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1、Z变换与拉普拉斯变换的关系,Z变换与拉普拉斯变换的关系,2022/11/3,2,符号的使用,本小节我们要了解连续时间信号的拉普拉斯变换与对应的离散时间信号的Z变换之间的关系我们首先介绍所使用的符号,连续时间信号,对应的拉普拉斯变换,离散时间信号,对应的Z变换,取样信号,对应的拉普拉斯变换,2022/10/92符号的使用本小节我们要了解连续时间信号的,2022/11/3,3,S平面到Z平面的映射,由于所以而 的Z变换为由此可知,2022/10/93S平面到Z平面的映射由于,2022/11/3,4,S平面到Z平面的映射,关系式 说明，在 的条件下，离散时间信号的Z变换等于取样信号的拉普拉斯变换。若
2、令 和 ，则由 得到因此这就是Z平面到S平面的映射关系。其中r和w分别是Z平面的模和相角，而a和W是S平面的实轴和虚轴，T为取样周期。,2022/10/94S平面到Z平面的映射关系式,2022/11/3,5,S平面到Z平面的映射,从Z平面到S平面的映射关系看出：,2022/10/95S平面到Z平面的映射从Z平面到S平面的映,2022/11/3,6,S平面到Z平面的映射,从Z平面到S平面的映射关系还可以得出：,2022/10/96S平面到Z平面的映射从Z平面到S平面的映,2022/11/3,7,S平面到Z平面的映射,由上述讨论总结得出从Z平面到S平面的映射关系如下,2022/10/97S平面到Z
3、平面的映射由上述讨论总结得出从,2022/11/3,8,S平面到Z平面的映射,Z平面到S平面的映射关系可以用下图来表示,2022/10/98S平面到Z平面的映射Z平面到S平面的映射,2022/11/3,9,连续时间信号的拉氏变换与对应的离散时间信号的Z变换之间的关系,下面我们回头来讨论连续时间信号的拉氏变换与对应的离散时间信号的Z变换之间的关系,前面以及推导出另一方面，根据傅立叶级数展开有而所以,2022/10/99连续时间信号的拉氏变换与对应的离散时间信,2022/11/3,10,连续时间信号的拉氏变换与对应的离散时间信号的Z变换之间的关系,所以有由该式看出，映射 确定的不是 本身直接与 的
4、关系，而是 的周期延拓与 的关系。这种非直接关系将给设计IIR数字滤波器的冲激不变法带来不利影响。,2022/10/910连续时间信号的拉氏变换与对应的离散时间,系统函数System Function,系统函数System Function,2022/11/3,12,系统函数的定义及与单位取样响应的关系,线性非移变系统除了可以用线性常系数差分方程、单位取样响应和频率响应来描述外，还可以用系统函数来描述。设 和 分别是线性非移变系统的输入、输出和单位取样响应， 和 分别表示相应的Z变换，系统函数定义为即系统函数是单位取样响应 的Z变换。,2022/10/912系统函数的定义及与单位取样响应的关系
5、线,2022/11/3,13,由差分方程求系统函数,设一个线性非移变系统的输入和输出满足下列差分方程对上式两边求Z变换得因此,2022/10/913由差分方程求系统函数设一个线性非移变系,2022/11/3,14,由差分方程求系统函数,由此看出，系统函数是 的有理函数，将分子分母进行因式分解得式中， 分别表示系统函数 在Z平面上的极点和零点。这样，系统函数可以用Z平面上的极点、零点和常数 来确定。上式没有指出 的收敛域，收敛域有多种选择方案。不同的收敛域，对应于不同的单位取样响应，但它们都满足同一差分方程。,2022/10/914由差分方程求系统函数由此看出，系统函数,2022/11/3,15
6、,由系统函数判断系统的稳定性,系统的稳定性与系统函数 的收敛域有密切的关系。我们知道，为了使 的Z变换存在，就要求当 时，上式变成这就是系统稳定的充要条件。因此，若系统函数在单位圆上收敛，则系统是稳定的。或者说，系统稳定的充要条件是系统函数 的收敛域包括单位圆。,2022/10/915由系统函数判断系统的稳定性系统的稳定性,2022/11/3,16,由系统函数判断系统的稳定性,显然，一个稳定的因果系统的系统函数的收敛域应该是也就是说，因果系统稳定的充要条件是系统函数 的所有极点都在单位圆内。,2022/10/916由系统函数判断系统的稳定性显然，一个稳,2022/11/3,17,例2.21 设
7、一个线性非移变系统的系统函数为试画出零极点分布图，并确定 的收敛域和稳定性。解：对 的分母进行因式分解得,由系统函数判断系统的稳定性,2022/10/917例2.21 设一个线性非移变系统的系,2022/11/3,18,例2.21 解（续）可以得到极点为；零点为；如图所示。,由系统函数判断系统的稳定性,2022/10/918例2.21 解（续）由系统函数判断系,2022/11/3,19,例2.21 解（续）讨论,由系统函数判断系统的稳定性,2022/10/919例2.21 解（续）讨论由系统函数判,2022/11/3,20,例2.21 解（续）讨论,由系统函数判断系统的稳定性,2022/10/
8、920例2.21 解（续）讨论由系统函数判,2022/11/3,21,例2.21 解（续）讨论,由系统函数判断系统的稳定性,2022/10/921例2.21 解（续）讨论由系统函数判,2022/11/3,22,如果系统是稳定的，则可以用系统函数来计算系统的频率响应，只要将 代入系统函数就可以得到系统的频率响应，即,由系统函数求系统的频率响应,2022/10/922如果系统是稳定的，则可以用系统函数来计,2022/11/3,23,例2.22 设一个因果IIR系统的系统函数为试画出零极点分布图，并求系统的频率响应。解：对 的分母进行因式分解得,由系统函数判断系统的稳定性,2022/10/923例2
9、.22 设一个因果IIR系统的系,2022/11/3,24,例2.22 解（续）可以得到极点为；零点为；如图所示。,由系统函数判断系统的稳定性,2022/10/924例2.22 解（续）由系统函数判断系,2022/11/3,25,例2.22 解（续）因为系统为因果系统，所以系统函数的收敛域为收敛域包含单位圆，所以系统是稳定的，系统的频率响应为,由系统函数判断系统的稳定性,2022/10/925例2.22 解（续）由系统函数判断系,2022/11/3,26,由系统函数判断系统的稳定性,例2.22 解（续）幅频特性为相频特性为用MATLAB函数求系统的频率响应并画出响应曲线,2022/10/926
10、由系统函数判断系统的稳定性例2.22,2022/11/3,27,由系统函数判断系统的稳定性,例2.22 解（续）因为在 处有零点，所以在 处有极点，因而在 附近升至峰值。该系统是一个带通滤波器。,2022/10/927由系统函数判断系统的稳定性例2.22,2022/11/3,28,全通系统和最小相位系统,全通系统是指幅度响应恒为常数的系统，即,2022/10/928全通系统和最小相位系统全通系统是指幅度,2022/11/3,29,全通系统,2022/10/929全通系统,2022/11/3,30,最小相位系统,最小相位系统：系统函数所有零极点都在单位园内的系统,2022/10/930最小相位系统最小相位系统：系统函数所有,
