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1、毕业设计(论文)课 题 名 称 泰勒公式的应用 学 生 姓 名 学 号 系、年级专业 理学与信息科学系数学与应用数学 指 导 教 师 职 称 教 授 2009年 5 月 日泰勒公式的应用 【摘要】 泰勒公式是我们大学数学分析中的一个很重要且应用比较广泛的一个公式，在近似计算上有独特的优势，利用它可以将非线性问题转化为线性问题，并能满足很高的精确要求。除此之外，泰勒公式在应用于求极限，判断级数的敛散性和多种不等式的证明中，这对深刻体会泰勒公式的重要作用，拓宽我们的解题思维，提高分析与解决问题的能力以及综合运用知识的能力有着巨大的指导作用 。【关键词】 泰勒公式; 极限; 近似计算; 敛散性; T
2、he application of Taylor Formula Abstract Taylor formula is one of more important formula and has broader applications to mathematical analysis and study in the university, In the approximate calculation it has unique advantages, It can be transformed non-linear problem into a linear problem, and me
3、et the requirements of high precision. In addition, Taylor formula applies to solve the limitation , judge the Convergence and Divergence of Series and prove a variety of Inequality and so on.It is an important guide for us to have a better understanding of Tayor formulagreat functions, to exploit o
4、ur ways to thinking problems, to improve our ability in analyzing and solving problems and multi-use knowledge. Key wordsTaylor formula; limitation; approximate calculation; convergent-divergent discriminution; 目 录中文摘要.2英文摘要.3一.泰勒公式的引入.5泰勒公式.6二.泰勒公式的应用. 71.求极限. .72.在定积分不等式中的运用. 73.在代数不等式中的运用. 84.在导函
5、数不等式中的运用. .95.判断敛散性. 116.求近似计算. 117.函数的麦克劳林展开式. 12三.结束语. 13致谢词. 14参考文献. 15 一.泰勒公式的引入通过导数作近似计算： 而事实上由微分给出的近似计算得 在的定义域中的任意点。1.当取=0，有与函数在点不仅函数值相等，且一阶导数也相等，我们称是在点的一阶近似。2.为了提高精确度 设来近似替代，且满足 这时 就说是在点的二阶近似。再来确定的系数，对分别求一阶，二阶导数，有用代入，得即 从而得到二次近似式它比一次近似更精确。把上面的步骤继续下去，可得更高阶的近似。n阶的近似式从而引出泰勒公式：定理 若在点有直到n+1阶连续导数，那
6、么这个公式叫做在处的泰勒公式，式中叫做拉格朗日余项。推广：若在点有直到n+1阶连续导数，那么也叫在处的泰勒公式，一般的在处的泰勒公式叫做麦克劳林公式。根据定义可以推出一些常见函数的麦克劳林公式：（应记住） 二泰勒公式的应用1.求极限例1：的极限。解：因为分母是，故分子的泰勒公式中取，;所以有：=2. 在定积分不等式中的运用例2：设在单调增加，且，证明： 分析：（1）由于右边出现了和，提示我们选择分别展开； （2） 由于，所以最多只能展开到含二阶导数项为止。 证明：存在，在点的泰勒展开式是： 因为，所以 （1）把分别代入（1）并相加得： （2） 对（2）两边同时在定积分得即故3.在代数不等式中的
