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1、普通物理学教程热学,分子作用力与分子作用力势能，（在分子作用力势能的基础上定义）分子碰撞有效直径，固体和液体中分子的振动和固体热膨胀现象，范德瓦耳斯方程及微观解释,复习1.7,第二章分子动理学理论的平衡态理论,利用概率论和力学定律讨论气体分子热运动所应遵从的规律,2.2 概率论的基本知识,1 mol 物质含6.02 1023个分子（1 cm3 水含 3.31022 个水分子），所有分子的运动服从牛顿力学定律，要知道1 mol 物质中每个分子的运动状态需要求解6.02 1023个联立方程，同时还有知道6.02 1023个分子的初始条件，这是不可能实现的目标。此外，在讨论系统的热力学性质时我们并不
2、关心单个分子的运动状态，而只要知道这些分子的整体表现，这就是它们的统计性质研究大数目系统的统计性质需要用概率论知识,事件可按如下方式分为两种：必然性事件（确定性现象） ：在一定条件下一定发生的事件偶然性事件（随机性现象）：在一定条件下可能发生也可能不发生的事件,确定性现象,在标准大气压下，水加热到100摄氏度，就必然会沸腾 向上抛一颗石子必然下落 同性电荷必定相互排斥,随机性现象,NBA每场比赛的得分抓一把米，所抓到的米粒数每日进入某一商场的人数,统计规律:,实践证明，如果同类的随机现象大量重复出现，它的总体就呈现出一定的规律性,大量同类随机现象所呈现出来的集体规律性,统计规律性,例1. 抛硬
3、币实验例2. 伽耳顿板实验,伽耳顿板实验, ,实验现象一个小球落在哪里有偶然性少量小球的分布每次不同大量小球的分布近似相同,伽耳顿板实验: N=10,伽耳顿板实验: N=50,伽耳顿板实验: N=100,伽耳顿板实验: N=500,统计规律有以下特点:只对大量偶然的事件才有意义它是不同于个体规律的整体规律（量变到质变）,结论统计规律是大量偶然事件的总体所遵从的规律统计规律和涨落现象是分不开的,定义: 某一事件 i 发生的概率为 Pi ，当,概率定义,其中：Ni - 事件 i 发生的次数 N - 各种事件发生的总次数,为某一给定值,等概率：两事件的发生仅差别于偶然因素时它们发生的概率相等概率相加
4、：发生的事件为若干个相互排斥事件之一的概率为各个事件发生的概率之和概率归一化：发生的事件为所有相互排斥事件之一的概率为1概率相乘：相互独立的事件发生的概率为各个事件发生的概率之积,概率基本性质,求一群人的平均年龄（ui为某个年龄，Ni为该年龄的人数）：,利用概率算平均值,当N很大时有,有如下利用概率计算的平均值表达式,求年龄平方u2的平均值：,利用概率算平均值,求年龄函数f(u)的平均值：,平均值运算法则,两个函数f(u)，g(u)相加的平均值：,平均值运算法则,函数f(u)与常量C乘积的平均值：,平均值运算法则,其中u，v这两个独立事件的概率满足：,两个互为独立事件u，v的f(u)，g(v)
5、相乘的平均值：,平均值运算法则,均方偏差：,平均值运算法则,均方偏差：,所以,由于,相对方均根偏差,反映u对于它的平均值偏差的程度，称为涨落，散度或散差,概率分布函数,速率是连续变化的，讨论一个给定速率的分子数有多少是没有意义的，因为连续变化的一个数据段中有无穷个数据点，这样讨论是没有结果的微积分的好处是我们可以从容处理连续变化变量的计算。对于连续变化速率，我们讨论在给定速率范围内的分子数，对这些分子数进行计算是可行的一个系统处于速率从v到v+v的分子数设为N，则分子处在这个速率段的概率为,定义pv与v之比在v趋于零时为分子速率在v处的概率密度（或概率密度分布函数），即,概率分布函数,所以，系
6、统中分子处于速率v1到v2区间的概率为,而系统中处于速率v1到v2区间内的分子数即为（其中N为系统总分子数）,若考虑分子在3个速度方向分量上的分布，则有概率,概率分布函数,由概率密度分布函数计算速率平均值,由概率密度分布函数计算速率平方平均值,由概率密度分布函数计算速率函数F(v)平均值,概率分布函数,由概率密度分布函数计算3个速度分量函数F(vx, vy, vz)的平均值,物理062，101，102班抛硬币实验：,自然界存在两类事件：必然性事件和偶然性事件。大量的偶然性事件遵从一定的统计规律。概率定义概率的几个基本性质：等概率，概率相加，概率归一化，概率相乘利用概率计算平均值：某物理量平均值
