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1、本 科 生 毕 业 论 文（或设计）（申请学士学位） 论文题目 泰勒公式的应用 作者姓名 所学专业名称 数学与应用数学专业 指导教师 2010年5月20日 目 录摘要 1Abstract 11. 泰勒公式21.1泰勒多项式的介绍21.2泰勒公式22. Taylor公式的应用 42.1 利用泰勒公式求极限42.2用泰勒公式求斜渐近线5 2.3 利用泰勒公式证明不等式62.4 利用泰勒公式判断级数的敛散性82.5 利用泰勒公式判断广义积分的收敛性92.6 利用泰勒公式求高阶导数在某些点的数值 102.7 利用泰勒公式近似计算和误差估计 112.8 用带皮亚诺余项泰勒公式确定无穷小的阶 122.9
2、泰勒公式在函数凹凸性及拐点判断中的应用 132.10 利用泰勒公式研究根的唯一性问题142.11 利用泰勒公式判断函数极值152.12 泰勒公式在计算一些特殊类型的有理函数不定积分中的应用162.13 用泰勒公式分解既约真分式成部分分式182.14 泰勒公式在阶行列式计算中的应用182.15 求某些微分方程的解18参考文献22致谢23泰勒公式的应用摘要：泰勒(Taylor)公式是数学分析这门课中的一个重要公式，在分析和研究数学问题中有着重要作用，使它成为分析和研究其他数学问题的有力杠杆。它可以应用于求极限、判断函数极值、求高阶导数在某些点的数值、判断级数和广义积分收敛性、近似计算、不等式证明、
3、积分问题、微分方程问题等方面。我们在这里主要来说明泰勒公式及若干应用。关键词：泰勒公式；函数；极限；不等式；微分；积分；高阶导数；皮亚诺型余项；拉格朗日余项；收敛性；近似计算；证明；Application of the Taylor FormulaAbstract：Taylor formula is a mathematical analysis of this class is an important formula，The Taylor formula plays an important part in analyzing and researching the math proble
4、ms and make it a powerful lever in other mathematical problems. It can be used in order to limit, to determine the function extremum seeking higher-order derivative values at some point to determine the convergence of series and generalized integral, approximate calculation, inequality proved integr
5、al problems, differential equation problem and so on. We are mainly explicating the Taylor formulas and a number of applications.Key words：Taylor formula；function；Limit；Not Equation；Differential; Integral； Derivative of high steps；Peano type reminder；Lagrange type reminder；Convergence；Approximate ca
