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1、三角函数推导公式1.诱导公式sin(-a) = - sin(a) cos(-a) = cos(a)sin(/2 - a) = cos(a)cos(/2 - a) = sin(a)sin(/2 + a) = cos(a)cos(/2 + a) = - sin(a)sin( - a) = sin(a)cos( - a) = - cos(a)sin( + a) = - sin(a)cos( + a) = - cos(a)2.两角和与差的三角函数sin(a + b) = sin(a)cos(b) + cos()sin(b)cos(a + b) = cos(a)cos(b) - sin(a)sin(b)
2、sin(a - b) = sin(a)cos(b) - cos(a)sin(b)cos(a - b) = cos(a)cos(b) + sin(a)sin(b)tan(a + b) = tan(a) + tan(b) / 1 - tan(a)tan(b)tan(a - b) = tan(a) - tan(b) / 1 + tan(a)tan(b)3.和差化积公式 sin(a) + sin(b) = 2sin(a + b)/2cos(a - b)/2sin(a) - sin(b) = 2sin(a - b)/2cos(a + b)/2 cos(a) + cos(b) = 2cos(a + b)/
3、2cos(a - b)/2 cos(a) - cos(b) = - 2sin(a + b)/2sin(a - b)/2 4.积化和差公式sin(a)sin(b) = - 1/2cos(a + b) - cos(a - b)cos(a)cos(b) = 1/2cos(a + b) + cos(a -b)sin(a)cos(b) = 1/2sin(a + b) + sin(a - b)5.二倍角公式 sin(2a) = 2sin(a)cos(a)cos2a = cos2a - sin2a = 2cos2a-1=1 - 2sin2a6.半角公式sin2a = 1 cos2a/ 2cos2a = 1
4、+ cos2a/ 2tana = 1 cos2a /sin2a = sin 2a / 1 + cos 2a7.万能公式 sin(a) = 2tan(a/2) / 1+tan2(a/2)cos(a) = 1-tan2(a/2) / 1+tan2(a/2)tan(a) = 2tan(a/2) / 1-tan2(a/2) 三角函数公式求助编辑百科名片三角函数是数学中属于初等函数中的超越函数的一类函数。它们的本质是任何角的集合与一个比值的集合的变量之间的映射。通常的三角函数是在平面直角坐标系中定义的。其定义城为整个实数城。另一种定义是在直角三角形中，但并不完全。现代数学把它们描述成无穷敖列的极限和微分
5、方程的解，将其定义扩展到复数系。目录公式分类同角三角函数的根本关系平常针对不同条件的常用的两个公式一个特殊公式坡度公式锐角三角函数公式二倍角公式三倍角公式三倍角公式半角公式万能公式其他四倍角公式五倍角公式六倍角公式七倍角公式八倍角公式九倍角公式十倍角公式N倍角公式半角公式两角和公式三角和公式和差化积积化和差双曲函数三角函数的诱导公式六公式万能公式其它公式容规律公式分类同角三角函数的根本关系平常针对不同条件的常用的两个公式一个特殊公式坡度公式锐角三角函数公式二倍角公式三倍角公式三倍角公式半角公式万能公式其他四倍角公式五倍角公式六倍角公式七倍角公式八倍角公式九倍角公式十倍角公式N倍角公式半角公式两
6、角和公式三角和公式和差化积积化和差双曲函数三角函数的诱导公式六公式万能公式其它公式容规律展开编辑本段公式分类同角三角函数的根本关系倒数关系： tan cot=1 sin csc=1 cossec=1 商的关系： sin/cos=tan=sec/csc 平方关系： 平常针对不同条件的常用的两个公式一个特殊公式sina+sin*sina-sin=sina+*sina- 证明：sina+sin*sina-sin=2 sin(+a)/2 cos(a-)/2 *2 cos(+a)/2 sin(a-)/2 =sina+*sina- 坡度公式我们通常把坡面的铅直高度h与水平高度l的比叫做坡度也叫坡比， 用字
