勾股定理经典例题详解.doc

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1、勾股定理经典例题详解知识点一：勾股定理如果直角三角形的两直角边长分别为：a，b，斜边长为c，那么a2b2c2即直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方要点诠释：1勾股定理揭示的是直角三角形平方关系的定理。 2勾股定理只适用于直角三角形，而不适用于锐角三角形和钝角三角。 3理解勾股定理的一些变式： c2=a2+b2, a2=c2-b2， b2=c2-a2 ，c2=(a+b)2-2ab知识点二：用面积证明勾股定理方法一：将四个全等的直角三角形拼成如图1所示的正方形。 图1中，所以。 方法二：将四个全等的直角三角形拼成如图2所示的正方形。 图2中，所以。方法三：将四个全等的直角三角形分别拼成如图3

2、1和32所示的两个形状一样的正方形。 在31中，甲的面积=大正方形面积4个直角三角形面积, 在32中，乙和丙的面积和=大正方形面积4个直角三角形面积, 所以，甲的面积=乙和丙的面积和，即：.方法四：如图4所示，将两个直角三角形拼成直角梯形。 ，所以。知识点三：勾股定理的作用1直角三角形的两条边长求第三边；2直角三角形的一条边，求另两边的关系；3用于证明平方关系的问题； 4利用勾股定理，作出长为的线段。2. 在理解的根底上熟悉如下勾股数满足不定方程x2+y2=z2的三个正整数，称为勾股数又称为高数或毕达哥拉斯数，显然，以x,y,z为三边长的三角形一定是直角三角形。 熟悉如下勾股数，对解题是会有帮

3、助的：3、4、55、12、13；8、15、17；7、24、25；10、24、26；9、40、41如果(a,b,c)是勾股数，当t0时，以at,bt,ct为三角形的三边长，此三角形必为直角三角形。经典例题透析类型一：勾股定理的直接用法1、在RtABC中，C=90(1)a=6， c=10，求b，(2)a=40，b=9，求c；(3)c=25，b=15，求a.思路点拨: 写解的过程中，一定要先写上在哪个直角三角形中，注意勾股定理的变形使用。解析：(1) 在ABC中，C=90，a=6，c=10,b=(2) 在ABC中，C=90，a=40，b=9,c=(3) 在ABC中，C=90，c=25，b=15,a=

4、总结升华：有一些题目的图形较复杂，但中心思想还是化为直角三角形来解决。如：不规如此图形的面积，可转化为特殊图形求解，此题通过将图形转化为直角三角形的方法，把四边形面积转化为三角形面积之差或和。举一反三【变式】:如图B=ACD=90, AD=13,CD=12, BC=3,如此AB的长是多少?【答案】ACD=90AD=13, CD=12AC2 =AD2CD2=132122=25AC=5又ABC=90且BC=3由勾股定理可得AB2=AC2BC2 =5232 =16AB= 4AB的长是4.类型二：勾股定理的构造应用2、如图，：在中，. 求：BC的长. 思路点拨：由条件，想到构造含角的直角三角形，为此作

5、于D，如此有，再由勾股定理计算出AD、DC的长，进而求出BC的长. 解析：作于D，如此因，的两个锐角互余在中，如果一个锐角等于，那么它所对的直角边等于斜边的一半. 根据勾股定理，在中，. 根据勾股定理，在中，. . 总结升华：利用勾股定理计算线段的长，是勾股定理的一个重要应用. 当题目中没有垂直条件时，也经常作垂线构造直角三角形以便应用勾股定理. 举一反三【变式1】如图，：，于P. 求证：. 思路点拨: 图中已有两个直角三角形，但是还没有以BP为边的直角三角形. 因此，我们考虑构造一个以BP为一边的直角三角形. 所以连结BM. 这样，实际上就得到了4个直角三角形. 那么根据勾股定理，可证明这几

6、条线段的平方之间的关系.解析：连结BM，根据勾股定理，在中，. 而在中，如此根据勾股定理有. 又，. 在中，根据勾股定理有，. 【变式2】：如图，B=D=90，A=60，AB=4，CD=2。求：四边形ABCD的面积。分析：如何构造直角三角形是解此题的关键，可以连结AC，或延长AB、DC交于F，或延长AD、BC交于点E，根据此题给定的角应选后两种，进一步根据此题给定的边选第三种较为简单。解析：延长AD、BC交于E。A=60，B=90，E=30。AE=2AB=8，CE=2CD=4，BE2=AE2-AB2=82-42=48，BE=。 DE2= CE2-CD2=42-22=12，DE=。S四边形ABC

