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1、word易拉罐形状和尺寸的最优设计摘 要利用数学分析的方法，建立在同样容积和材料的易拉罐哪种情况下具有最小的面积的数学模型。运用圆柱与正圆台最小面积的知识，结合图形得出一组解 , 通过进一步讨论、分析验证此解的合理性，最后利用LINGO软件求得其最优解，从而为生产易拉罐的公司设计出一个最优生产方案。 在第二个问题中，易拉罐被假定为圆柱体，针对材料最省的标准，得到了不同顶部、底部与侧面材料厚度比时的最优设计方案。针对材料厚度的不同，建立两个模型：模型一，设易拉罐各个局部厚度和材料单价完全一样，最优设计方案为半径与高的比为圆柱的高,为圆柱的半径；模型二，设易拉罐顶盖、底部厚度是罐身的3倍，通过计算
2、得到半径与高时，外表积最小。一般情况下，当顶盖、底部厚度是罐身的倍时，最优设计方案。在优化模型中，假设罐顶盖、底部的厚度是罐身的3倍，同样利用软件LINGO对其进展分析，得出时材料最省,即顶部为圆锥时材料最省，模型的结果在理论上成立，但与实际数据不符。原因是厂商在制作易拉罐时，不仅要考虑材料最省，还要考虑开盖时所受到的压力、制造工艺、外形美观、巩固耐用等因素。关键词：易拉罐；材料；LINGO；最优设计；形状与尺寸1. 问题重述我们只要稍加留意就会发现销量很大的饮料 (例如饮料量为355毫升的可口可乐、啤酒等) 的饮料罐(即易拉罐)的形状和尺寸几乎都是一样的。看来，这并非偶然，这应该是某种意义下
3、的最优设计。当然，对于单个的易拉罐来说，这种最优设计可以节省的钱可能是很有限的，但是如果是生产几亿，甚至几十亿个易拉罐的话，可以节约的钱就很可观了，现在来研究易拉罐的形状和尺寸的最优设计问题。取一个饮料量为355毫升的易拉罐，例如355毫升的可口可乐饮料罐，测量你们认为验证模型所需要的数据，例如易拉罐各局部的直径、高度，厚度等，并把数据列表加以说明；如果数据不是你们自己测量得到的，那么你们必须注明出处。假设易拉罐是一个正圆柱体。什么是它的最优设计？其结果是否可以合理地说明你们所测量的易拉罐的形状和尺寸，例如说，半径和高之比等等。2.问题分析问题的重要性分析社会背景我们只要稍加留意就会发现销量很
4、大的饮料公司的饮料罐即易拉罐的形状和尺寸几乎都是一样的。为什么不同的大公司会用几乎一样的饮料罐？我们通过分析发现这些公司都有一个共同的特点，销售量特别大。我们知道对于最优设计的少数易拉罐来说节省的钱是有限的，但是如果是生产几亿、甚至几十亿个易拉罐的话，那么节约的钱就很可观了。由此看来，这些公司相似的设计绝对不是偶然的，这应该是某中意义下的最优设计。 所谓的最优生产方案即生产经营单位利用有限的空间、物质资源与生产能力，在一定时间，将配置实现最优化的利用、调度，获得合理围的最大收益。真对生产易拉罐的公司来说,将其材料的费用、易拉罐用的材料、易拉罐的形状和尺寸、易拉罐的新颖时尚程度、易拉罐的个性化、
5、生产易拉罐的技术难度、易拉罐的环保、易拉罐对人体是否有有害影响等作为厂家综合考虑的因素，利用其间各种联系，可得出几种合理资源配置方案，再在这其中找出最优方案，即能使生产经营单位得到收益最高的方案，即所谓的这家易拉罐公司得到收益最高的方案。目前很多人在考虑易拉罐的最优设计时，只考虑体积一样时而没有考虑其他的条件，如易拉罐顶盖、底盖厚度与罐体厚度不同时，有些现实问题没有考虑到，材料的价格是否适宜，外表是否美观，所以我们尽量考虑到这些因素，找到最优设计。问题的思路分析假设最优化条件为保证容积的情况下，使制作易拉罐所需材料最省外表积为最小。在外表积为最小时，设圆柱形的体积V为常数，求底半径r与高度h的
6、比值，如果能求出一定比例，就能找出模型最优设计。在建立模型之前，必须考虑易拉罐的厚度，一种是在考虑节约材料前提下，另一种是在考虑材料受力的情况。模型一：易拉罐整体厚度一样时的最优设计模型1假设一：易拉罐是正圆柱体 2假设二：易拉罐整体厚度均一样模型二：易拉罐顶盖、底盖厚度与罐体厚度不同时的最优设计模型1假设一；易拉罐是正圆柱体2假设二；易拉罐顶盖、底盖厚度为3a,其它局部厚度为a4.符号说明1.模型一和模型二符号说明R:圆柱半径r:圆台半径H:圆柱高h:圆台高S:易拉罐外表积V:易拉罐体积MIN:最小化为方便在LINGO软件中计算，定义：X1:在软件LINGO中的圆柱半径RX2:在软件LING
7、O中的圆柱高HX3:在软件LINGO中的圆台半径rX4:在软件LINGO中的圆台高(h)4.2 易拉罐测量数据雪碧(mm)可乐(mm)芬达(mm)加多宝(mm) 平均 mm D1(罐盖直径)D2罐身直径D3罐底直径X1罐盖厚度X2罐身厚度X3罐底厚度H1罐盖高度H2罐身高度H3罐底高度 L罐盖斜边长度拉环长度425342484248425142505.模型的建立与求解2.模型一的建立模型一概述确定变量和参数：设易拉罐半径为R，高为H，,厚度为a，体积为V，其中r和h是自变量，所用材料的面积S是因变量，而V是固定参数，如此S和V分别为：设 模型建立：其中S是目标函数，是约束条件，V是的，即要在体
