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1、 毕 业 设 计（论 文）题目：泰勒公式及其在解题中的应用Title: Taylor formula and its application in solving problems学 院：理学院专 业：信息与计算科学姓 名： 学 号： 指导教师： 二零一二年六月摘 要泰勒公式是数学分析中的重要组成部分，它的理论方法已成为研究函数极限和估计误差等方面的不可或缺的工具，它集中体现了微积分“逼近法”的精髓，在近似计算方面有着得天独厚的优势，利用它可以将复杂问题简单化，可以将非线性问题化为线性问题，并且能满足相当高的精确度要求。它是微积分中值定理的推广，亦是应用高阶导数研究函数性态的重要工具。泰勒公式
2、在微积分的各个领域都有着重要的应用，而且泰勒公式“化繁为简”的功能在数学领域的研究方面也起到了很大的作用。文章除了介绍了带佩亚诺型余项和拉格朗日型余项的泰勒公式在常用的近似计算、求极限、不等式的证明、判断函数极值上作求解证明外，特别地，对泰勒公式在函数凹凸性及拐点判断、级数和广义积分敛散性判断、行列式计算等问题的应用上做了详细系统的介绍，并且本文讨论了一种新的证明泰勒公式的方法，进一步将泰勒公式推广到更一般的形式。关键词：泰勒公式； 佩亚诺型余项； 拉格朗日型余项； 应用ABSTRACTTaylors formula is an important part of mathematical a
3、nalysis, the theory has become an indispensable tool of the research function limits and estimation error, which embodies the essence of calculus approximation method, It have an unique advantage in the approximate calculation, it also can make complex issues into simplistic, non-linear problem into
4、 a linear problem, and can meet the very high accuracy requirements. It is the promotion of the mean value theorem in calculus, is also an important tool for the application of higher order derivatives of the functional state. Taylor formula in the calculus of the various fields have important appli
5、cations, and the Taylor formula for complex simple function in the mathematical field of research has played a significant role. This article in addition introdution Peano remainder and Lagrange remainder term of Taylor formula commonly used in approximate calculation, the limit inequality proof to
6、determine the function extremum for solving prove, in particular, A detailed introduction of the Taylor formula in the application of the function bump and the inflection point judgment, the judgment of convergence and divergence of series and generalized integral, determinant calculation, and the a
7、rticle discusses a new method to prove that the Taylor formula, further Taylor formula to the more general form.Keywords: Taylor formula; Peano more than; Lagrange remainder; application目 录1. 绪论11.1 综述11.2 泰勒公式的研究背景21.3 泰勒公式的研究意义21.4 泰勒公式的研究目的21.5 本论文所做的工作31.6 本论文的基本思路与采用的方法32. 泰勒公式42.1 泰勒公式的建立42.2