7、母i表示， 即 i=h / l,坡度的一般形式写成 l : m形式，如i=1:5.如果把坡面与水平面的夹角记作 a(叫做坡角，则 i=h/l=tan a. 锐角三角函数公式正弦： sin=的对边/ 的斜边 余弦：cos=的邻边/的斜边 正切：tan=的对边/的邻边 余切：cot=的邻边/的对边 二倍角公式正弦sin2A=2sinAcosA 余弦 正切 tan2A=2tanA/1-tan2(A) 三倍角公式三倍角公式sin3=4sinsin(/3+)sin(/3-) cos3=4coscos(/3+)cos(/3-) tan3a = tan a tan(/3+a) tan(/3-a) 三倍角公式
8、推导 sin(3a) =sin(a+2a) =sin2acosa+cos2asina =2sina(1-sina)+(1-2sina)sina =3sina-4sin3a cos3a =cos(2a+a) =cos2acosa-sin2asina =(2cosa-1)cosa-2(1-cosa)cosa =4cos3a-3cosa sin3a=3sina-4sin3a =4sina(3/4-sina) =4sina(3/2)-sina =4sina(sin60-sina) =4sina(sin60+sina)(sin60-sina) =4sina*2sin(60+a)/2cos(60-a)/2
9、*2sin(60-a)/2cos(60-a)/2 =4sinasin(60+a)sin(60-a) cos3a=4cos3a-3cosa =4cosa(cosa-3/4) =4cosacosa-(3/2)2 =4cosa(cosa-cos30) =4cosa(cosa+cos30)(cosa-cos30) =4cosa*2cos(a+30)/2cos(a-30)/2*-2sin(a+30)/2sin(a-30)/2 =-4cosasin(a+30)sin(a-30) =-4cosasin90-(60-a)sin-90+(60+a) =-4cosacos(60-a)-cos(60+a) =4co
10、sacos(60-a)cos(60+a) 上述两式相比可得 tan3a=tanatan(60-a)tan(60+a) 现列出公式如下： sin2=2sincos tan2=2tan/(1-tan cos2=cos-sin=2cos-1=1-2sin 可别轻视这些字符，它们在数学学习中会起到重要作用，包括在一些图像问题和函数问题中 三倍角公式sin3=3sin-4sin=4sinsin(/3+)sin(/3-) cos3=4cos-3cos=4coscos(/3+)cos(/3-) tan3=tan()*(-3+tan()2)/(-1+3*tan()2)=tan a tan(/3+a) tan(
11、/3-a) 半角公式sin2(/2)=(1-cos)/2 cos2(/2)=(1+cos)/2 tan2(/2)=(1-cos)/(1+cos) tan(/2)=sin/(1+cos)=(1-cos)/sin 万能公式sin=2tan(/2)/1+tan(/2) cos=1-tan(/2)/1+tan2(/2) tan=2tan(/2)/1-tan&s(/2) 其他sin+sin(+2/n)+sin(+2*2/n)+sin(+2*3/n)+sin+2*(n-1)/n=0 cos+cos(+2/n)+cos(+2*2/n)+cos(+2*3/n)+cos+2*(n-1)/n=0 以及sin2()
12、+sin2(-2/3)+sin2(+2/3)=3/2 tanAtanBtan(A+B)+tanA+tanB-tan(A+B)=0 四倍角公式sin4A=-4*(cosA*sinA*(2*sinA2-1) cos4A=1+(-8*cosA2+8*cosA4) tan4A=(4*tanA-4*tanA3)/(1-6*tanA2+tanA4) 五倍角公式sin5A=16sinA5-20sinA3+5sinA cos5A=16cosA5-20cosA3+5cosA tan5A=tanA*(5-10*tanA2+tanA4)/(1-10*tanA2+5*tanA4) 六倍角公式sin6A=2*(cosA
13、*sinA*(2*sinA+1)*(2*sinA-1)*(-3+4*sinA2) cos6A=(-1+2*cosA)*(16*cosA4-16*cosA2+1) tan6A=(-6*tanA+20*tanA3-6*tanA5)/(-1+15*tanA-15*tanA4+tanA6) 七倍角公式sin7A=-(sinA*(56*sinA2-112*sinA4-7+64*sinA6) cos7A=(cosA*(56*cosA2-112*cosA4+64*cosA6-7) tan7A=tanA*(-7+35*tanA2-21*tanA4+tanA6)/(-1+21*tanA2-35*tanA4+7*