8、积一定的条件下求S的最小值时，r和h的取值是多少？模型求解：因为按照实际测量数据可知，所以带的项可以忽略，且，如此有 ，求的最小值，令其导数为零，即，解得临界点为，如此因为，如此，所以当时，是最优解。在假设易拉罐是正圆柱体且厚度均一样的条件下，当体积为固定参数，而外表积最小时，通过对面积求导，得到高是半径的两倍，r:h=1:2，此时，模型最优。确定变量和参数：设饮料半径为R，高为H，体积为V，易拉罐顶盖、底盖厚度为a,其它局部厚度为b。其中r和h是自变量，所用材料的体积S是因变量，而a,b,c和V是固定参数。如此S和V分别为： 其中, 模型建立：其中S是目标函数，是约束条件，厚度比例与V是的，
9、即要在体积V一定的条件下求r和h的取值是多少时体积S最小。模型求解:因为按照实际测量数据可知，所以带的项可以忽略，且，如此 .求的最小值，令其导数为零，即，解得临界点为,如此.因为，如此，因此当H=6R时，S为最优解。6.模型的分析2.1.1.2.3.4.5.6.假设易拉罐是正圆柱体，且顶盖、底部的厚度是罐身的三倍的条件下，当体积为固定参数，而外表积最小时，通过对外表积求导，得到半径与高的比是一比六，R:H=1:6，此时，观察模型一与模型二，可见当厚度比例不同时，半径与高的比不同，似乎有一定的联系，因此此题假设顶与底盖厚度为ab，壁的厚度为a，其中b为比例系数，如此R:H=1:2b。在不考虑厚
10、度的情况下，考虑节约材料前提下得到，底半径r是高度h的一半时，圆柱的外表积最小。考虑易拉罐顶盖、底盖厚度与罐体厚度不同的情况下，考虑了材料的厚度，因此，建立顶端是侧壁的三倍厚度因为此比例有利于罐身受力，便于开盖，高度h是底半径r的6倍时，圆柱的外表积最小。第一二种模型相较之下，第二种模型更费材料，第一种模型设计更优。7.模型的检验用模型计算数据与实际数据进展比对，计算误差大小，结合模型的分析说明误差产生的原因，以与误差是否在模型估计和实际许可的围之。所以，在不受力的情况下，假设易拉罐是一个正圆柱体，当底半径r是高度h的一半时，模型最优。不过，本文通过实际数据发现，厂商制作易拉罐时，不单单是考虑
11、材料最省，可能还考虑到开盖时所受到的压力，外形美观等因素，由于能力有限暂时无法解释。8.模型的推广模型在实际问题中的应用：这种模型是确定体积一样的时候，尽可能少使用材料，而且美观大方的设计理念，在生活中有很多应用，比如说很厂商需要找设计公司设计出用材料最少的包装盒，就会用到这种设计理念。9.模型的评价与优化1.2.3.4.5.6.7.8.9.优化设计，利用简单的算法简便了大局部运算，得出较为准确的模型。过于简略，模型并不很完善，实际情况边角误差较大。易拉罐上局部是一个正圆台，下局部是一个正圆柱体，易拉罐整体厚度不，确定变量和参数：设易拉罐顶盖半径为，底盖半径为R，正圆柱体高为H，正圆台高为h,
12、体积为V，其中R,r,H,h是自变量，所用材料的体积S是因变量，而V是固定参数，如此S和V分别为：其中9.2.2优化模型的建立、求解与分析 模型建立：其中S是目标函数，是约束条件，V是的，即要在体积一定的条件下求外表积最小值时，R，r，H，h的取值各是多少？模型求解：利用LINGO求解，设=,且, 如此利用LINGO计算结果见附表二，得，时，S为最优解。模型分析：在假设易拉罐上局部是一个正圆台，下局部是一个正圆拄体，且厚度不同，顶盖、底部半径是罐身3倍的条件下，当体积为固定参数，而外表积最小时，通过软件LINGO得到约等于，模型最优。以材料节约、实用为根底，建立易拉罐的形状和尺寸最有设计的模型
13、。这个模型更为优化。因为，本文在建立模型时发现，这个模型在制作过程中，所用材料更为节约，造价更低，所以，这种模型更为优化。参考文献1 吕显瑞等,数学建模竞赛辅导教材M,：大学,2002。2 来福,曾文艺,数学模型与数学建模M.：师大学，1997。3 如栋,于延荣,数学模型与数学建模M.：国防工业,2006。4 姜启源,谢金星,叶俊,数学模型第三版M.：高等教育,2003。5 梁炼，数学建模M。华东理工大学大学 2005.3。6 邓俊辉 译,计算几何-算法与应用第二版M.：清华大学，2005.9。7叶其孝，对一些问题的思考。 8王绵森、马知恩,工科数学分析根底(上册)，高等教育，19989吴英桦、俞加梁，容器设计，中国轻工业，199510解可新、韩立兴、林友联，最优化方法，某某大学，199710 / 10附件1. 附件一 标题：LINGO最优化软件说明： 在LINGO输入 min=(x12+x32+2*x1*x2+(x1+x3)*(x42+(x1-x3)2)(1/2)*3.1415926;3.14159*x12*x2+(1/3)*3.14159*(x12+x1*x3+x32)*x4=355;init:x1=2;x2=4;x3=2;x4=1; endinit得