8、泰勒公式的定义62.2.1 带有佩亚诺(Peano)型余项的泰勒公式62.2.2 带有拉格朗日(Lagrange)型余项的泰勒公式73. 泰勒公式的新证明及其推广83.1 罗尔中值定理的两种推广形式83.2 泰勒公式的新证明103.3 泰勒公式的推广114. 泰勒公式在解题中的应用154.1 利用泰勒公式求近似值154.2 利用泰勒公式求极限164.3 泰勒公式在判断级数和广义积分的敛散性中的应用174.3.1 判断级数的敛散性174.3.2 判断广义积分的敛散性184.4 泰勒公式在判别函数的极值中的应用194.5 泰勒公式在不等式证明中的应用204.6 泰勒公式在判断函数凹凸性及拐点中的应
9、用224.6.1 判断函数凹凸性224.6.2 判别函数拐点244.7 泰勒公式在行列式计算方面的应用24结论及展望27致 谢28参考文献291. 绪 论1.1 综述十七世纪中叶，随着近代微积分的蓬勃发展，极限作为数学中的一个概念也就被明确地提了出来。但是最初提出的极限概念是含糊不清的，相关的许多理论常常难以自圆其说，甚至自相矛盾。极限理论的确立使得数学中出现了暂时混乱的局面，直到十九世纪才有了改善，首次给出极限严格定义的是捷克斯洛伐克的数学家贝尔纳波尔查诺，但对他来说有点遗憾的是，他的数学著作多半没有受到他同时代的人的重视，他的许多成果等到后来才被人们重新发现，但是此时功劳已经被别人抢占。1
10、820年，法国著名数学家柯西深度研究了极限定义，并创造性地用极限理论把微积分学中的定理加以严格的全面的证明。但柯西的极限定义中应用了描述性的语言“无限的趋近” “随意小”这些词汇，使得计算不够精确。在这一点上后来德国数学家魏尔斯特拉斯先生给出了精确的“”方法，并且获得了圆满的解决。至此，极限概念和极限理论才被完全地确定了下来。由于近代微积分的蓬勃发展以及函数的极限的重要地位，促使几乎所有的数学大师都致力于相关问题的研究，特别是泰勒、笛卡尔、费马、巴罗、沃利斯等人作出了具有代表性的工作，于是泰勒公式应运而生了。泰勒公式的理论方法已经成为研究函数极限和估计误差等方面不可或缺的数学工具，集中体现了微
11、积分“逼近法”的精髓，在近似计算方面有着得天独厚的优势，利用它可以将复杂问题简单化，可以将非线性问题化为线性问题，并且能满足相当高的精确度要求，泰勒公式在微积分的各个领域都有着重要的应用。泰勒公式是18世纪英国数学家泰勒，在微积分学中将函数展开成无穷级数而定义出来的。泰勒将函数展开成级数从而得到了泰勒公式。对于一般函数，设它在点存在直到阶的导数，由这些导数构成一个次多项式称为函数在点处的泰勒多项式，若函数在点上存在直至阶的导数，则有即称为在点处泰勒公式。众所周知， 泰勒公式在分析和研究数学问题中有着重要作用,它可以应用于求极限、判断函数极值、求高阶导数在某些点的数值、判断级数和广义积分收敛性、
12、近似计算、不等式证明等方面。1.2 泰勒公式的研究背景在数学史上，泰勒公式起源于牛顿插值的有限差分法。1715年泰勒出版的增量法及其逆一书中载有现在微积分教程中以他名字命名的一元函数的幂级数展开公式，当时是他通过对格雷戈里牛顿插值公式求极限而得到的。但是他的成果被同时代的很多人所忽视，直到1755年，欧拉把泰勒级数应用于他的“微分学”时才认识到其价值，后来拉格朗日用带余项的级数作为其函数理论的基础，从而进一步确认了泰勒级数的重要地位，泰勒也以函数的泰勒展开而闻名于后世。泰勒公式在数值微积分中起着非常重要的作用，泰勒公式“化繁为简”的功能在数学研究方面也发挥了很大的作用。关于泰勒公式的应用，已有
13、许多专家学者对它产生了浓厚的兴趣，它们对某些具体的题目作出了具体的解法，如证明不等式、求极限、判断函数凹凸性和敛散性、判别函数的极值、判断函数凹凸性及拐点、求渐近线、界的估和近似值的计算等等。虽然泰勒公式应用到各个数学领域很多，但同样也还有很多方面学者很少提及，因此在泰勒公式及其在解题中的应用方面我们有研究的必要，并且有着相当大的空间。1.3 泰勒公式的研究意义泰勒公式是一元微积分的一个基本理论，不仅在理论上占有重要地位，同时在近似计算、极限计算、函数性质的研究等方面也有重要应用，并且也是研究分析数学的不可或缺的工具。由于很多函数都能用泰勒公式来表示，并且研究函数近似值式和判断级数收敛性的问题
