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1、第十讲：数论之余数问即余数问题是数论学问板块中另一个内容丰富，题目难度较大的学问体系，也是各大杯赛小升初考试必考的奥数学问点，所以学好本讲对于学生来说特别重要。很多孩子都接触过余数的有关问题，并有不少孩子说“遇到余数的问题就基本晕菜了！”余数问题主要包括了带余除法的定义，三大余数定理(加法余数定理，乘法余数定理，和同余定理,)，与中国剩余定理和有关弃九法原理的应用。学问点拨：一、带余除法的定义与性质一一般地，假如a是整数，b是整数(bWO),若有ab=qr,也就是a=bXq+r,Or)+“+勿=2(X)1,7%+劝=2(X)1,由Z=10.所以，这三个数分别是19“+。=523,2M+)=63
2、1,3k+=847o【观(2004年福州市“迎春杯”小学数学竞赛试题)一个自然数，除以11时所得到的商和余数是相等的，除以9时所得到的商是余数的3倍，这个自然数是【解析】设这个自然数除以11余(04v1.D,除以9余b(04bv9)，则有1.1.+=9劲+b,即M=7。，只有a=7,/=3,所以这个自然数为12x7=84。【例4】(1997年我爱数学少年数学夏令营试题)有48本书分给两组小学友，已知其次组比第一的多5人.假如把书全部分给第一组，则每人4本，有剩余；每人5本，书不够.假如把书全分给其次组，则每人3本，有剩余；每人4本,书不够.问：其次组有多少人【解析】由48+4=12,48+5=
3、9.6知，一组是10或I1人.同理可知48+3=16,48+4=12知，二组是13、14或15人，因为二组比一组多5人，所以二组只能是15人，一组10人.【联国】一个两位数除以13的商是6,除以11所得的余数是6,求这个两位数.【解析】因为一个两位数除以13的商是6,所以这个两位数确定大于13x6=78,并且小于13(6+D=91.:又因为这个两位数除以11余6,而78除以11余1,这个两位数为78+5=83.【模块二：三大余数定理的应用】【例5】有一个大于1的整数，除45.59.IO1.所得的余数相同，求这个数.【解析】这个题没有告知我们，这三个数除以这个数的余数分别是多少，但是由于所得的余
4、数相同，依据同余定理，我们可以得到：这个数确定能整除这三个数中的随意两数的差，也就是说它是随意两数差的公约数.101-45=56，59-45=14,(56.14)=14,14的约数有1.27.14,所以这个数可能为27.14。有一个整数，除39,51,147所得的余数都是3,求这个数.【解析】(法D39-3=36,147-3=144，(36.144)=12,12的约数是123.4612,因为余数为3要小于除数,这个数是4.6.12:(法2)由于所得的余数相同，得到这个数确定能整除这三个数中的随意两数的差，也就是说它是随意两数差的公约数.51-39=12147-39=108.(12,108)=1
5、2,所以这个数是4,6.12.在小于Io(X)的自然数中，分别除以18与33所得余数相同的数有多少个(余数可以为0)【解析】我们知道18,33的最小公倍数为18,33=198,所以每198个数次.1198之间只有1,2,3,，17,198（余0）这18个数除以18与33所得的余数相同,而999198=59,所以共有5X18+9=99个这样的数.1（2008年仁华考题）一个三位数除以17和19都有余数，并且除以17后所得的商与余数的和等于它除以19后所得到的商与余数的和.则这样的三位数中最大数是多少，最小数是多少？【解析】设这个三位数为一它除以17和19的商分别为和，余数分别为,”和“，则,=1
6、7，求ahft.【解析】ah-Ixt能被7整除，即（10+）-（10/+“）=9能被7整除.所以只能有7则%可能为92和81,验算可得当i=92时，后=29满意题目要求，而X而=92x29=2668KM1.学校新买来118个乒乓球，67个乒乓球拍和33个乒乓球网，假如将这三种物品平分给每个班级，则这三种物品剩下的数量相同.请问学校共有多少个班？【解析】所求班级数是除以118,67.33余数相同的数.则可知该数应当为118-67=51和67-33=X的公约数，所求答案为17.【观】（2000年全国小学数学奥林匹克试题）在除13511,13903与14589时能剩下相同余数的最大整数是.【解析】因
7、为13903-13511=392,14589-13903=686.由于13511,13903,14589要被同一个数除时，余数相同，则，它们两两之差必能被同一个数整除.（392.686）=98,所以所求的最大整数是98.【例71（2003年南京市少年教学智力冬令营试题）2、“与2003?的和除以7的余数是【解析】找规律.用7除2,232i,2322,的余数分别是2,4,1,2,4.1,2,4,1,2的个数是3的倍数时，用7除的余数为1：2的个数是3的倍数多1时，用7除的余数为2；2的个数是3的倍数多2时，用7除的余数为4.因为2=y2,所以2刈除以7余4.又两个数的积除以7的余数，与两个数分别