6、culation；Prove；1 泰勒公式1.1 泰勒多项式的介绍设在含有的开区间内有直到阶导数，为已知，现寻求一个次的代数多项式，使得， 能否用近似代替？设，则有：由故所求的代数多项式为此多项式称为函数在处的阶泰勒多项式。1.2 泰勒公式设，称其为误差函数。显然，从而有，上式称为函数关于的阶泰勒公式，其中余项称为拉格朗日余项。当时，即这正是拉格朗日公式。当时，称为函数的阶麦克劳林公式，其中。若设在含有的某个开区间内有直到阶导数,且在内有界,那么对，有其中称为佩亚诺型余项。常见的带有佩亚诺余项的麦克劳林公式有以下几种:2 Taylor公式的应用2.1 利用泰勒公式求极限为了简化极限运算，有时可
7、用某项的泰勒展开式来代替该项，使得原来函数的极限转化为类似多项式有理分式的极限，就能简捷地求出。例1：求极限：分析：此为型极限，若用很麻烦。这时可将和分别用其泰勒展开式代替，则可简化比式。解：由得于是。用泰勒公式计算极限的实质是利用等价无穷小的替代来计算极限。我们知道，当时，等，这种等价无穷小，其实就是将函数用泰勒公式展开至一次项，有些问题用泰勒公式和我们已经熟知的等价无穷小法相结合，问题又能进一步简化。例2：求极限解：下面用泰勒公式法与等价无穷小相结合来考虑。，利用泰勒公式将展开：，于是，将（*）式分子上的用上式代替，而分母中的用代替，则有：运用泰勒公式法需要注意的一个问题是将函数展开至多少
8、项才可以呢？其实从例题不难看出，只须展开至分子及分母分别经过化简后系数不为零的阶即可。2.2 用泰勒公式求斜渐近线我们知道，若，则是曲线的斜渐近线。用泰勒公式,只要能证明当时，就知是斜近线,这里表示无穷小量。例3 曲线的斜渐近线方程为 。解：故是所求斜渐近线方程。例4： 曲线的斜渐近线方程为 。解：故是所求斜渐近线方程。2.3 利用泰勒公式证明不等式在高等数学中，常常要证明一些不等式，而且证明不等式的方法很多。在欲证的不等式(或题设)中含有一阶以上的导数，一般可以利用泰勒公式。应用的关键在于根据题设的条件如何选择要展开的函数、在哪一点的邻域将函数展开、展开的阶次及余项形式，现就下面的例题进行分
9、析。例5：设函数在具有二阶导数，且，试证。分析：题设告诉我们函数有二阶导数,提示我们可以尝试使用泰勒公式。将欲证式与一阶泰勒公式比较知：没有一阶、零阶导数项。我们进一步分析可知：由于连续，因此最小值必在点取得，该点必是极值点，有。于是在极值点将函数展开，分别取，问题就得证了。证明：设在处取得最小值，即，则，将在处展成带拉格朗日型余项的一阶泰勒公式：分别取和得：，即有和由此可推出：当时，；当时，。从而有：。综上可知，一般当问题涉及二阶以上导数时,可考虑利用泰勒公式求解。把看成定点，看成动点，通过定点处的函数值及导数值来表达动点处的函数值。对已知在某点的函数值或已知函数的某阶导数有界以及已知函数的
10、导数的正负，求证某些不等式用泰勒公式较简单。下述例题可以说明此论点。例6：设在点的某邻域内存在四阶导数，且 是正常数，又和是该邻域内关于对称的两点，试证明：证明：将在点展为三阶泰勒展开式：其中在与之间。分别取和，可得其中在与之间。其中在与之间。上两式相加得所以即因为由已知所以 证毕。2.4 利用泰勒公式判断级数的敛散性例7：设在点的某一邻域内具有连续的二阶导数，且 ，证明：级数 绝对收敛。证明：由，又在点的某一邻域内具有连续的二阶导数，可得。将 在的某邻域内展开成一阶泰勒公式又由题设知在属于邻域内包含原点的一个小区间连续，因此于是，令，则，因为收敛，所以绝对收敛。例8讨论级数的敛散性。解：因为
11、故，而级数当时收敛，当时发散，因此级数当时收敛，当时发散。级数的敛散性判断有时很困难,而泰勒展开公式则提供了一个便利的方法。2.5 利用泰勒公式判断广义积分的收敛性为正值函数，要判定的收敛性若能找到恰当的使，由比较判别法的极限形式可判别出无穷积分的收敛性。这里的问题也是如何选取，才能应用判别法则呢？运用泰勒公式通过研究的阶，就可以解决这类问题。例9：研究广义积分的收敛性。解：，利用泰勒公式将展开：，利用泰勒公式将展开：，则故，由于收敛，由比较判别法知原广义积分收敛。对于在有限点处函数的极限值为的广义积分的敛散性判断也可用同样的办法例10 广义积分是否收敛？解：所以，由于发散，知发散。2.6 利
