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1、题 目 泰勒公式的余项及其应用 摘 要0Abstract01引言12带积带皮亚诺余项的泰勒公式及其的应用12.1带皮亚诺余项的泰勒公式12.2带皮亚诺余项的泰勒公式的应用13带积分型余项的泰勒公式及其应用43.1带积分型余项的泰勒公式43.2带积分型余项泰勒公式的应用44带拉格朗日余项的泰勒公式及其应用54.1带拉格朗日余项的泰勒公式54.2带有拉格朗日余项的泰勒公式的应用5结束语6参考文献7致谢8摘 要：泰勒公式是高等数学中一个非常重要的内容,它将一些复杂函数近似地表示为简单的多项式函数,这种化繁为简的功能,使它成为分析和研究其他数学问题的有力杠杆. 但一般高数教材中仅介绍了如何用泰勒公式展
2、开函数，而对泰勒公式的应用方法并未深入讨论，在教学过程中学生常因学用脱离而难.本文主要介绍了泰勒公式的一些基本内容，在某些题目中运用泰勒公式会达到快速解题的目.给出了带皮亚诺型、拉格朗日型、积分型余项的泰勒公式.并分别例举这几种类型的泰勒公式在求极限、估计无穷小(大)量的阶、命题证明、定积分计算、近似计算中重要作用.关键词：泰勒公式；皮亚诺型余项；拉格朗日余项；积分型诺型余项；应用Abstract: Taylors formula is a very important mathematics content, it said some of the complex function appr
3、oximation to a simple polynomial function, which simplify the function of analysis and research to make it a powerful lever for other mathematical problems. but generally only the high number of teaching describes how to start the function with the Taylor formula, while the Taylor formula approach d
4、oes not in-depth discussions, students in the teaching process from the often difficult for learning to use. This paper describes some of the basic content of Taylors formula, used in some of the topics in the Taylor formula to achieve rapid problem-solving projects. Presented with a Renzo Piano-bas
5、ed, Lagrangian type, Integral Taylor formula. And were These types of examples in the Limit of the Taylor formula, it is estimated infinitely small (large) amount of the order, the proposition shows that to calculate the approximate calculation an important role. Key words: Taylor formula; Peano-typ
6、e remainder; Lagrange remainder; Connaught Type remainder integral; Application.1引言泰勒公式的知识可用于解决很多问题，它是研究代数、几何等问题的重要工具.同时泰勒公式在定积分的计算、求近似值、求极限、判断敛散性、估计无穷（小）大量的阶、命题证明等许多方面扮演着很重要的角色.如文4中介绍了带拉格朗日型余项的泰勒公式在求近似值中的应用.再如文2中带皮亚诺型余项的泰勒公式在判别极值方面的应用等等.从大量的应用中发现很多问题用泰勒公式去解决很容易，也很简单，同时灵活巧妙的应用泰勒公式却不容易.当然，不同余项的泰勒公式之间
7、是可以转换的，但是不同的余项在解决不同的类型的问题时都有各自的优点.本文主要研究了带积分型、带拉格朗日型.带皮亚诺型的泰勒公式及其应用，针对大多同学反映Taylor公式难以理解和掌握,继而产生遇Taylor公式焦虑的现象，本文通过对Taylor公式不同余项的应用归纳、总结，不仅可以帮助学生理解、应用公式及其余项,提高教学效果,同时对学生创新能力的培养也有一定的积极意义。2带积带皮亚诺余项的泰勒公式及其的应用2.1带皮亚诺余项的泰勒公式定理1 设函数在点处具有阶导数，则有，其中称为Peano型余项.注 该定理说明当时用泰勒多项式近似取代时，其误差是比高阶的无穷小.2.2带皮亚诺余项的泰勒公式的应