8、除以7所得余数的积相同.而2003除以7余1,所以2003邛余以7余1.故2皿与20（讲的和除以7的余数是4+1=5.F（2004年南京市少年数学智力冬令营试题）在1995,1998,2000,2001,2003中，着其中几个数的和被9除余7,则将这几个数归为一组.这样的数组共有组.【解析】1995,1998,2000,2001,2003除以9的余数依次是6,0,2,3,5.因为2+5=2+5+0=7,2+5+3+6=0+2+5+3+6=7+9,所以这样的数组共有下面4个:（2000,2003）,（1998,2000,2003）,【例8】（2005年全国小学数学奥林匹克试题）有一个整数，用它去
9、除70,110,160所得到的3个余数之和是50,则这个整数是.【解析】（70+110+160）-50=290,50+3=16.2,除数应当是290的大于17小于70的约数，只可能是29和58,110+58=1.52,5250.所以除数不是58.7029=2.12,IIO29=3.23，I6O29=5.15-12+23+15=50.所以除数是29【仪（2002年全国小学数学奥林匹克试题）用自然数n去除63,91,129得到的三个余数之和为25,则D=【解析】n能整除63+91+129-25=258.因为25+3=8.1,所以n是258大于8的约数.明显，n不能大于63.符合条件的只有43.【观
10、】号码分别为101,126,173,193的4个运动员进行乒乓球竞赛,规定每两人竞赛的盘数是他们号码的和被3除所得的余数.则打球盘数最多的运动员打了多少盘【解析】本题可以体现出加法余数定理的巧用。计算101，126,173,193除以3的余数分别为2,0,2,1。则随意两名运动员的竞赛盘数只须要用2,0,2,1两两相加除以3即可。明显126运动员打5盘是最多的。例9(2002年小学生数学报数学邀请赛试题)六名小学生分别带着14元、17元、18元、21元、26元、37元钱，一起到新华书店购买成语大词典.一看定价才发觉有5个人带的钱不尊，但是其中甲、乙、丙3人的钱凑在一起恰好可买2本，丁、戊2人的
11、钱决在一起恰好可买1本.这种成语大词典的定价是元.【解析】六名小学生共带钱133元.133除以3余1,因为甲、乙、丙、丁、戊的钱恰好能买3本，所以他们五人带的钱数是3的倍数，另人带的钱除以3余1.易知，这个钱数只能是37元，所以每本成语大词典的定价是(14+17+18+21+26)+3=32(元).【观事】(2000年全国小学数学奥林匹克试题)商店里有六箱货物，分别就15,16,18,19,20,31千克，两个顾客买走了其中的五箱.已如一个顾客买的货物重量是另一个顾客的2倍，则商店剩下的一箱货物重:是千克.【解析】两个顾客买的货物重量是3的倍数.(15+16+18+19+20+31)+(1+2
12、)=119+3=39.2,剩下的一箱货物重量除以3应当余2,只能是20千克.【例10求2461x1.35x6(7+I1.的余数.【解析】因为2461+11=223.8，135+11=12.3,MM711=549.8.依据同余定理（三），2461xI35x6(M7+1.1.的余数等于8x3x8+11的余数，而8x3x8=192,192+11=17.5,所以2461x135x6047+11的余数为5.【观事】(华罗庚金杯赛模拟试图求47821)63S1.除以17的余数.【解析】先求出乘积再求余数，计算量较大.可先分别计算出各因数除以17的余数，再求余数之积除以17的余数.47829635I除以17
13、的余数分别为2,7和11,(2x7x11)+17=9.I.【观国】求3叼的最终两位数.【解析】即考虑3叱除以10。的余数.由于100=4x25,由于3j=27除以25余2,所以3除以25余8,3,除以25余24,则3*除以25余1：又因为32除以4余1,则3除以4余1；即3&-1能被4和25整除，而4与25互质，所以32-1能被100整除，即料除以100余1,由于I997=2O99I7,所以除以100的余数即等于3”除以100的余数，三3ft=729除以100余29,3=243除以100余43,3=(323所以3”除以100的余数等于29x29x43除以100的余数，而29x29x43=36除