14、tanA6) 八倍角公式sin8A=-8*(cosA*sinA*(2*sinA2-1)*(-8*sinA2+8*sinA4+1) cos8A=1+(160*cosA4-256*cosA6+128*cosA8-32*cosA2) tan8A=-8*tanA*(-1+7*tanA2-7*tanA4+tanA6)/(1-28*tanA2+70*tanA4-28*tanA6+tanA8) 九倍角公式sin9A=(sinA*(-3+4*sinA2)*(64*sinA6-96*sinA4+36*sinA2-3) cos9A=(cosA*(-3+4*cosA2)*(64*cosA6-96*cosA4+36*
15、cosA2-3) tan9A=tanA*(9-84*tanA2+126*tanA4-36*tanA6+tanA8)/(1-36*tanA2+126*tanA4-84*tanA6+9*tanA8) 十倍角公式sin10A = 2*(cosA*sinA*(4*sinA2+2*sinA-1)*(4*sinA2-2*sinA-1)*(-20*sinA2+5+16*sinA4) cos10A = (-1+2*cosA2)*(256*cosA8-512*cosA6+304*cosA4-48*cosA2+1) tan10A = -2*tanA*(5-60*tanA2+126*tanA4-60*tanA6+5
16、*tanA8)/(-1+45*tanA2-210*tanA4+210*tanA6-45*tanA8+tanA10) N倍角公式根据棣美弗定理，(cos+ i sin)n = cos(n)+ i sin(n) 为方便描述，令sin=s，cos=c 考虑n为正整数的情形： cos(n)+ i sin(n) = (c+ i s)n = C(n,0)*cn + C(n,2)*c(n-2)*(i s)2 + C(n,4)*c(n- 4)*(i s)4 + . +C(n,1)*c(n-1)*(i s)1 + C(n,3)*c(n-3)*(i s)3 + C(n,5)*c(n-5)*(i s)5 + . =
17、比拟两边的实部与虚部 实部：cos(n)=C(n,0)*cn + C(n,2)*c(n-2)*(i s)2 + C(n,4)*c(n-4)*(i s)4 + . i* (虚部)：i*sin(n)=C(n,1)*c(n-1)*(i s)1 + C(n,3)*c(n-3)*(i s)3 + C(n,5)*c(n-5)*(i s)5 + . 对所有的自然数n： 1. cos(n)： 公式中出现的s都是偶次方，而s2=1-c2(平方关系)，因此全部都可以改成以c(也就是cos)表示。 2. sin(n)： (1)当n是奇数时：公式中出现的c都是偶次方，而c2=1-s2(平方关系)，因此全部都可以改成以
18、s(也 就是sin)表示。 (2)当n是偶数时：公式中出现的c都是奇次方，而c2=1-s2(平方关系)，因此即使再怎么换成s，都至少会剩c(也就是 cos)的一次方无法消掉。 (例. c3=c*c2=c*(1-s2)，c5=c*(c2)2=c*(1-s2)2) 半角公式tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA) sin2(a/2)=(1-cos(a)/2 cos2(a/2)=(1+cos(a)/2 tan(a/2)=(1-cos(a)/sin(a)=sin(a)/(1+cos(a) 半角公式两角和公式两角和公式cos(+)=coscos-sinsin cos(-)
19、=coscos+sinsin sin(+)=sincos+cossin sin(-)=sincos -cossin tan(+)=(tan+tan)/(1-tantan) tan(-)=(tan-tan)/(1+tantan) cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA) cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA) 三角和公式sin(+)=sincoscos+cossincos+coscossin-sinsinsin cos(+)=coscoscos-cossinsin-sincossin-sinsincos tan(+)=(tan+tan