14、又要借助于泰勒公式。因此泰勒公式在数学实际应用中也是一种非常重要的应用工具，我们必须掌握它，以便更好更方便的研究一些复杂的函数、解决更多实际的数学问题。1.4 泰勒公式的研究目的 探索泰勒公式及其应用的新方法，借助泰勒公式的广泛应用，将泰勒公式的知识应用到数学解题的各个方面和领域中去，得出泰勒公式在数学各方面的应用和解求方法的简便性。1.5 本论文所作的工作由于泰勒公式在数学领域里的重要性，本论文将简单介绍泰勒公式及其各类型余项的泰勒公式展开式，简单讨论带有佩亚诺余项和带有拉格朗日余项的泰勒公式及其一些基本的在解题中应用的实际方法，同时也讨论了一种新的证明泰勒公式的方法，并将其作了进一步的推广
15、。1.6 本论文的基本思路与采用的方法将带有佩亚诺型余项和带有拉格朗日余项的泰勒公式应用到求极限、行列式、函数极值、近似值等实际的数学问题中去，通过分析比较得出最简捷的解题方法。 2. 泰勒公式2.1 泰勒公式的建立在研究函数的局部性态及对其进行计算时，往往由于函数的表达式比较复杂，给研究和计算带来了很大的困难，于是就提出一种想法：能否用一个计算简便而又能高度逼近的函数来代替原来复杂的的函数呢？而在所有的函数中最简单、最好算的莫过于多项式函数。因此为了更好更方便的研究一些复杂的函数自然而然地就会考虑到在局部范围内能否用多项式函数来逼近所研究的函数。如果能，那么这个多项式要如何给出呢？在学习导数
16、和微分概念时，若函数在处可导，则有=+即在点附近，用一次多项式+逼近函数，但是在很多场合用一次多项式逼近函数是不够的，往往需要用二次或二次以上的多项式去逼近函数并要求误差为。因此现在需要解决的问题是：如何提高精度？如何估计误差？令+为的一次多项式，其特点是：为此我们考察任意次多项式，要求: ,令逐次求它在点处的各阶导数，得到 ，故接下来将要对余项进行估计，令为余项，则有=( ) =（） = = = ()(),()当在的某领域内 时 （）所以有 上式即为在处的n阶泰勒公式。2.2 泰勒公式的定义泰勒公式按其不同的的余项分可为两类，一类是定性的，一类是定量的，它们的本质相同，但性质各异。定性的余项
17、为佩亚诺型余项，仅表示余项是，即当时高阶的无穷小。定量的余项为拉格朗日型余项（也可以写成，0），定量的余项一般用于对逼近误差进行具体的计算或估计。2.2.1 带有佩亚诺(Peano)型余项的泰勒公式定理2.1 若函数在点的某邻域存在直至阶导数, 则对此邻域内的点有 (2-1)其中，称佩亚诺余项，(2-1)式称为带有佩亚诺型余项的泰勒公式。当时, (2-2)(2-2)式称为（带佩亚诺余项的）麦克劳林(Maclaurin)公式。2.2.2 带有拉格朗日(Lagrange)型余项的泰勒公式定理2.2 若函数在上存在直至阶连续导数, 在（）内存在直至（+1）阶导数，则对任意给定的，至少存在一点（），使
18、得 (2-3)其中，称为拉格朗日余项，(2-3)式称为带有拉格朗日型余项的泰勒公式。当时， (2-4)其中，(2-4)式称为（带拉格朗日余项的）麦克劳林公式。注意到当=0 时，有此式即为拉格朗日中值公式，所以，泰勒定理可以看作是拉格朗日中值定理的推广。3. 泰勒公式的新证明及其推广 定理3.1 设函数在内存在直至（+1）阶连续导数,那么对任意给定的，有 这里称为在的次泰勒余项，简称泰勒余项，当=时称为佩亚诺余项，=时称为拉格朗日余项，其中在与之间。本文首先探寻得到了罗尔中值定理的两种推广形式，然后利用它得到了一种新的证明泰勒公式的方法，并且对泰勒公式作了进一步的推广。3.1 罗尔中值定理的两种
19、推广形式引理3.1 假设函数满足：（1）在上存在直至阶连续导数；（2）在（）内存在直至（+1）阶导数；（3），并且；那么在（）内至少存在一点,使得。证：在条件（3）中仅就，并且的情形给出证明, 而后一情形可类似地证明。由假设可知在在 上连续且可导, 且, 依罗尔定理可知道在（）内至少存在一点,使得,注意到在 上也连续且可导, 再依罗尔定理知在（）内至少存在一点,使得=0，再结合假设条件,反复使用罗尔定理（-2）次, 可得在上连续,在（）内可导, 且=0， 故知在（）内至少存在一点,使得。引理3.2 假设函数满足：（1）在上存在直至阶连续导数；（2）在（）内存在直至（+1）阶导数；（3），并且；
20、那么对任意常数，在（）内至少存在一点,使得+。证：由假设可类似引理3.1前面部分的证明, 连续次使用罗尔定理则可知在（） 内至少存在一点, 使得=0。于是对任何常数, 函数在上连续，在（）内可导, 且,依罗尔定理可知在（）内至少存在一点,使得，注意到在（）内，+=+从而有+=0即 +=0 显然引理3.1是引理3.2的一种特殊情形（）。3.2 泰勒公式的新证明已知泰勒公式：设函数在内存在直至（+1）阶连续导数,那么对任意的，有 (3-1)这里=，其中在与之间。证：由假设知对任意的，不妨设 (3-2)那么有 在(或者)上存在直到（+1）阶连续导数，且注意到(3-2)式，有并且= = 0依据引理3.