14、以100余63,所以3皿除以100余63,即3一的最终两位数为63.【观事】举二2除以13所得余数是2dXt2【解析】我们发觉222222整除13,20006余2,所以答案为2213余9。【乱】求143”除以7的余数.【解析】法一：由于1433(mod7)(143被7除余3),所以143tw=V(nx1.7)(I43v被7除所得余数与y被7除所得余数相等)而3=729,729-1(mod7)(729除以7的余数为1，IU3w=363*x3*3*=3s=5(mod7).而故M*除以7的余数为5.法二：计算十被7除所得的余数可以用找规律的方法，规律如下表:33j3,33,363mod732645I
15、3于是余数以6为周期改变.所以3/=T=5（mod7）.【虱】（2007年试验中学考题）f+7+3+200-+2002除以7的余数是多少？【解析】由于I、？、?、+2P+UXf1.z=2223x4b=1001.X231335而1001是7的6倍数，所以这个乘枳也是7的倍数，故3。+2001，+2002?除以7的余数是0:【虱】（31+”，）被I；除所得的余数是多少？【解析】31被13除所得的余数为5,当n取1,2,3,时5,被13除所得余数分别是5,12,8,1,5,12,8,1-以4为周期循环出现,所以5”被13除的余数与口被13除的余数相同，余12,则3产除以13的余数为12：30被13除
16、所得的余数是4,当n取1,2,3,时，4被13除所得的余数分别是4,3,12,9,10,1,4,3,12,9,10,以6为周期循环出现，所以4被13除所得的余数等于4被于除所得的余数,即4,故30”除以13的余数为4；所以（3产+3On）被13除所得的余数是12+4-13=3.【观事】（2008年奥数网杯）已知“20082008200S,问：“除以13所得的余数是多少？【解析】2008除以13余6,100Oo除以13余3,留意到282O）8=281.（XX）O+2008:依据这样的递推规律求出余数的改变规律：20082008除以13余6x3+6-13=11,2除以13余1.x3+6-39=O,
17、即2是13的倍数.而20(然除以3余1,所以“=2(X)820082(X)X除以13的余数与2008除以13的余数-H1141G5-相同，为6.KM1.也卫除以41的余数是多少？*eimt7【解析】找规律：7+41=7，774!=.36r777+41=39，7777+41=.28,7777741=0.,所以77777是41的倍数，而1996+5=399I,所以777777IQW-I-T可以分成399段77777和1个7组成，则它除以41的余数为7.hc)t在校对时，发觉右边的积的数字依次出现错误，但是知道*终一位6是正确的，问原式中的而是多少?【解析】由于234235286=2+3+4+2+3
18、+5+2+8+6=8(mod9)，abc1.+c),(mod9)，于是(+c)=MmOd9),从而(用rt+c=0.1,2.Jmod9)代入上式检验)a+c三2,5,8(mod9)，对“进行探讨：假如=9,则+c=25.8(mod9)(2),又CXaX的个位数字是6,所以xc的个位数字为4,bxc可能为4x1、72,8x3、6x4,其中只有(EC)=(44M&3)符合(2),经检脸只有983X839X398=328245326符合题意.假如“=8,则+c=36(Xmod9)，又6+c三4,7,1.(mod9)-(4),则匕XC可能为4/2、6x3,其中没有符合(4)的(b.c).假S1.ag6
19、,MJ5.c4,五X后7600X500210000000BP(-bX+Z)=0(mod(2n+i)由于211+1.是质数,所以+“(Xmodj+D)或“三(X三k2rt+1),由于“+/,“-Z均小于2+1且大于0可知,+b与2w+1.互质，-也与2+1互质，即+0,-b都不能被2+1整除，产生冲突，所以假设不成立，原题得证.f1.1.试求不大于100,且使307”+4能被11整除的全部自然数n的和.【解析】通过逐次计算，可以求出3,被11除的余数，依次为：丁为3,3；为9,一为5,3”为4,3,为1,，因而被11除的余数5个构成一个周期：3,9,5,4,1,3,9,5,4,1,；类似地，可以求出7。被11除的余数10个构成个周期：7,5,2,3,10,4,6,9,8,于是3+7+4被11除的余数也是IO个构成一个周期：3,7,0,0,4,0,8,7,5,6,：这就表明，每个周期中，只有第3、4、6个这三个数满意题意，即”=3.4.6.13.14.16.93.94.96时3+T+4能被11整除，所以，全部满意条件的自然数11的和为：【观国】若，为自然数，证明U产-1，).【解析】10=2x5,由于产与产的奇偶性相同，所以2|(产-产)./5=尸9),假如。能被5整除，则W-);假如不能被5整除,则“被5除的余数为1、2、3或者4,/被5除的余数为r、2、3,