20、+tan-tantantan)/(1-tantan-tantan-tantan) 和差化积sin+sin =2sin(+)/2 cos(-)/2 和差化积公式sin-sin=2cos(+)/2 sin(-)/2 cos+cos=2cos(+)/2cos(-)/2 cos-cos= -2sin(+)/2sin(-)/2 tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB) tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB) 积化和差sinsin=-cos(+)-cos(-) /2 coscos=cos(+)
21、+cos(-)/2 sincos=sin(+)+sin(-)/2 cossin=sin(+)-sin(-)/2 双曲函数sh a = ea-e(-a)/2 ch a = ea+e(-a)/2 th a = sin h(a)/cos h(a) 公式一： 设为任意角，终边一样的角的同一三角函数的值相等： sin2k+= sin cos2k+= cos tan2k+= tan cot2k+= cot 公式二： 设为任意角，+的三角函数值与的三角函数值之间的关系： sin+= -sin cos+= -cos tan+= tan cot+= cot 公式三： 任意角与 -的三角函数值之间的关系： sin
22、-= -sin cos-= cos tan-= -tan cot-= -cot 公式四： 利用公式二和公式三可以得到-与的三角函数值之间的关系： sin-= sin cos-= -cos tan-= -tan cot-= -cot 公式五： 利用公式-和公式三可以得到2-与的三角函数值之间的关系： sin2-= -sin cos2-= cos tan2-= -tan cot2-= -cot 公式六： /2及3/2与的三角函数值之间的关系： sin/2+= cos cos/2+= -sin tan/2+= -cot cot/2+= -tan sin/2-= cos cos/2-= sin tan
23、/2-= cot cot/2-= tan sin3/2+= -cos cos3/2+= sin tan3/2+= -cot cot3/2+= -tan sin3/2-= -cos cos3/2-= -sin tan3/2-= cot cot3/2-= tan (以上kZ) Asin(t+)+ Bsin(t+) = (A+2ABcos(-) sint + arcsin (Asin+Bsin) / A2 +B2 +2ABcos(-) 表示根号,包括中的容 三角函数的诱导公式六公式公式一： sin(-) = -sin cos(-) = cos tan (-)=-tan 公式二： sin(/2-) =
24、 cos cos(/2-) = sin 公式三： sin(/2+) = cos cos(/2+) = -sin 公式四： sin(-) = sin cos(-) = -cos 公式五： sin(+) = -sin cos(+) = -cos 公式六： tanA= sinA/cosA tan/2+=cot tan/2=cot tan=tan tan+=tan 诱导公式 记背诀窍：奇变偶不变，符号看象限万能公式万能公式sin=2tan(/2)/1+(tan(/2) cos=1-(tan(/2)/1+(tan(/2) tan=2tan(/2)/1-(tan(/2) 其它公式三角函数其它公式(1) (
25、sin)2+(cos)2=1平方和公式 (2)1+(tan)2=(sec)2 (3)1+(cot)2=(csc)2 证明下面两式，只需将一式,左右同除(sin)2，第二个除(cos)2即可 (4)对于任意非直角三角形，总有 tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC 证： A+B=-C tan(A+B)=tan(-C) (tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tan-tanC)/(1+tantanC) 整理可得tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC 得证 同样可以得证,当*+y+z=n(nZ)时，该关系式也成立 由tanA+tanB+tanC=tanAt