7、，它的函数的平均值当变量取连续值时，用概率密度函数取代概率计算平均值相对均方根偏差,复习2.2,2.3 麦克斯韦速率分布,对于处于平衡态的理想气体，其分子的运动速率是否有一定的分布？或者说平衡态的理想气体分子速率在不同时间的分布是否一样？分子速率到底怎样分布，跟什么因素有关？麦克斯韦速率分布回答了这个问题，是一个极为重要的科学成果,分布的概念,气体系统由大量分子组成， 各分子的速率通过碰撞不断改变。我们不可能逐个加以描述, 只能给出分子数按速率的分布,问题的提出,分布的概念,例如学生人数按年龄的分布,例如气体分子按速率的分布,Ni就是分子数按速率的分布，N为总分子数,速率分布函数 f(v),设
8、某系统处于平衡态下， 总分子数为 N ，则在vv+ dv 区间内的分子数所占的比率为,f(v) 称为速率分布函数（概率密度分布函数）,意义：,分布在速率v 附近单位速率间隔内的分子数与总分子数的比率,气体速率分布的实验测定,1. 实验装置：,2. 测量原理：,能通过细槽到达检测器 D 的分子所满足的条件,(2) 通过改变角速度的大小，选择速率v,(3) 通过细槽的宽度，选择不同的速率区间,(4) 沉积在检测器上相应的金属层厚度必定正比于相应速率下的分子数,实验结果见教材图2.5（p61）,麦克斯韦速率分布定律,理想气体在平衡态下分子的速率分布函数,(麦克斯韦速率分布函数),式中为分子质量，T
9、为气体热力学温度，k 为玻耳兹曼常量,k = 1.3810-23 J / K,1. 麦克斯韦速率分布定律,说明,(1) 从统计的概念来看讲速率恰好等于某一值的分子数多少 是没有意义的,(2) 麦克斯韦速率分布定律对处于平衡态下的混合气体的各 组分分别适用,(3) 在通常情况下实际气体分子的速率分布和麦克斯韦速率 分布能很好的符合,理想气体在平衡态下，气体中分子速率在vv+ dv 区间内的分子数与总分子数的比率为,这一规律称为麦克斯韦速率分布定律,2. 麦克斯韦速率分布曲线,( 速率分布曲线 ),由图可见，气体中速率很小、速率很大的分子数都很少。,在vv+ dv 中的分子数与总分子数的比率为,在
10、v1v2 区间内,曲线下的面积表示速率分布在v1v2 之间的分子数与总分子数的比率,v1,v2,T,T,( 速率分布曲线 ),曲线下面的总面积，等于分布在整个速率范围内所有各个速率间隔中的分子数与总分子数的比率的总和,最概然速率v p,f(v) 出现极大值时, 所对应的速率称为最概然速率,(归一化条件),下面求得：, 一定,T 越大,这时曲线向右移动, T 一定, 越大,这时曲线向左移动,v p 越大,v p 越小,T1,T2( T1),1,2( 1),由于曲线下的面积不变,由此可见,不同气体, 不同温度下的速率分布曲线的关系,分子速率的三种统计平均值,1. 平均速率,由概率密度分布函数计算速
11、率平均值,理想气体在平衡态下，气体中分子速率在vv+ dv 区间内的分子数与总分子数的比率为,求得平均速率,式中Mm 为气体的摩尔质量，R 为摩尔气体常量,思考：,是否表示在v1 v2 区间内的平均速率 ？,3. 最概然速率,2. 方均根速率,T,(1) 一般三种速率用途各 不相同,讨论分子的碰撞次数用,说明,讨论分子的平均平动动能用,讨论速率分布一般用,T,(2) 同一种气体分子的三种速率的大小关系:,它们分别是:,气体分子按平动动能的分布规律,代入麦克斯韦速率分布定律得到,上式是理想气体在平衡态下分子动能在 +d 区间内的分子数与总分子数的比率,意义：,思考：,最概然平动动能是否等于最概然
