泰勒公式及其应用毕业论文.doc

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1、泰勒公式及其应用摘 要 文章主要对泰勒公式在近似计算、求极限、证明不等式、外推、求曲线的渐近线方程和判断级数收敛性，对函数凹凸性及拐点判断、广义积分敛散性中的应用关于界的估计、和泰勒公式展开的唯一性问题做了简单系统的介绍和分析，从而体现泰勒公式式在微分学中占有很重要的地位.关键词 泰勒公式; 佩亚诺余项; 拉格朗日余项; 不等式; 根的唯一存在性; 极值; 近似计算.一引言 近代微积分的蓬勃发展，促使几乎所有的数学大师都致力于相关问题的研究，特别是泰勒，笛卡尔，费马，巴罗，沃利斯等人作出了具有代表性的工作.泰勒公式是18世纪早期英国牛顿学派最优秀代表人物之一的英国数学家泰勒在微积分学中将函数展

2、开成无穷级数而定义出来的.泰勒将函数展开成级数得到泰勒公式，对于一般函数，设它在点存在直到阶的导数，由这些导数构成一个次多项式 称为函数在点处的泰勒多项式，若函数在点存在直至阶导数，则有即称为泰勒公式.我们都知道，泰勒公式是数学分析中非常重要的内容，它的理论方法已经成为研究函数极限和估计误差等方面不可缺少的数学工具，集中体现了微积分“逼近法”的精髓。在近似计算上有着独特的优势，利用它可以将非线性问题化为线性问题，并能满足很高的精确度要求，在微积分的各个方面都有重要的应用. 泰勒公式在分析和研究数学问题中有着重要作用,它可以应用于求极限、判断函数极值、求高阶导数在某些点的数值、判断广义积分收敛性

3、、近似计算、不等式证明等方面. 这篇主要在于探索泰勒公式及其应用的新方法，借助泰勒公式的广泛应用，将泰勒公式的知识应用到数学解题的各个方面和领域中去，得出泰勒公式在数学各方面的应用和解求方法的简便性.二预备知识2.1泰勒公式的定义定义2.1 若函数在存在阶导数,则有 （1）其中 上述公式称为在点处带有佩亚诺余项的的泰勒公式.当=0时,（1）式变成,称此式为(带有佩亚诺余项的)麦克劳林公式.定义2.2 若函数 在某邻域内为存在直至 阶的连续导数,则, （2）这里为拉格朗日余项,其中在与之间,称（2）为在的泰勒公式.当=0时,（2）式变成称此式为(带有拉格朗日余项的)麦克劳林公式.常见函数的展开式

4、：.，定理2.1(介值定理) 设函数 在闭区间 上连续,且 ,若为介于 与之间的任何实数,则至少存在一点,使得.2.2泰勒公式的意义泰勒公式的意义是，用一个次多项式来逼近函数.而多项式具有形式简单，易于计算等优点.泰勒公式由的次泰勒多项式和余项组成，我们来详细讨论它们.当=1时，有 ，是的曲线在点处的切线（方程），称为曲线在点的一次密切，显然，切线与曲线的差异是较大的，只是曲线的近似.当=2时，有，是曲线在点的“二次切线”，也称曲线在点的二次密切.可以看出，二次切线与曲线的接近程度比切线要好.当次数越来越高时，接近程度越来越密切，近似程度也越来越高.2.3泰勒公式余项的类型泰勒公式的余项分为两

5、类，一类佩亚诺型余项，一类是拉格朗日型余项，它们的本质相同，但性质各异.佩亚诺型余项是定性的余项，仅表示余项是比（当时）高阶的无穷小.如，表示当时，用近似，误差（余项）是比高阶的无穷小.拉格朗日型余项是定量的余项（也可以写成）.定量的余项一般用于函数值的计算与函数形态的研究.三泰勒公式的应用3.1 .利用泰勒公式求极限简化极限运算,就可用某项的泰勒展开式来代替该项,使得原来函数的极限转化为类似多项式有理式的极限.例1. 求极限 . 分析 ： 此为型极限,若用罗比达法求解，则很麻烦,这时可将和, 分别用泰勒展开式代替,则可简化此比式.解： 由,=于是，3. 2 利用泰勒公式证明不等式当所要证明的