8、用带Peano余项的泰勒公式，因为其Peano余项只是给出其误差的定性描述，而不是定量计算，于是很多人认为它作用不大，其实它在求极限、求敛散性、估计无穷（小）大量的阶级命题证明等方面扮演着很重要的角色，甚至起着不可替代的作用.2.2.1求极限为了简化极限运算，有时可用某项的泰勒展开式来代替该项，使得原来函数的极限转化为类似多项式有理分式的极限，就能简捷的求出.例1求分析此题分母为，如果用洛比达法则，需连用4次，比较麻烦.而用带皮亚诺余项的泰勒公式解求较简单.解 ，所以 ，于是 .带有佩亚诺型余项的泰勒公式是求函数极限的一个非常有力的工具 ,运用得当会使求函数的极限变得十分简单.2.2.2判断级
9、数敛散性周知，要使用比较判别法判断一个正项级数是否收敛，只要能找到一个相对“比较简单”的级数（如），且若，则级数与有相同的敛散性.若，且级数收敛，则级数也收敛.若，且级数发散，则级数也发散.问题是如何寻找同时求出极限，且希望，利用泰勒公式可以解决.例2讨论级数的敛散性.解 由泰勒展开式得 .选取比较级数，因为，而级数收敛，所以由级数敛散性判别知级数收敛.2.2.3估计无穷（小）大量的阶如何估计无穷（小）大量的阶，对于简单函数可以用估猜法，但对于复杂的函数（特别是带参数）就无能为力了，但用带皮亚诺型余项的泰勒公式就可以迎刃而解.例3当时，函数是多少阶无穷小量？其中是参数.解因为 . .所以.故当
10、时，是2阶无穷小量；当时，是4阶无穷小量.从例题可以看出用带皮亚诺型余项的泰勒公式可以很好的解决较为复杂的估计无穷（小）大量的阶.2.2.4命题证明证明与高阶导数相关的命题，同时又不需要讨论其余项时，带皮亚诺余项的泰勒公式是一种极为有效的工具.例4证明：若，并且，则.证明因存在，根据带有皮亚诺型余项的泰勒公式有： 于是 ，从而 ，令，上式两边取极限，得，故.3带积分型余项的泰勒公式及其应用3.1带积分型余项的泰勒公式定理2 设函数在闭区间上有阶连续函数， ，则有 ， 其中称为积分型余项. 3.2带积分型余项泰勒公式的应用带积分型余项的泰勒公式在解决一些复杂的定积分计算中能够简单、巧妙的的将问题
11、解决.例5计算解设则，由公式有.例6计算.解 .4带拉格朗日余项的泰勒公式及其应用4.1带拉格朗日余项的泰勒公式定理3 设函数在闭区间上有直到阶的连续导数，在开区间内有阶导数，则有 ， 这里的泰勒公式余项称为拉格朗日余项，其中在与之间.4.2带有拉格朗日余项的泰勒公式的应用当要求的算式不能得出它的准确值时,即只能求出其近似值,这时泰勒公式是解决这种问题的最好方法.例7计算，使得误差不超过. 解， ，欲使只需要取，于是.例8计算的值,使误差不超过0.0001解先写出带拉格朗日型余项的麦克劳林展开式：，其中（在与之间）.令,要使.则取即可.因此.结束语泰勒公式的余项及其应用的研究探讨是高等数学中一
12、个十分重要的课题，研究这个课题的学者很多，我从他们的文献中获益匪浅，他们的研究使我学习了解了很多关于泰勒公式的知识，使我能更好的完成这篇论文.本文主要介绍了带积分型、拉格朗日型、皮亚诺型余项的泰勒公式，并给出了它在计算定积分、求极限、估计无穷（小）大量的阶、近似计算、命题证明中的应用.目的在于借助泰勒公式的广泛应用，将泰勒公式的知识应用到数学解题的各个方面和领域中去，介绍泰勒公式在数学各方面的应用和解求方法的简便性.当然，泰勒公式不仅只是在计算定积分、求极限、估计无穷（小）大量的阶、近似计算、命题证明中能解决许多问题，同时也是研究分析数学的重要工具，也是数学实际应用中是一种重要的应用工具，因此
13、对于泰勒公式余项及其应用的探究就显得尤为重要.同时，至于柯西型的泰勒公式的证明及应用本文没有做讨论，需要今后进行不断探究.参考文献1 华东师范大学数学系编数学分析（第3版）M北京：高等教育出版社，2001.2 王倩. 带有皮亚诺型余项的泰勒公式的推广与应用J .沈阳建筑大学报，2005，（6）:774776.3 金顺利. 关于泰勒公式应用的几个问题J. 沧州师范专科学校学报，2009，25（2）:102104.4 傅秋桃. 谈谈泰勒公式的几点应用J. 郧阳师范高等专科学校学报，2006，26（3）:910.5 谭荣. 泰勒公式的应用J. 和田师范专科学校学报，2008，28（1）:190192.6 徐香勤，张小勇.关于泰勒公式的几点应用J . 河南教育学院学报，2005，14（2）:1617.7 王殿元. 带不同型余项泰勒公式的证明J . 电大理工，2000，4（205）:3638.8 胡格吉乐吐. 对泰勒公式的理解及泰勒公式的应用J . 内蒙古科技与经济，2004，24（4）:739 徐志尧. 泰勒公式余项的一种一般型J . 江西工业工程职业技术学院学报，2010，1:575576.10 陈妙琴. 泰勒公式在证明不等式中的应用J . 宁德师专学报，2007，19（2）:154156.