21、1可知存在，使得，其中在与之间，而 故有所以 = ,代入(3-2)中即可知结论成立。3.3 泰勒公式的推广定理3.2 设，在内存在直至（+1）阶连续导数，且= =0 ，那么对任意的有 (3-3) 这里，在与之间。证：由假设可知对任意的，都有- （=0,1,2, ,）为避免与引理3.1矛盾，假设 （3-4）那么由假设知在(或者)上存在直到（+1）阶连续导数,且并且= = 0依据引理3.1可知存在，使得，其中在与之间，注意到结合，则有，代入（3-4）式即可知定理3.2成立。显然当时，由于=0，故定理3.1仅是定理3.2中的情形。定理3.3 设，在内存在直至（+1）阶连续导数，且= =0 若对常数有
22、，且，那么对任意的有 这里 ，在与之间。证：由假设可知对任意的，都有，从而可知有- 0（=0,1,2, , ）为避免与引理3.1矛盾，设当时 (3-5) 那么由假设知在(或者)上存在直到（+1）阶连续导数,且并且= = 0依据引理3.2可知对常数，存在，使得 （在与之间） （3-6） 而由（3-6）式有即 （）代入（3-5）即可知定理3.3成立，显然定理3.2是定理3.3中时的情形。4. 泰勒公式在解题中的应用4.1 利用泰勒公式求近似值当要求的算式不能得出它的准确值时，即只能求出近似值时，这时泰勒公式是解决这种问题的一个好方法。例1 计算准确到。解：利用 （）当时有故，显然当=12时，可得。
23、例2 计算1.1准确到。解：由(0 -1)要计算1.1 = (1+0.1),可取=0.1，为了使误差不超过0.00001,则，解得。 因此，取=4,有0.0953084.2 利用泰勒公式求极限对于待定型的极限问题，一般可以利用洛比达法则来求解，但是，对于一些求导比较繁琐，计算复杂，特别是要多次使用洛比达法则的情况，利用泰勒公式求极限会简单很多。利用泰勒公式求极限，一般用麦克劳林公式形式，并且采用带佩亚诺型余项的泰勒公式。当极限式为分式时，一般要求分子和分母展成同一阶的麦克劳林公式，通过比较求出极限。例3 求极限 。解：此题若采用洛必达法则求解, 则十分麻烦, 因而采用下述解法：由泰勒公式知 又
24、因为当时， 原式 = = = - 。例 4 用带有佩亚诺型余项的麦克劳林公式，求极限 。解：当时， ，由泰勒公式知 对此式作运算时，把两个的高阶的无穷小的代数和仍记作 ，故= = 4.3 泰勒公式在判断级数和广义积分的敛散性中的应用4.3.1 判断级数的敛散性在判断级数的敛散性时，当级数的通项表达式是由不同类型函数式构成的繁杂形式时，通常利用泰勒公式将级数通项简化或统一形式，以便利用判敛准则。例5 判断级数的敛散性。分析：若直接根据通项去判断该级数是正项级数还是非正项级数会比较困难，因而也就无法恰当地选择判敛方法。注意到若将其泰勒展开为的幂的形式，开二次方后恰好与 呼应，使得判断敛散性更容易进
25、行。解： 所以该级数是正项级数。 = 收敛，由正项级数比较判别法可知原级数收敛。4.3.2 判断广义积分的敛散性在判断广义积分的敛散性时, 通常选用广义积分进行比较后通过研究无穷小量的阶来有效地选中的值，从而简单地判定的敛散性（注意到：如果得收敛，则得收敛）。例 6 判定广义积分的敛散性。解：由 得 =因此，即是的3/2阶，因为收敛，所以收敛，从而收敛。4.4 泰勒公式在判别函数的极值中的应用 函数的极值在实际问题中占有很重要的地位，并且也是函数性态的一个重要特征，泰勒公式可以作为研究函数极值的一个重要工具。例 7 （极值的第二充分条件 ）设在的某邻域内一阶可导，在处二阶可导，且，。(1)若，
26、则于处取得极大值；(2)若，则于处取得极小值。证：由已知条件可得在 处的二阶泰勒公式为：由于得 （4-1）又因为，故存在正整数，当 时，与 同号。 故当时，（4-1）式取负值，从而对有即于处取得极大值，同理当时，则于处取得极小值。例 8 （极值的第三充分条件 ）设在的某邻域内存在直到阶导函数，并且（=1,2，-1），则：(1)当为偶数，且当时，于处取得极大值；时，于处取得极小值；(2) 当为奇数时，于处不取极值。证：由已知条件可得在 处的阶泰勒公式为：+由于（=1,2，-1）得 (4-2) 又因为，故存在正整数：(1)当 时，且为偶数时与 同号，故当时，（4-2）式取负值，从而对有即于处取得极