12、用泰勒公式求高阶导数在某些点的数值如果泰勒公式已知，其通项中的加项的系数正是，从而可反过来求高阶导数数值，而不必再依次求导。例11：求函数在处的高阶导数。解：设，则：，在的泰勒公式为：从而：而中的泰勒展开式中含的项应为，从的展开式知的项为，因此：，例12 求在处的阶导数。解：由泰勒公式及由中项的系数为2.7 利用泰勒公式近似计算和误差估计根据泰勒展开式的余项可以具体地估计出用泰勒公式近似地表示一个函数时所产生的误差。由拉格朗日型余项，如果，为一定数，则其余项不会超过。由此可近似地计算某些数值并估计它们的误差。例13：求的近似值，使误差不超过。解：设，将其在处展成带拉格朗日型余项的泰勒公式其中，
13、令，则。要使，则取即可。此时，其误差为利用泰勒公式来定积分的近似值。例14：计算的值，（精确到）解：利用的麦克劳林展开式得：对上式在0与1之间进行逐项积分。这是交错级数。它的余和小于余和的前一项的绝对值，由于，故取前七项即可。经计算2.8 用带皮亚诺余项泰勒公式确定无穷小的阶设如何用泰勒公式确定是的几阶无穷小？我们知道对若，则因此是的阶无穷小。例15 用泰勒公式确定,当下列无穷小量是的几阶无穷小量?解：因此，当时，是的二阶无穷小量。因此，当时，是的五阶无穷小量。2.9 泰勒公式在函数凹凸性及拐点判断中的应用我们利用泰勒公式对函数极值的判定，可以相似地推出函数拐点的判定，比用点两边区间的二阶导数
14、符号来判定显得简单易行，且有更广泛的结论.例16 （定理）若在某个内阶可导，且满足，且若：当为奇数，则为拐点；当为偶数,则不是拐点.证明:写出在处的泰勒公式，因为，则，同样余项是的的高阶无穷小,所以的符号在内与相同。当为奇数时,显然在的两边，符号相异,即的符号相异, 所以 为拐点。当为偶数时,则的符号相同,所以不是拐点。 证毕例17：1、判定是否是的拐点? 2、判定是否是的拐点?解：1、因为为偶数，所以不是的拐点。2、因为为奇数，所以是的拐点。从上述例看到,要判别左、右两边的符号不易,但用本命题则非常容易。2.10 利用泰勒公式研究根的唯一性问题例18 设在中二阶可导,并满足，当时，,证明:方
15、程在内有且仅有一个实根。证明:因为，所以单调递减，因而当时，故在内严格单调递减,因此在内至多有一个实根。下面证明在内至少有一个实根。由题设可知在的右侧可展成泰勒展式因为，所以，于是当充分大时,不妨设，则又对由零值定理可知,至少存在一个使由此可得，方程在内有且仅有一个实根。综上可知,高阶(二阶及二阶以上)导数的存在是提示使用泰勒公式最显著的特征之一,只要题设条件中给出函数 的二阶及二阶以上可导,此时,先把在指定点展成泰勒公式,一般是展成比最高阶导数低一阶的泰勒公式,然后根据题设条件恰当选择展开点。2.11 利用泰勒公式判断函数极值讨论函数极值通用的方法是：当时，是的极小（大）值。但如果此时，此方
16、法不能判别是否为极值点，可用泰勒公式。比如：若在点处一、二、三阶导数全为0，由泰勒公式可知：当，可知：当时，在处取得极小值；当时，在处取得极大值。例19：已知函数在邻域内二阶可导，且当时取得极小值，问在能否取得极值，如有极值，极值为多少？解：对在处，泰勒公式为：由于在取得极值，故，又由于取得极小值，故此时 ，可表示为：，因为，又，故在处取得极大值，极大值为1。2.12 泰勒公式在计算一些特殊类型的有理函数不定积分中的应用泰勒公式对（其中是关于的次多项式）类型的有理函数不定积分的计算很简便，此时将展成在点的泰勒级数共有项。因为则有这时等式右边的每一项积分都很容易求得。把这种分解方法应用到被积函数