26、anBtanC可得出以下结论 (5)cotAcotB+cotAcotC+cotBcotC=1 (6)cot(A/2)+cot(B/2)+cot(C/2)=cot(A/2)cot(B/2)cot(C/2) (7)(cosA)2+(cosB)2+(cosC)2=1-2cosAcosBcosC (8)sinA)2+(sinB)2+(sinC)2=2+2cosAcosBcosC 其他非重点三角函数 csc(a) = 1/sin(a) sec(a) = 1/cos(a) (seca)2+(csca)2=(seca)2(csca)2 幂级数展开式 sin * = *-*3/3!+*5/5!-+(-1)(k
27、-1)*(*(2k-1)/(2k-1)!+ * R cos * = 1-*2/2!+*4/4!-+(-1)k*(*(2k)/(2k)!+ * R arcsin * = * + 1/2*3/3 + 1*3/(2*4)*5/5 + (|*|1) arccos * = - ( * + 1/2*3/3 + 1*3/(2*4)*5/5 + ) (|*|1) arctan * = * - *3/3 + *5/5 - (*1) 无限公式 sin*=*(1-*2/2)(1-*2/42)(1-*2/92) cos*=(1-4*2/2)(1-4*2/92)(1-4*2/252) tan*=8*1/(2-4*2)+
28、1/(92-4*2)+1/(252-4*2)+ sec*=41/(2-4*2)-1/(92-4*2)+1/(252-4*2)-+ (sin*)*=cos*/2cos*/4cos*/8 (1/4)tan/4+(1/8)tan/8+(1/16)tan/16+=1/ arctan * = * - *3/3 + *5/5 - (*1) 和自变量数列求和有关的公式 sin*+sin2*+sin3*+sinn*=sin(n*/2)sin(n+1)*/2)/sin(*/2) cos*+cos2*+cos3*+cosn*=cos(n+1)*/2)sin(n*/2)/sin(*/2) tan(n+1)*/2)=
29、(sin*+sin2*+sin3*+sinn*)/(cos*+cos2*+cos3*+cosn*) sin*+sin3*+sin5*+sin(2n-1)*=(sinn*)2/sin* cos*+cos3*+cos5*+cos(2n-1)*=sin(2n*)/(2sin*) 编辑本段容规律三角函数看似很多，很复杂，但只要掌握了三角函数的本质及部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的部规律及本质也是学好三角函数的关键所在。 三角函数本质： 根据三角函数定义推导公式根据右图，有 sin=y/ r; cos=*/r; tan=y/*; cos=*/y 深刻理解了这一点，下面所有
30、的三角公式都可以从这里出发推导出来，比方以推导 sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 为例： 推导： 首先画单位圆交*轴于C，D，在单位圆上有任意A，B点。角AOD为，BOD为，旋转AOB使OB与OD重合，形成新AOD。 A(cos,sin),B(cos，sin),A(cos(-),sin(-) OA=OA=OB=OD=1,D(1,0) cos(-)-12+sin(-)2=(cos-cos)2+(sin-sin)2 和差化积及积化和差用复原法结合上面公式可推出换(a+b)/2与(a-b)/2 单位圆定义 单位圆六个三角函数也可以依据半径为一中心为原点的单位圆来定义。单位圆定
31、义在实际计算上没有大的价值；实际上对多数角它都依赖于直角三角形。但是单位圆定义确实允许三角函数对所有正数和负数辐角都有定义，而不只是对于在 0 和 /2 弧度之间的角。它也提供了一个图象，把所有重要的三角函数都包含了。根据勾股定理，单位圆的等式是： 图象中给出了用弧度度量的一些常见的角。逆时针方向的度量是正角，而顺时针的度量是负角。设一个过原点的线，同 *轴正半局部得到一个角 ，并与单位圆相交。这个交点的 *和 y坐标分别等于 cos 和 sin 。图象中的三角形确保了这个公式；半径等于斜边且长度为1，所以有 sin = y/1 和 cos = */1。单位圆可以被视为是通过改变邻边和对边的长度，但保持斜边等于 1的一种查看无限个三角形的方式。