7、运用 例3：设若则有 证明：1)易证当为正整数时，有2）证当时的充分性，由泰勒公式知 （1）不妨设令 为了保证级数的收敛，先考虑的情形，将分别代入（1）得 (2)这里由（2）得 （3）由知，当时， （4）由（3）和（4）及1）可知,当=0，只需证 若结论显然成立；若时，则有有文献知， （5）令代入（5）即得结果。4.在导函数不等式中的运用 例4：设函数在具有二阶导数，且试证: 分析：题设告诉我们函数有二阶导数，提示我们尝试使用泰勒公式。将欲证式与一阶泰勒公式相比较知：没有一阶，零阶导数项。我们进一步分析可知：由于连续，因此最小值必在点取得，该点必是极值点，有。于是在极值点将函数展开，分别取0和
8、1，问题就得证。 证明：设在处取得最小值，即，则，将在处展成带拉格朗日余项的一阶泰勒公式： =分别取得：即有：和由此推出：当当。从而有：。例5：设证：设有所以即，例6：设，证：存在，将和分别代入上式得上面两式相减得：于是 由于是的任意一点，因此有 利用泰勒公式证明不等式，主要有两步：1.首先构造一个函数，选一个展开点，然后写出在点的带有拉格朗日余项的泰勒公式；怎么选点？通常是考虑一个区间的端点分点但是区间中的任意点也是分析函数性质不可或缺的点。运用泰勒公式时，就是将导数信息相对比较充分的点选做展开中心。如果区间中的任意点的导数信息比较充分，则任意点也可以作为展开中心。2.根据所给最高阶导数的大
9、小，函数的界或三角形不等式对进行放缩。如在附近有二阶可导，由泰勒公式得出：5. 判断敛散性例7：讨论无穷积分的敛散性 解： =选取因为，而，所以由无穷积分敛散性判别定理得知是收敛的。6. 计算近似值例8：求定积分 解：可以看出原函数不是初等函数，所以考虑泰勒公式展开，就能方便的求出其近似解。所以因为其中，误差。7.求函数的麦克劳林展开式例9: 求在处的麦克劳林展开式 解：首先做分解 再转化成： = 从上述实例可以看出，泰勒公式在微积分的各个方面都有重要的应用。深入探讨泰勒公式的应用，用简单的例子说明其应用的方法，并在学习中灵活运用，对我们理解和掌握抽象的泰勒公式内容起到事倍功半的作用。但是运用
10、泰勒公式时需注意：（1）一般将函数展开成比最高阶导数低一阶即可；（2）恰当的选择等式两边的与。只要在解题训练中注意分析研究题设条件极其形成特点，并注意归纳总结，就能比较好的运用泰勒公式。 .三结束语 泰勒公式是我们大学一个重要的公式，运用比较广泛，在微分和积分中，在导数中，在不等式的证明中，都有重要的应用。如果能够熟练的运用泰勒公式，不但拓宽我们的解题思维，提高分析与解决问题的能力以及综合运用知识的能力，而且也能够提高学习效率，达到事倍功半的效果。 深入探讨泰勒公式，对泰勒公式的进一步研究，能够让我们理解泰勒公式的出处，推导方法，以及以后的灵活运用。同时也能引起我们对数学专业的爱好，数学是一门
11、神秘的科目，是一个巨大的资源站。我们应以严谨求真的态度，谦虚的心态去勘探开采，在发现开采的同时，也要把它应用在学习实践中。 致 谢四年的大学学习与生活即将结束，在这个充满快乐与充实的日子里，我在各个方面都得到很大的提高，这全赖于许多老师和同学们的关心与帮助，至此论文完成之际，首先要感谢我的导师 老师，本课题从选题到最后的修改工作以及研究工作都是在 老师的精心指导和不懈的支持下完成的。他渊博的学识，对问题实质的洞察入微以及严谨求实的治学精神和学术上的高标准要求，都使我受益匪浅。徐老师创造的宽松的研究环境，也为我论文撰写工作创造了有利的条件。感谢邵阳学院理学与信息科学系的领导、老师的关心、帮助和支
12、持。感谢2005级数学与应用数学专业的所有同学。四年大学生涯的相处使得我们彼此建立了深厚的友谊，谢谢你们给我在生活和学习上的无私帮助。感谢我的家人，没有你们的理解和支持，就没有我的一切。感谢这几年给我帮助的所有人。让我怀着一颗感恩的心，去迎接人生中新的挑战。参考文献：【1】同济大学应用数学系.高等数学（2版）.北京：高等代数出版社，2000.【2】孙本旺，汪浩.数学分析中的典型例题和方法.长沙：湖南科学技术出版社，1992.【3】华中师范大学数学系.数学分析（下）.武汉：华中师范大学出版社，2001.【4】刘一鸣，周家云，解际太.数学分析（上册）.济南：山东大学出版社，1993.【5】张禾瑞，郝炳新.高等代数.北京：高等教育出版社，1990.【6】姚正安.数学分析方法论.北京：北京农业大学出版社，1992.【7】华中师范大学数学系.数学分析（二）.高等教育出版社，1991，P182.【8】詹瑞清等.高等数学全真教堂.学苑出版社，2003，P157.【9】沈燮昌，邵品琮.数学分析纵横谈.北京：北京大学出版社，1991.【10】白岩.考研数学全面辅导.长春出版社，2000.