27、大值，同理当时，则于处取得极小值。(2)而当为奇数时:若，与 异号；若，与 同号，所以于处不取极值。4.5 泰勒公式在不等式证明中的应用关于在不等式的证明方面，我们已经知道有很多种方法，比如利用函数的凸性来证明不等式，利用拉格朗日中值定理来证明不等式，以及通过讨论导数的符号来得到函数的单调性，从而证明不等式的方法，同样泰勒公式也是不等式证明的一个重要方法。如果函数存在二阶及二阶以上导数并且有界，利用泰勒公式去证明这些不等式，一般的证明思路为：(1)写出比最高阶导数低一阶的函数的泰勒展开式；(2)恰当地选择等式两边的与；(3)根据最高阶导数的大小对函数的泰勒展开式进行缩放。例9 设在 0，1上具
28、有二阶导数，且满足条件 ，其中，b为非负常数，证明对任意 (0，1)，有 。证明 ：已知在 0，1上具有二阶导数，则由泰勒展开式得，在与t之间。分别令 = 0, = 1 得 ， (4-3), (4-4)(4-3)-(4-4)得于是 +由于在0 l时，有所以有 例10 设在（）上满足 ，证明： 。证 ：令则则由泰勒展开式得，当时亦有其中在与之间。因为，所以有因此有从而得到 =则=即。4.6 泰勒公式在判断函数凹凸性及拐点中的应用泰勒公式是数学分析的一个重要内容，在很多领域的各个方面都有着广泛的应用，很多书中利用它来判断函数的单调性、极值，由于泰勒公式的广泛应用，因此尝试着利用泰勒公式来讨论函数的
29、凹凸性及拐点。4.6.1 判断函数凹凸性定理4.1 设为区间I上的二阶可导函数 .若()，则在I上为凸(凹)函数 。证明：设为区间I内任意两点,且足够小。为中的任意两点，记。由定理条件的泰勒公式所以有因为余项是的高阶无穷小，且又为足够小，所以泰勒公式与同号，又因为所以有可得： 即 ()所以 ()由于的任意性，可得在足够小的区间上为凸(凹)函数，再由的任意性，可得在区间I内任意一个足够小的区间内部都为凸(凹)函数。4.6.2 判别函数拐点定理4.2 若在处可导，在某邻域内阶可导，且满足，且则：（1）若为奇数，则为曲线=的拐点；（2）若为偶数，则不是曲线=的拐点 。证明：在处的泰勒公式因为所以余项
30、同样是的高阶无穷小。因此：当为奇数时,()仍为奇数，在和上符号相反，即的符号相反，所以为曲线=的拐点；当为偶数时，()仍为偶数，则在和上的符号相同，所以不是曲线=的拐点。4.7 泰勒公式在行列式计算方面的应用 在代数学中，有关利用代数知识计算行列式方法很多，但应用微分学的方法计算行列式的却很少见。然而利用泰勒公式求解行列式确实非常有效，下面介绍利用泰勒展开式计算行列式。利用泰勒公式计算行列式的一般思路：(1)根据所求行列式的特点，构造相应的行列式函数；(2)把要求的行列式函数按泰勒展开式在某点展开；(3)求出行列式函数的各阶导数值。例11 求阶行列式D = 解：记按泰勒公式在处展开： (4-5
31、) 易知 (4-6) 由（4-6）可得时均成立。根据行列式求导的规则，易知 ， ， ，于是在处的各阶导数为 = = =把以上各个导数代入（4-5）中，有+如果，则有；如果，则有。结论及展望泰勒公式是数学分析中非常重要的内容，也是研究数学各个领域的不可或缺的工具。本文章是在大量查阅有关泰勒公式的资料的基础上作出的初步整理，这篇文章主要对泰勒公式在近似值计算、求极限、判断级数和广义积分的敛散性、判别函数的极值证明不等式、判断函数凹凸性及拐点、行列式计算等方面做了简单系统的介绍和分析，从而体现了泰勒公式在微分学应用中的重要的地位，特别是本文另外讨论了泰勒公式的一种新的证明方法并将其推广，进而得到了泰
32、勒余项的两种更一般形式。通过以上几个方面的探讨，充分利用其解题技巧在解题时可以起到事半功倍的效果。值得一提的是，虽然泰勒公式应用到各个数学领域很多，但同样也还有很多方面很少被提及，需要不断地探索。而泰勒公式在数学实际应用中又是一种非常重要的应用工具，只有掌握了这些知识，并且在此基础上加强训练、不断地进行总结，才能熟练的应用它，灵活的从不同角度找出解题的途径，探索新的解题方法，以便更好更方便的研究一些复杂的函数，解决更多实际的数学问题。 参考文献1 华东师范大学数学系.数学分析. 北京: 高等教育出版社, 2001.2 曾捷.数学分析同步辅导及习题全解. 北京: 中国矿业大学出版社, 2007,
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