7、D=SABE-SCDE=ABBE-CDDE=类型三：勾股定理的实际应用一用勾股定理求两点之间的距离问题3、如下列图，在一次夏令营活动中，小明从营地A点出发，沿北偏东60方向走了到达B点，然后再沿北偏西30方向走了500m到达目的地C点。1求A、C两点之间的距离。2确定目的地C在营地A的什么方向。思路点拨：把实际问题中的角度转化为图形中的角度，利用勾股定理求解。解析：1过B点作BE/AD DAB=ABE=6030+CBA+ABE=180CBA=90 即ABC为直角三角形 由可得：BC=500m，AB= 由勾股定理可得： 所以2在RtABC中， BC=500m，AC=1000m CAB=30DAB

8、=60DAC=30 即点C在点A的北偏东30的方向总结升华：此题是一道实际问题，从条件出发判断出ABC是直角三角形是解决问题的关键。此题涉与平行线的性质和勾股定理等知识。举一反三【变式】一辆装满货物的卡车，其外形高2.5米，宽1.6米，要开进厂门形状如图的某工厂，问这辆卡车能否通过该工厂的厂门?【答案】由于厂门宽度是否足够卡车通过，只要看当卡车位于厂门正中间时其高度是否小于CH如下列图，点D在离厂门中线0.8米处，且CD， 与地面交于H解：OC1米(大门宽度一半)，OD0.8米卡车宽度一半在RtOCD中，由勾股定理得：CD.米，C.米.米因此高度上有0.4米的余量，所以卡车能通过厂门二用勾股定

9、理求最短问题4、国家电力总公司为了改善农村用电电费过高的现状，目前正在全国各地农村进展电网改造，某地有四个村庄A、B、C、D，且正好位于一个正方形的四个顶点，现计划在四个村庄联合架设一条线路，他们设计了四种架设方案，如图实线局部请你帮助计算一下，哪种架设方案最省电线 思路点拨：解答此题的思路是：最省电线就是线路长最短，通过利用勾股定理计算线路长，然后进展比拟，得出结论 解析：设正方形的边长为1，如此图1、图2中的总线路长分别为AB+BC+CD3，AB+BC+CD3图3中，在RtABC中同理图3中的路线长为图4中，延长EF交BC于H，如此FHBC，BHCH由FBH与勾股定理得：EAEDFBFCE

10、F12FH1此图中总线路的长为4EA+EF 32.8282.732 图4的连接线路最短，即图4的架设方案最省电线总结升华：在实际生产工作中，往往工程设计的方案比拟多，需要运用所学的数学知识进展计算，比拟从中选出最优设计此题利用勾股定理、等腰三角形的判定、全等三角形的性质举一反三【变式】如图，一圆柱体的底面周长为20cm，高为4cm，是上底面的直径一只蚂蚁从点A出发，沿着圆柱的侧面爬行到点C，试求出爬行的最短路程解：如图，在Rt中，底面周长的一半cm，根据勾股定理得提问：勾股定理 AC cm勾股定理答：最短路程约为cm类型四：利用勾股定理作长为的线段5、作长为、的线段。思路点拨：由勾股定理得，直

11、角边为1的等腰直角三角形，斜边长就等于，直角边为和1的直角三角形斜边长就是，类似地可作。作法：如下列图 1作直角边为1单位长的等腰直角ACB，使AB为斜边；2以AB为一条直角边，作另一直角边为1的直角。斜边为；3顺次这样做下去，最后做到直角三角形，这样斜边、的长度就是 、。总结升华：1以上作法根据勾股定理均可证明是正确的；2取单位长时可自定。一般习惯用国际标准的单位，如1cm、1m等，我们作图时只要取定一个长为单位即可。举一反三 【变式】在数轴上表示的点。解析：可以把看作是直角三角形的斜边，为了有利于画图让其他两边的长为整数，而10又是9和1这两个完全平方数的和，得另外两边分别是3和1。作法：

12、如下列图在数轴上找到A点，使OA=3，作ACOA且截取AC=1，以OC为半径，以O为圆心做弧，弧与数轴的交点B即为。类型五：逆命题与勾股定理逆定理6、写出如下原命题的逆命题并判断是否正确1原命题：猫有四只脚正确2原命题：对顶角相等正确3原命题：线段垂直平分线上的点，到这条线段两端距离相等正确4原命题：角平分线上的点，到这个角的两边距离相等正确思路点拨：掌握原命题与逆命题的关系。解析：1. 逆命题：有四只脚的是猫不正确2. 逆命题：相等的角是对顶角不正确3. 逆命题：到线段两端距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上正确4. 逆命题：到角两边距离相等的点，在这个角的平分线上正确总结升华：此题是为了