6、不等式是含有多项式和初等函数的混合物,不妨作一个辅助函数并用泰勒公式代替,往往使证明方便简捷. 例1. 当时,证明.证明 取,则带入泰勒公式,其中=3,得，其中.故当时,.例2. 设在二次可导，而且，试求存在，使.证： 由于在的最小值不等于在区间端点的值，故在内存在，使，由费马定理知，.又 ，（介于与之间）由于，不令和，有，所以，当时，而当时，可见与中必有一个大于或等于8.3.3 利用泰勒公式判断广义积分的敛散性当级数的通项表达式是由不同类型函数式构成的繁难形式时,就可以利用泰勒公式将级数通项简化成统一形式,以便利用判敛准则.在判定广义积敛散性时, 通常选取广义积分进行比较, 在此通过研究无穷

7、小量的阶来有效地选中的值，从而简单地判定的敛散性（注意到：如果得收敛，则得收敛）.例 1. 研究广义积分的敛散性. 解 ： ， 因此，即是的阶，而收敛，故收敛，从而.例2 讨论级数的敛散性.注意到,若将其泰勒展开为的幂的形式,开二次方后恰与相呼应,会使判敛易进行.解： 因为,所以,所以，故该级数是正项级数.又因为,所以.因为收敛,所以由正项级数比较判别法知原级数收敛.3.4 利用泰勒公式判断函数的凸凹性及拐点例 1. 设内是凹向的. ：， 可得所以 可得 由任意性可得在足够小的区间上是凹向的再有c，d的任意性得在内任意小的区间内都是凹向的，所以在区间是凹向的.利用泰勒公式对极值的判定可相似的推

8、出函数拐点的判定即: 若在某个内阶可导，且满足，且若（1）为奇数，则为拐点；（2）为偶数，则不是拐点.证明：写出在处的泰勒公式,因为 ,则，同样余项是的高阶无穷小.所以的符号在的心领域内与相同.当为奇数时，显然在的两边，符号相异，即的符号相异，所以为拐点.当为偶数时，则的符号相同，所以不是拐点.例2 ？解： ， ， ，因为， 所以不是的拐点.3.5 利用泰勒公式求初等函数的幂级数展开式利用基本初等函数的幂级数展开式,通过泰勒展开式可以求得. 例1 求函数的幂级数展开式.解 ：由于,所以的拉格朗日余项为，显见 ,它对任何实数x，都有 ,因而，所以有.3.6 1）.利用泰勒公式进行近似计算利用泰勒

9、公式可以得到函数的近似计算式和一些数值的近似计算,用麦克劳林展开得到函数的近似计算式为,其误差是余项.例 1. 计算lg11的值,准确到 . 解: ,因为 ,要使 取，故 .例2 . 估计下列近似公式的绝对误差：解： 当时， . 2）.泰勒公式在外推上的应用 外推是一种通过将精度较低的近似值进行适当组合，产生精度较高的近似值的方法，它的基础是泰勒公式，其原理可以简述如下.若对于某个值，按参数算出的近似值可以展开成 （*）（这里先不管的具体形式），那么按参数算出的近似值就是 (*)和与准确值的误差都是阶的. 现在，将后(*)式乘2减去（*）式，便得到也就是说，对两个阶的近似值化了少量几步四则运算

10、进行组合之后，却得到了具有阶的近似值.这样的过程就称为外推.若进行了一次外推之后精度仍未达到要求，则可以从出发再次外推，得到阶的近似值.这样的过程可以进行步，直到，满足预先给定的精度.外推方法能以较小的待解获得高精度的结果，因此是一种非常重要的近似计算技术.例 1. 单位圆的内接正边形的面积可以表示为，这里,按照泰勒公式因此，其内接正边形的面积可以表示为，用它们作为的近似值，误差都是量级的.现在将这两个近似的程度不够理想的值按以下方式组合：,那么通过简单的计算就可以知道项被消掉了！也就是说，用近似表示，其精度可以大大提高.3.7. 利用泰勒公式求高阶导数在某些点的数值如果泰勒公式已知,其通项中

11、的加项的系数正是,从而可反过来求高阶导数数值,而不必再依次求导.例 1. 设 求由得泰勒公式：可得 ， ， 所以 3.8. 利用泰勒公式求行列式的值若一个行列式可看做的函数（一般是的n次多项式）,记作,按泰勒公式在某处展开,用这一方法可求得一些行列式的值.例 1. 求n阶行列式 D= （1）解： 记,按泰勒公式在处展开： （2）易知 = （3）由（3）得, 时都成立.根据行列式求导的规则,有.于是在处的各阶导数为,， ，把以上各导数代入（2）式中,有+，若, 有；若, 有.3.9 利用泰勒公式证明与某阶导数的中间值例1.设函数在闭区间上具有三阶连续函数，证明在区间内至少存在一点使.证明：分别把

