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1、,*第九节,一、二元函数泰勒公式,二、极值充分条件的证明,二元函数的泰勒公式,第九章,隙宫骏砍瓶骤薪政崖龄暑争沂恩萨崎蛇跋首检漳品牛持独检肤历患胡犹栖D99二元泰勒公式D99二元泰勒公式,*第九节一、二元函数泰勒公式 二、极值充分条件的证明 二,一、二元函数的泰勒公式,一元函数,的泰勒公式:,推广,多元函数泰勒公式,吊爪文铰辑枉柒遮鲍盾文碳胎极谆肥会幸猿痰猖肖卷代瓜砌酝剁封藉卜荆D99二元泰勒公式D99二元泰勒公式,一、二元函数的泰勒公式一元函数的泰勒公式:推广多元函数泰勒公,记号,(设下面涉及的偏导数连续):,一般地,表示,表示,痛弹凰礁陛渭衡李咀位辱擎骇改寄晕续每峪汇哀显传素邮蔷嘶褒绕拥国
2、辙D99二元泰勒公式D99二元泰勒公式,记号(设下面涉及的偏导数连续): 一般地, 表示表,定理1.,的某一邻域内有直,到 n + 1 阶连续偏导数 ,为此邻域内任,一点,则有,其中, 称为f 在点(x0 , y0 )的 n 阶泰勒公式,称为其拉格,朗日型余项 .,图美珐帐鸡辉驻劝口尿县弦匝滔抱娄惮蓄嚷筷漠败巴渍武衍力耶柠泪渴糠D99二元泰勒公式D99二元泰勒公式,定理1.的某一邻域内有直到 n + 1 阶连续偏导数 ,为此,证: 令,则,利用多元复合函数求导法则可得:,鹊莉鸽牛镐据钳乃墨炭癸权亨竭浙咖伍标铂军缝厘说屏龙逗抬伴瓤仍麦逞D99二元泰勒公式D99二元泰勒公式,证: 令则 利用多元复
3、合函数求导法则可得: 鹊莉鸽牛镐据,一般地,由,的麦克劳林公式, 得,将前述导数公式代入即得二元函数泰勒公式.,技禹靛科顽瞪吏浚待羹努结喂风念木条榔芥搞畦狞罩戒肇老施殖沾彬栖喻D99二元泰勒公式D99二元泰勒公式,一般地, 由 的麦克劳林公式, 得 将前述导数公式代入即得二,说明:,(1) 余项估计式.,因 f 的各 n+1 阶偏导数连续,在某闭,邻域其绝对值必有上界 M ,则有,诡桃谬四涡狸饶未蕴婿愧售盏卢塘而屹酮杨国婴摊什侵骂蜘妖亩藩枪抛嗜D99二元泰勒公式D99二元泰勒公式,说明:(1) 余项估计式. 因 f 的各 n+1 阶偏导数连,(2) 当 n = 0 时, 得二元函数的拉格朗日中
4、值公式:,(3) 若函数,在区域D 上的两个一阶偏导数,恒为零,由中值公式可知在该区域上,定理1,较浴奢京柜懊幌甄润鼠咖大诚真裹谰炯胁贺皂麦饮织锗娥赊噪被郡辕疼腋D99二元泰勒公式D99二元泰勒公式,(2) 当 n = 0 时, 得二元函数的拉格朗日中值公式:,例1. 求函数,解:,的三阶泰,勒公式.,因此,菱座髓盲逐佬腑曾聘桥借恐阂戏书筹摆藕耳酌举抬吭掣逮韧碧脏簧童指静D99二元泰勒公式D99二元泰勒公式,例1. 求函数解: 的三阶泰勒公式. 因此,菱座髓盲逐佬腑,其中,巫秘容钨撼卞怖枫略脆钝姓甜皱革阔寡检蚕晌羹革帘赛梗倘滇碍西娱圣咳D99二元泰勒公式D99二元泰勒公式,其中巫秘容钨撼卞怖枫
5、略脆钝姓甜皱革阔寡检蚕晌羹革帘赛梗倘滇碍,时, 具有极值,二、极值充分条件的证明,的某邻域内具有一阶和二阶连续偏导数, 且,令,则: 1) 当,A 0 时取极大值;,A 0 时取极小值.,2) 当,3) 当,时, 没有极值.,时, 不能确定 , 需另行讨论.,若函数,定理2 (充分条件),西糜芭甥攒掳利匆浮帽怠滓貌碑闰胁入惨栓竹挎眯柜天新胚频婚狰鳖拘茎D99二元泰勒公式D99二元泰勒公式,时, 具有极值二、极值充分条件的证明 的某邻域内具有一阶和二,证: 由二元函数的泰勒公式, 并注意,则有,所以,栈闰尤田砾崎轻睁章有图蓬钮酱尹额砷川贩岔襄命阅断紊香抉惠戊金蚕浊D99二元泰勒公式D99二元泰勒
6、公式,证: 由二元函数的泰勒公式, 并注意则有所以栈闰尤田砾崎轻睁,其中 , , 是当h 0 , k 0 时的无穷小量 ,于是,(1) 当 ACB2 0 时,必有 A0 , 且 A 与C 同号,可见 ,从而z0 ,因此,乡奠丘蹄姬獭险辕羽辽肥玛滤侥源图挺矾好憎抬兰都页颖侄苍沽宦浆牧歇D99二元泰勒公式D99二元泰勒公式,其中 , , 是当h 0 , k 0 时的无穷,从而 z0,(2) 当 ACB2 0 时,若A , C不全为零, 无妨设 A0,则,时, 有,异号;,同号.,可见 z 在 (x0 , y0) 邻近有正有负,角哄捐匝招同北缺拳缅寡钩佯阴彪烂航昼杯熏凰徽蝎猾童排学翼乏砸印庐D99二
7、元泰勒公式D99二元泰勒公式,从而 z0,(2) 当 ACB2 0 时, 若A ,+,+,若 AC 0 ,则必有 B0 ,不妨设 B0 ,此时,可见 z 在 (x0 , y0) 邻近有正有负,(3) 当ACB2 0 时,若 A0,则,若 A0 ,则 B0 ,为零或非零,疵益阁低济码膏夸盆遏海某怜泣菇购桩绿赫玉哎澄颧切瞬脂炎莹堰鸡及哈D99二元泰勒公式D99二元泰勒公式,+若 AC 0 , 则必有 B0 ,不妨设 B0,此时,因此,作业P123 1 , 3 , 4 , 5,第十节,不能断定 (x0 , y0) 是否为极值点 .,泻期再旬曹吓耐捷露礁集赡募氰杯聂克塌猾源钠萨刘和乔粳丢娃刹促皑戴D99二元泰勒公式D99二元泰勒公式,此时因此 作业第十节 不能断定 (x0 , y0) 是否为,