13、学习勾股定理的逆命题做准备。7、如果ABC的三边分别为a、b、c，且满足a2+b2+c2+50=6a+8b+10c，判断ABC的形状。思路点拨：要判断ABC的形状，需要找到a、b、c的关系，而题目中只有条件a2+b2+c2+50=6a+8b+10c，故只有从该条件入手，解决问题。 解析：由a2+b2+c2+50=6a+8b+10c，得 ：a2-6a+9+b2-8b+16+c2-10c+25=0, (a-3)2+(b-4)2+(c-5)2=0。 (a-3)20, (b-4)20, (c-5)20。 a=3，b=4，c=5。 32+42=52, a2+b2=c2。 由勾股定理的逆定理，得ABC是直

14、角三角形。 总结升华：勾股定理的逆定理是通过数量关系来研究图形的位置关系的,在证明中也常要用到。 举一反三【变式1】四边形ABCD中，B=90，AB=3，BC=4，CD=12，AD=13，求四边形ABCD的面积。【答案】：连结ACB=90，AB=3，BC=4AC2=AB2+BC2=25勾股定理AC=5AC2+CD2=169，AD2=169AC2+CD2=AD2ACD=90勾股定理逆定理【变式2】:ABC的三边分别为m2n2,2mn,m2+n2(m,n为正整数,且mn),判断ABC是否为直角三角形.分析:此题是利用勾股定理的的逆定理， 只要证明:a2+b2=c2即可证明： 所以ABC是直角三角形

15、.【变式3】如图正方形ABCD，E为BC中点，F为AB上一点，且BF=AB。 请问FE与DE是否垂直?请说明。【答案】答：DEEF。证明：设BF=a，如此BE=EC=2a, AF=3a，AB=4a, EF2=BF2+BE2=a2+4a2=5a2；DE2=CE2+CD2=4a2+16a2=20a2。连接DF如图DF2=AF2+AD2=9a2+16a2=25a2。 DF2=EF2+DE2, FEDE。经典例题精析类型一：勾股定理与其逆定理的根本用法1、假如直角三角形两直角边的比是3：4，斜边长是20，求此直角三角形的面积。思路点拨：在直角三角形中知道两边的比值和第三边的长度，求面积，可以先通过比值

16、设未知数，再根据勾股定理列出方程，求出未知数的值进而求面积。解析：设此直角三角形两直角边分别是3x，4x，根据题意得： 3x2+4x2202 化简得x216； 直角三角形的面积3x4x6x296总结升华：直角三角形边的有关计算中，常常要设未知数，然后用勾股定理列方程组求解。举一反三【变式1】等边三角形的边长为2，求它的面积。【答案】如图，等边ABC，作ADBC于D如此：BDBC等腰三角形底边上的高与底边上的中线互相重合ABACBC2等边三角形各边都相等BD1在直角三角形ABD中，AB2AD2+BD2，即：AD2AB2BD2413ADSABCBCAD注：等边三角形面积公式：假如等边三角形边长为a

17、，如此其面积为a。【变式2】直角三角形周长为12cm，斜边长为5cm，求直角三角形的面积。【答案】设此直角三角形两直角边长分别是x，y，根据题意得：由1得：x+y7，x+y249，x2+2xy+y249 (3)(3)(2)，得：xy12直角三角形的面积是xy126cm2【变式3】假如直角三角形的三边长分别是n+1，n+2，n+3，求n。思路点拨：首先要确定斜边最长的边长n+3，然后利用勾股定理列方程求解。解：此直角三角形的斜边长为n+3，由勾股定理可得：n+12+n+22n+32化简得：n24n2，但当n2时，n+110，n2总结升华：注意直角三角形中两“直角边的平方和等于“斜边的平方，在题目

18、没有给出哪条是直角边哪条是斜边的情况下，首先要先确定斜边，直角边。【变式4】以如下各组数为边长，能组成直角三角形的是 A、8，15，17 B、4，5，6 C、5，8，10 D、8，39，40解析：此题可直接用勾股定理的逆定理来进展判断，对数据较大的可以用c2a2+b2的变形：b2c2a2cac+a来判断。例如：对于选择D，8240+394039，以8，39，40为边长不能组成直角三角形。同理可以判断其它选项。【答案】：A【变式5】四边形ABCD中，B=90，AB=3，BC=4，CD=12，AD=13，求四边形ABCD的面积。解：连结ACB=90，AB=3，BC=4AC2=AB2+BC2=25勾