17、为有理式的不定积分中，那么我们将比较容易地计算出积分结果。例20：计算解：设，将其在点展开有故例21：求解：令，将其在点展开有故2.13 用泰勒公式分解既约真分式成部分分式将既约真分式分解成部分分式，是研究分式函数的性质，对其微分和积分的重要的甚至是必不可少的步骤。但人们经常是采用待定系数法，比较繁琐。然而，在一些特殊形式下用泰勒公式可方便地分解既约真分式，现以例题的解答介绍用泰勒公式进行分解。例22：分成部分分式。解：令，则令，则所以，例23：把分成部分分式。解：令令所以，2.14 泰勒公式在阶行列式计算中的应用例24:求阶行列式的值:(注:本例可利用代数知识中的递推法、数学归纳法求解；这里
18、介绍利用泰勒公式计算，起到一定的简便作用。)解:把行列式看作的函数记，则将在按泰勒公式展开:这里把乘以第列得下面求行列式函数的各阶导数:上式中各行列式分别按只有一个的元素所在行展开得类似地：递推关系还可推出：则代入在的泰勒展开式若则若则令得结论:只要行列式函数的各阶导数较易计算，则应用泰勒公式计算行列式就便利。2.15 求某些微分方程的解微分方程的解可能是初等函数或非初等函数，如微分方程的求解问题便是如此，因而解这类方程我们可以设想其解可以表示成泰勒级数的形式，进一步，我们可以大胆设想可以表示成更为一般的幂级数形式，即从而得出了解这类方程的一种重要方法。例25 解微分方程解：显然可在的邻域内展
19、成泰勒级数，故原方程有形如的幂级数解。将及其导数代入原方程的得即，令的同次幂系数为零，得从而即有所以其通解为即。参考文献1 华东师范大学数学系.数学分析讲义(第三版)M.北京:高等教育出版社,2001.2 裴礼文.数学分析中的典型问题与方法M.高等教育出版社，1993.3 刘玉琏,傅沛仁.数学分析讲义(上册第三版)M.北京:高等教育出版社,1992.4 吴良森,毛羽辉,宋国栋,等.数学分析习题精解M.北京:科学出版社,2001.5 费德霖.泰勒公式的应用及技巧J.皖西学院学报,2001,4.6 张雅琴，泰勒公式应用的探讨J, 天津成人高等学校联合学报,第4卷4期，2002，107 刘瑜,陈美燕
20、,于超,冯涛. 泰勒公式在阶行列式计算中的应用J. 内江师范学院学报,第23卷(增)2008.8 王友国. Taylor公式在级数判敛中的应用J.数学理论与应用,第28卷4期，2008.12.9 苏久亮. 泰勒公式在计算及证明中的应用J. 高校理科研究10 严振祥,沈家骅. 泰勒公式在函数凹凸性及拐点判断中的应用J. 重庆交通大学学报(自然科学版).第26卷4期2007.811 惠存阳. 用泰勒公式分解既约真分式成部分分式J.延安教育学院学报,1995.1.12 余力,刘三阳.带皮亚诺型余项的泰勒公式及其应用J.高等数学研究,2003,6.13 冯平,石永廷.泰勒公式在求解高等数学问题中的应用
21、J.新疆职业大学学报,2003,11.14 Walter Rudin，Principles of Mathematical Analysis (Third Edition) M.北京：机械工业出版社，200415 Patrick M. Fitzpatrick，Advanced Calculus A Course in Mathematical Analysis M. 北京：机械工业出版社，2003致谢本文是在导师的亲切关怀和悉心指导下完成的。他严肃的科学态度，严谨的治学精神，精益求精的工作作风，深深地感染和激励着我。从课题的选择到项目的最终完成，陈老师都始终给予我细心的指导和不懈的支持。这四年中还得到众多老师的关心支持和帮助。在此，谨向导师表示崇高的敬意和衷心的感谢！最后，我要向百忙之中抽时间对本文进行审阅，评议和参与本人论文答辩的各位老师和专家表示感谢！
