.：.ZCAD=W.,.ZBD=ZBC+ZCAD=)O.,eD=VAB2+AD2=V3+4=7.：点E、F分别是ZkASC和aACO的重心，.OE_OF_1-OBOD3又NEoF=NBOD,XAEOFsdBOD,.EFOEOF1.=一,BDOBOD3Ef=-33故答案为：1.3【点评】本跑考查了相似三角形的判定与性质,含30度角的出角三角形的性质.等边三角形的性质.三角形重心的定义与性质.於娓重心到顶点的距国与呕心到对边中点的即国之比为2：1是斛跑的关健.20.（2022秋徐汇区期末）如图,在R1.48C中，NC=90”，B
24、=10.AC=8,。是AC的中点,点在边AB上，将八。沿DE晶折，使得点八落在点,处，当,E1.AB时,则八八=一圆返或5425B【分析】分两种情形分别求解，作。足1.八。于R连接/VT.想办法求出八,利用等腰宜角三角形的性质求出AA即可.【解答】解：如图，作)F1AB于F,连接AA.在RtZSACS中，C=AB2-AC2=6：ZDAf=ABAC.ZAFD=ZC=W.,.AFDACB.AFAC,A1.8-ADAB410125-=-DFBC-DF6-8165，AE1.AB.ZE,=90.由翻折不变性可知:NAED=45,12：EF=DF=堂J.AE=A建，a=给333.M=空5如图.作。A1.A
25、8于F.当4JM8时,同法可番Af=-孕=&AA=2AE=-.5555B故答案为.尊巨或会巨（iJ本题考查翻折变换，相似：知形的判定和性质，解FI角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助雄，构造口.角三角形解决何明，MF中考填第遨中的压箱题.21.（2022我杨浦区期末）如图，已如在Rt八BC中，NC=90,AC=8C=I,点。在边BC上，将4ABC沿直线A斜折，使点C落在点C处，联结AC,直线AC与边CB的延长税相交于点立如果ZDAB=NftAA那么BF=3-I.NC=90.AC=8C=1.得到NCA8=NA8C=45.IADC,是将aA8C沿宜战八。翻折得到的，求出/CIC=NCAD,
26、于是得到N18f=135”,求得N=30,根据史角三角形的性侦即可得到结果.t解答】解：；在R1.ZSA8C中，ZC=90*,AC=BC=I.：./CAB=ZARC=Ay.4OC是利八8C沿直线AD翻折得到的,：.ACAD=ZCAD.：ZDAB=NBAF,：.ZBAD=-ZDAC=BC=5t.23：ZABF=IW,ZF=30,:0=誓=如、.,.BF=CF-BC=43-1.故答案为：3-1.【点评】本题考杳了期折变换折笠问题，等腰百m三加形的性质，锐角三角函数，正确的作出图形是解咫的关键.22 .(2022秋普浦区校级期末如图.已知在AABC中，ZC=90c,AB=2.COtBa正方形。G的顶
27、点G、尸分别在AC、BC1.点。、E在斜边A8上，那么正方形DEFG的边长为6.【分析】根据A8=21.,cotB=i结合勾股定界求出八。和床的长枝，过点C作CW1.s于点M交GF干点M根据相似三角形高的比等于相似比即可进行解答.【解答】解：VZC=W.COtB=P.BC1AC2设8C=x.则AC=2r,V=21.,根据勾股定理可得：BC2+AC2=AB2.即/+)2=212.解得：普，X2=奥(舍，K*AC誓，过点C作GWAfi于点交GF于点N,VCWzW.：.CMB=ACBC.即21CM=呼X丝善解得:.四边形OHG为iE方形.GF/DE,61)GF/AB.：.ZCGF=ZA.NCFG=N
28、B,.CGFCAB.设正方形“EFG边长为AJCM1AB.CD1.AR.GF/AB.,.CN1GF.MN=GD=y.GFCN1,GFCB-MNABCM21CK,2gT解得：.=6,，正方形OKFG的边长为6.故答案为：6.【点评】本甥考杳的是相似三角形的判定和性质、正方形的性质、勾股定理和解真角三角形等知识：正确作出辅助雄、灵活运用相似三角形的判定定理和性侦定理是解题的关键.23 .（2022秋肯浦区校级期末）新定义：有一组对角互余的凸四边形称为时余四边形，如图，已知在对余四边形ABC7）中，AB=0.HC=12,CD=5.an=-,那么边AO的长为9_.4BC【分析】如图.过点A作于过点。作
29、CSAO于连接Ac解直角三角形求出AEDE即可解决同胞【斜答】解：如图，过点A作八，8C于，过点C作C1.八。于E,连接AC.*=2.=6.IiH=8,：BC=12.；.CH=BC-BH=I2-8=4,4C=ah2C=60*.BE=3,那么/1、。两点间的用离是-6-.【分析】过点C作CF8月于F.由旋转的性质褥出HCO=8CN=9(),AC=CD-8C=CE由宜角三角形的性质可得出答案.【解答】解：过点C作CF1.BE于F.A8C笑点C逆时针枪转90后得ZS)EC.：.ZACD=ZBCE=,AC=CD-RC=CE.C=,NBDC=60。.ZFCD=30o.。户=返(？=返x2jZ1.3322CD=2DF=3.md=2cd=23=6.故答案为：6.点评】本必学爸了他转的性质.等版.出角三角形的性质.熟练拿娓旋转的性质是解跑的关雄.27.(2022秋静安区期末定义：把二次函数产数)称作互为“旋转因数”.如果二次函数y=.南数可出点P(b.c)的坐标.-a2与y=-（X-用）2-（fj0.rn.n是常24-2=-,r-%+c。、c是常数）互为“旋转-c.从而斛得6=-,c=2.【点评】本题考查了二次函数的图取与系数的关系,二次函数图象与几何变换，正确理解新定义是解即的关键.