19、股定理AC=5AC2+CD2=169，AD2=169AC2+CD2=AD2ACD=90勾股定理逆定理S四边形ABCD=SABC+SACD=ABBC+ACCD=36类型二：勾股定理的应用2、如图，公路MN和公路PQ在点P处交汇，且QPN30，点A处有一所中学，AP160m。假设拖拉机行驶时，周围100m以内会受到噪音的影响，那么拖拉机在公路MN上沿PN方向行驶时，学校是否会受到噪声影响？请说明理由，如果受影响，拖拉机的速度为18km/h，那么学校受影响的时间为多少秒？ 思路点拨：1要判断拖拉机的噪音是否影响学校A，实质上是看A到公路的距离是否小于100m, 小于100m如此受影响，大于100m如

20、此不受影响，故作垂线段AB并计算其长度。2要求出学校受影响的时间，实质是要求拖拉机对学校A的影响所行驶的路程。因此必须找到拖拉机行至哪一点开始影响学校，行至哪一点后完毕影响学校。 解析：作ABMN，垂足为B。 在 RtABP中，ABP90，APB30， AP160， ABAP80。 在直角三角形中，30所对的直角边等于斜边的一半 点 A到直线MN的距离小于100m,这所中学会受到噪声的影响。 如图，假设拖拉机在公路MN上沿PN方向行驶到点C处学校开始受到影响，那么AC100(m)，由勾股定理得： BC21002-8023600, BC60。 同理，拖拉机行驶到点D处学校开始脱离影响，那么，AD

21、100(m)，BD60(m),CD120(m)。 拖拉机行驶的速度为 : 18km/h5m/s t120m5m/s24s。 答：拖拉机在公路 MN上沿PN方向行驶时，学校会受到噪声影响，学校受影响的时间为24秒。 总结升华:勾股定理是求线段的长度的很重要的方法,假如图形缺少直角条件,如此可以通过作辅助垂线的方法,构造直角三角形以便利用勾股定理。 举一反三【变式1】如图学校有一块长方形花园，有极少数人为了避开拐角而走“捷径，在花园内走出了一条“路。他们仅仅少走了_步路假设2步为1m，却踩伤了花草。解析：他们原来走的路为3+47(m)设走“捷径的路长为xm，如此故少走的路长为752(m)又因为2步

22、为1m，所以他们仅仅少走了4步路。【答案】4【变式2】如图中的虚线网格我们称之为正三角形网格，它的每一个小三角形都是边长为1的正三角形，这样的三角形称为单位正三角形。1直接写出单位正三角形的高与面积。2图中的平行四边形ABCD含有多少个单位正三角形？平行四边形ABCD的面积是多少？3求出图中线段AC的长可作辅助线。【答案】1单位正三角形的高为，面积是。2如图可直接得出平行四边形ABCD含有24个单位正三角形，因此其面积。3过A作AKBC于点K如下列图，如此在RtACK中， ，故类型三：数学思想方法一转化的思想方法我们在求三角形的边或角，或进展推理论证时，常常作垂线，构造直角三角形，将问题转化为

23、直角三角形问题来解决3、如下列图，ABC是等腰直角三角形，AB=AC，D是斜边BC的中点，E、F分别是AB、AC边上的点，且DEDF，假如BE=12，CF=5求线段EF的长。 思路点拨：现BE、CF，要求EF，但这三条线段不在同一三角形中，所以关键是线段的转化，根据直角三角形的特征，三角形的中线有特殊的性质，不妨先连接AD解：连接AD因为BAC=90，AB=AC又因为AD为ABC的中线，所以AD=DC=DBADBC且BAD=C=45因为EDA+ADF=90又因为CDF+ADF=90所以EDA=CDF所以AEDCFDASA所以AE=FC=5同理：AF=BE=12在RtAEF中，根据勾股定理得：，

24、所以EF=13。总结升华：此题考查了等腰直角三角形的性质与勾股定理等知识。通过此题，我们可以了解：当的线段和所求的线段不在同一三角形中时，应通过适当的转化把它们放在同一直角三角形中求解。二方程的思想方法4、如下列图，ABC中，C=90，A=60，求、的值。 思路点拨：由，再找出、的关系即可求出和的值。解：在RtABC中，A=60，B=90-A=30，如此，由勾股定理，得。因为，所以，。总结升华：在直角三角形中，30的锐角的所对的直角边是斜边的一半。举一反三：【变式】如下列图，折叠矩形的一边AD，使点D落在BC边的点F处，AB=8cm，BC=10cm，求EF的长。 解：因为ADE与AFE关于AE对称，所以AD=AF，DE=EF。因为四边形ABCD是矩形，所以B=C=90，在RtABF中，AF=AD=BC=10cm，AB=8cm，所以。所以。设，如此。在RtECF中，即，解得。即EF的长为5cm。