12、在展开成泰勒公式，由题设得：,之间，由连续函数的中值定理知，对任意的 .3.10 . 利用泰勒公式解经济学问题 我们知道泰勒公式在解定积分中有着广泛的应用，而定积分在经济学中是不可缺的，在这里将以定积分为平台，利用泰勒公式去解决经济学问题，例1. 完全竞争行业中某厂商的成本函数为STC=，假设产品的价格为66元， 求：（1）由于竞争市场供求发生变化，由此决定新的价格为30元，在心的价格下，厂商是否会发生亏损，如果会，最小的亏损额是多少？解： （1）由于市场供求发生变化，新的价格为27元，厂商是否发生亏损仍需要根据P=MC所决定的均衡产量计算利润为正还是为负，不论利润最大还是亏损最小，均衡条件都

13、是P=MC， 成本函数为STC=，令=由泰勒公式我们知道，所以所以 STC= 又因为 P=MC，即27=， 所以.因为 , （1） , （2）所以 ,故 是利润最大或者最小的产量.利润 ， .可见， 当 价格为27元时，当厂商生产量为1时，其最大盈利额为19；当厂商生产量为4时，其发生亏损，最小亏损额为17.3.11. 泰勒公式关于界的估计我们在数学分析课文中学习知道了有些函数是有界的，有的有上节，而有的有下界，再结合泰勒公式的知识与泰勒公式的广泛应用，这里我们探讨泰勒公式关于界的估计，这里通过例题来分析界的估计.例1 设在上有二阶导数，时，.试证：当时，.证： ,所以, .3.12泰勒公式展

14、开的唯一性问题 泰勒公式的展开式有多种，常见的如带有佩亚诺型余项的泰勒展开式，带有拉格朗日型余项的泰勒展开式，而最为常用的是麦克劳林展开式，它是当时的特殊的泰勒公式展开式，现在我们来探讨泰勒公式展开式的唯一性.例1.设是连续的阶导数，在处有展开式： , （1）且余项满足 , （2）则必有 , （3）其中 . 证： 根据泰勒公式，在处可以展开成 , （4）让（1）式与（4）式联立可得,此式令取极限，得.两边消去首项，再同时除以，然后令取极限，又得.继续这样下去则顺次可得式（3）.注1 该例具有重要理论意义，它表明：不论用何种途径、何种方式得到形如（1）式的展开式，只要余项满足条件（2）式，则此展

15、开式的系数必是唯一确定的，它们是（3）式给出的泰勒系数.注2 该结论的情况自然也成立.由此可知，对于任何多项式而言，必有且.四结束语泰勒公式是数学分析中的重要组成部分，它的理论方法已成为研究函数极限和估计误差等方面的不可或缺的工具，集中体现了微积分“逼近法”的精髓，它是微积分中值定理的推广，也是应用高阶导数研究函数性态的重要工具, 它的用途很广泛.本论文详细介绍泰勒公式及其应用在数学领域上的几个应用作论述.文章除了对泰勒公式在常用的近似计算、求极限、不等式的证明、外推和求曲线的渐近线方程上作解求证明外，特别地，泰勒公式还对函数凹凸性及其拐点判断、广义积分敛散性中的应用、界的估计和展开的唯一性问

16、题等这几个领域的应用做详细的介绍,使我们对泰勒公式有了更深一层的理解,怎样应用泰勒公式解题有了更深一层的认识,最后说一点：只要在解题训练中注意分析,研究题设条件及其形式特点,并把握上述处理规则,就能比较好地掌握利用泰勒公式解题的技巧.参考文献1陈纪修 於崇华 金路：数学分析M（上、下）北京：高等教育出版社,2004.5.2张自兰 崔福荫：高等数学证题方法M陕西：陕西科学出版社,1985.3王向东：数学分析的概念和方法M上海：上海科学技术出版社,1989.4同济大学数学教研室主编.高等数学M.北京：人民教育出版社,1999.5刘玉琏 傅沛仁：数学分析讲义M.北京：人民教育出版社,2000.6华东师范大学数学系,数学分析（第二版）M高等教育出版社,1911.7中文版Visual Foxpro3.0编程指南M西安：西安交通大学出版社,19978 严振祥；沈家骅.泰勒公式在函数凹凸性及拐点判断中的应用J. 重庆交通大学学报(自然科学版)，2007（8）：4-26.9裴礼文 数学分析典型问题与方法M 高等教育出版社,1993.5.