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1、正定矩阵及其应用Making matrix and its application 专 业: 信息与计算科学作 者: 指导老师: 二一二年五月 岳阳摘 要本文给出了若干充要条件；正定矩阵是一类特殊的矩阵,固然有它与其它矩阵不同的性质,所以给出了一些重要结论；本文还介绍了正定矩阵在分析中的应用；最后,还讨论了正定矩阵与柯西不等式、函数极值的关系. 关键词: 正定矩阵； 充要条件； 柯西不等式；函数极值AbstractThis paper provided several sufficient requirements. Making matrix is a kind of special mat
2、rix, there is no doubt that it has some properties different from other matrix, so I have give some important conclusions which provided my conclusion.In part four,it introduced the analysis of the application of making matrix. At last this thesis also discussed the relation between Making matrix, C
3、auchy inequality and function extremum.Keywords: Making matrix; Sufficient requirement; Cauchy inequality; Function extremum 目 录摘 要IABSTRACTII0 引言11 正定矩阵的等价定理12 关于实对称正定矩阵的一些重要结论43 正定矩阵与柯西不等式64 在函数极值问题中的应用95 小结116 致谢11参考文献120 引言矩阵的思想很早就已经有了,至少可以追溯到汉代中国学者在解线性方程组时的应用上.矩阵理论是数学的一个重要的分支, 它不仅是一门基础学科, 也是最具实
4、用价值、应用广泛的数学理论.特别是正定矩阵部分的应用很广泛1-6,本文提供解决正定矩阵问题的方法并阐明它在实际中的应用.1 正定矩阵的等价定理 判定一个矩阵是正定的,除了用定义外还可以运用一些与定义等价定理,以下给出了一些判定矩阵正定的充要条件. (1) 正定矩阵的充要条件是的正惯性指数等于的维数. 证明 设二次型经过非退化实线性替换变成标准型 (1.1)因为非退化实线性替换保持正定性不变,正定当且仅当(1.1)是正定的,而我们知道,二次型(1.1)是正定的当且仅当,即正惯性指数为. (2) 是正定矩阵的充要条件是合同于单位矩阵. 证明 由正定矩阵的充要条件是：的正惯性指数等于的维数可知,正定
5、二次型的规范性为 （1.2） 因为二次型（1.2）的矩阵是单位矩阵,所以一个实对称矩阵是正定的当且仅当它与单位矩阵合同.(3) 阶实对称阵为正定的充要条件是存在可逆矩阵,使成立. 证明 必要性：若是正定矩阵,则与单位矩阵合同.即存在实可逆矩阵,使,即,记,即有,且是可逆矩阵. 充分性：若,是实可逆矩阵,对,则 ,所以,是正定的. (4) 阶实对称阵为正定的充要条件是个特征值全为正值. 证明 因为对任意的一个级实对称矩阵,都存在一个阶正交矩阵,使得成为对角矩阵.若为正定矩阵,一定为对称矩阵,故存在阶正交矩阵,使得,为正定矩阵当且仅当合同于单位矩阵,由矩阵合同的传递性可知,得证.(5) 是正定矩阵
6、的充要条件是的所有顺序主子式大于零. 证明 先证必要性.设二次型是正定的.对于每个,令.我们来证是一个元的正定二次型.对于任意一组不全为零的实数,有.因此是正定的.由上面的推论,的矩阵的行列式,.这就证明了矩阵的顺序主子式全大于零.再证充分性.用数学归纳法.当时,由条件显然有是正定的.假设充分性的论断对于元二次型已经成立,现在来证明元的情形.令,于是矩阵可以分块写成.既然的顺序主子式全大于零,当然的顺序主子式也全大于零.由归纳法假定,是正定矩阵,换句话说,有可逆的级矩阵使,这里代表级单位矩阵.令,于是.再令,有,令,就有.两边取行列式,.有条件,.显然. 这就是说,矩阵与单位矩阵合同,因之,是
7、正定矩阵,或者说,二次型是正定的.根据归纳法原理,充分性得证. (6) 阶实对称阵为正定的充要条件是存在对称正定矩阵,使. 证明 必要性：存在正交阵,使其中记以及. (为的特征值). 充分性：对任给,(因为正定),所以正定. (7) 是正定矩阵的充要条件是存在非退化的上(下)三角矩阵,使. 证明 不妨以下三角矩阵为例来证明,上三角矩阵的情况同理可证. 必要性 若是阶正定矩阵,则的任意阶主子式大于零.特别的,有.将的第列乘适当的倍数,分别加到第列上,再施同样的行变化,可使变成为的形式.即：存在非退化的下三角矩阵,使,再令,则,因为正定 则作为的阶顺序主子式,也是正定的. 对做同样处理,最终可得到
8、令 则Q是非退化的下三角矩阵,且使 充分性是显然的. (8) 是正定矩阵的充要条件是是正定矩阵. 证明 必要性 若是正定的,则存在实可逆矩阵使.则因为可逆,所以也是实可逆矩阵. 所以 有 也是正定矩阵. 充分性 若 是正定矩阵,则.因为,是正定的. (9) 是正定矩阵的充要条件是存在正交向量组使.证明 必要性：是正定矩阵,因此存在正定矩阵,使,令 ,其中为正交向量组,即得.充分性：(U为正交矩阵),显然是正定矩阵.2关于实对称正定矩阵的一些重要结论 对于实对称正定矩阵除了上面的一些充要条件用于判定一个矩阵是否为正定矩阵外,还有很多重要结论,下面给出. (1) 已知是阶正定矩阵,则(是正整数)也
9、是正定矩阵. 证明 与的特征值有熟知的关系,故从特征值角度人手考虑.根据正定,即知其特征值全正,由于的全部特征值就是,也都为正.这就知是正定矩阵. (2) 若都是阶实对称矩阵,且是正定矩阵,证明存在阶实可逆矩阵使与同时为对角形. 证明 因为是正定的,所以合同于,即存在可逆阵U使；且是阶实对称矩阵,则,存在正交矩阵使,则,取,则为所求. (3) 若都是阶正定矩阵,证明:.证明 存在实可逆矩阵使,其中.取行列式得.故,即.(4) 若是正定矩阵,则也是正定的(其中表示的伴随矩阵). 证明 因为正定,所以正定；又因为,所以也正定.(5) 若A是实对称的正定矩阵,则存在使,均是正定矩阵. 证明 它的k级
10、顺序主子式为 当充分大时,为严格主对角占优的行列式,且故从而是正定的,其余同理可证. 这些结论如果能熟练掌握,并且可以巧妙运用有些题就可迎刃而解了. 例1 若是阶正定矩阵,则. 证明 法一 与都是阶实对称正定矩阵,因此存在阶实可逆矩阵使,其中为的特征值且大于零.所以为的特征值,也是大于零的.所以(见结论五). 法二 因为与都是阶实对称正定矩阵,所以(见结论一). (6) 若是阶实对称正定矩阵,则必有.证明 根据定义,对一切皆有,故依次令,就有,即,以此内推,即.3正定矩阵与柯西不等式 如果有一个正定的矩阵,我们通常可以设计出一个柯西不等式.进而我们就有必要知道正定矩阵与柯西不等式的关系.(1)
11、 柯西不等式 在中学里,我们就系统地学习了如下的一个不等式： (3.1)这就是著名的柯西不等式.若我们将不等式(3.1)用内积的形式来表示,则可易将它改写成.(2) 正定矩阵与柯西不等式的关系如果有一个正定的矩阵,我们经过变换,通常可以设计出一个柯西不等式.然则我们就有必要知道正定矩阵与柯西不等式的关系.正定矩阵与柯西不等式之间有什么关系呢?设是一个阶正定矩阵,则对任何向量与,定义 (3.2)则可以证明由(3.2)式定义的一定是维向量间的内积.反之,对于维向量间的任意一种内积,一定存在一个阶正定矩阵,使得对任何向量和,可由(3.2)式来定义.因此,给定了一个阶正定矩阵,在维向量间就可由该矩阵定
12、义一个内积,从而可得到相应的柯西不等式：.例2 证明不等式对所有实数和均成立.证明 观察不等式形式与结构,可知它相当于其中,是由矩阵所定义的.但如果要证明是内积,还需证明是个正定矩阵.经验证该矩阵为正定矩阵.从而可看出该不等式就是由所确定的内积所产生的柯西不等式,因此可知不等式成立. 注意：上述不等式可以推广为,其中为大于1的正整数,而是任意实数.例3 （不等式）设为任意实数, 则. 证明 记因为对于任意, 都有, 故关于的二次型是半正定的.易知, 该二次型矩阵的行列式大于或等于0, 即. 故得. 例4 证明 证明 记, 其中将矩阵的第列分别加到第一列,再将第行减去第1行,得, 于是的特征值为
13、由定理可知,为半正定矩阵, 即二次型是半正定的, 从而得, 即结论得证.例5 设是一个三角形的三个内角, 证明对任意实数,都有. 证明 记,其中对做初等行变换得: , 于是的特征值为 从而得二次型是半正定的, 即对于任意实数, 得证. 例6 设为阶正定矩阵, 且, 证明. 证明 设的全部特征值为,则的全部特征值为. 因为为实对称矩阵, 所以存在正交矩阵, 使得 由于为正定矩阵, 且, 则是正定的, 且其中至少有一个, 同时至少有一个等于零. 故, 结论得证.4在函数极值问题中的应用定理 设元实函数在点的一个邻域中连续,且有足够高阶的连续偏导数,则函数在点近旁有性质：1）若正定,则为极小点；2）
14、若负定,则为极大点；3）若不定,则非极大点或极小点；4）其余情形时,在点性质有待研究余项R的性质来确定.特别当是二次函数时,只要半正（负）定,则为极小（大）点.例7 求函数的极值解： 解方程组 , 易得,于是,经计算得 正定； 负定；不定. 故在点,点,不取极值；在点,取极小值,；在点,取极大值,.例8 已知实数满足, 求的最大值和最小值.解 的矩阵为.,因此,特征值. 于是, 由定理可知, 在下的最大值为, 最小值为.5小结本文主要介绍了正定矩阵的一些证明和一些应用,同时将正定矩阵的些特有性质加以论述,这就为我们理解应用正定矩阵提供了丰富的资料,文章的重点还是在正定矩阵的应用上,至于是否还有
15、其他方面的应用,现存的应用是否能够得到进一步的推广优化,条件能否减弱,都有待研究. 参考文献1岳贵鑫.正定矩阵及其应用J.辽宁省交通高等专科学校学报,2008,5:031-059.2北京大学数学系几何与代数教研室代数小组.高等代数(第二版)M.北京：高等教育出版社,1988：232-236. 3华东师范大学数学系.数学分析(第二版)M.北京：高等教育出版社,1991：176一l79. 4姚慕生.高等代数M.上海：复旦大学出版社,2002：230. 5盂道骥.高等代数与解析几何(第二版)M.北京：科学出版社,2004：370. 6丘维声.高等代数M.北京：高等教育出版社,1996：334335.
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