12、速率所对应的平动动能?,两边微分,氦气的速率分布曲线如图所示,解,例,求,(2)试在图上画出同温度下氢气的速率分布曲线的大致情况,(1)氢气在该温度时的最概然速率和方均根速率,知,而,有N 个粒子，其速率分布函数为,(1) 作速率分布曲线并求常数 a(2) 速率大于v0 和速率小于v0 的粒子数,解,例,求,(1) 由归一化条件得,(2) 因为速率分布曲线下的面积代表一定速率区间内的分 子数与总分子数的比率，所以,因此，vv0 的分子数为 2N/3,同理求得：vv0 的分子数为 N/3,的分子数与总分子数的比率为,根据麦克斯韦速率分布律，试求速率倒数的平均值,根据平均值的定义，速率倒数的平均值
13、为,解,例,P102: 2.3.1；2.3.2,作业,课外练习,（1）（2）求三种速率的比值（不开根号，用表达式表达）（3）最概然平动动能是否等于最概然速率所对应的平动动能?,是否表示在v1v2 区间内的平均速率？,麦克斯韦速率分布函数麦克斯韦速率分布的三个速率：平均速率，方均根速率，最概然速率三个速率之间的关系：,复习2.3,2.4 麦克斯韦速度分布,速度有方向和大小，速度的大小是速率已知速度可以求速率，但反过来不行。因此速度比速率更基本，包含更多信息速度分布不同于速率分布是因为前者要考虑方向而后者不用知道了速度分布则速率分布就能够推导得知,速度空间与速度分布函数,速度空间： 以分子速度分量
14、为坐标构成的“空间”,理想气体在平衡态下分子速度分布在vxvx+dvx， vyvy+dvy， vzvz+dvz 区间的概率为,麦克斯韦速度分布,跟麦克斯韦速率分布函数比较：,跟分子速度分布在vxvx+dvx， vyvy+dvy， vzvz+dvz 区间的概率比较：,分子速度分别分布在vxvx+dvx， vyvy+dvy， vzvz+dvz 区间的概率为,从麦克斯韦速度分布导出速率分布,理想气体在平衡态下分子速度分布在vxvx+dvx， vyvy+dvy， vzvz+dvz 区间的概率：,速度空间中的概率密度即是单位速度体积中的概率：,分子速度处于vv+dv区间的概率的是速度空间中半径为v厚度为
15、dv的概率：,麦克斯韦速率分布函数是分子速度为v时单位速度的概率：,*2.5 气体分子碰壁数及其应用,由麦克斯韦速度分布导出气体分子碰壁数及气体压强公式单位时间碰在单位面积上的总分子数：气体压强公式：,2.6 外场中自由粒子的分布，玻耳兹曼分布,在讨论麦克斯韦速度分布和麦克斯韦速率分布时我们没有考虑外场的作用，存在外场时情况会怎样？玻耳兹曼分布是关于位置的分布的规律，它回答了这个问题,一. 重力场中粒子按高度的分布,(非均匀的稳定分布),平衡态下气体的温度处处相同，气体的压强为,h,h+dh,在重力场中，粒子数密度随高度增大而减小， 越大，n 减小越迅速；T 越高，n 减小越缓慢,（等温气压公
16、式）,式中 p0 是高度为零处的压强,根据等温气压公式求高度：P = P0 e - gh /kT,可以利用压强变化规律测高度。不过实际温度也随高度变化，测大气温度有一定的范围，是近似测量,实验测得常温下距海平面不太高处，每升高10 m，大气压约降低133.3 Pa。试用等温气压公式验证此结果（海平面上大气压按1.013105 Pa 计，温度取273K）,解,例,等温气压公式,（M是摩尔质量）。将上式两边微分，有,二. 玻耳兹曼分布律,平衡态下温度为T 的气体中，位于空间某一小区间 xx+dx ，yy+dy ， zz+dz 中的分子数为,适用于任何形式的保守力场,式中p 是位于（x、y、z）处分
17、子 的势能。这是粒子关于位置的分布规律，常称为玻耳兹曼分布律。它表明，在势场中的分子总是优先占据势能较低的状态,应用于旋转参照系：,生活中的现象：,台风飓风热带气旋龙卷风,台风云图在气象图上，台风的等压线和等温线近似为一组同心圆。台风中心为低压中心，以气流的垂直运动为主，风平浪静，天气晴朗,三. 麦克斯韦玻耳兹曼分布律,平衡态下温度为 T 的气体中，位置在 xx+dx， yy+dy， zz+dz 中, 且速度在 vx vx+dvx , vy vy+dvy ,vz vz+dvz 区间的分子数为,式中 =k+p 是分子的总能量， C 是与位置坐标和速度无关的比例系数,这一结论，称为麦克斯韦玻耳兹曼
18、分布定律。它给出了分子数按能量的分布规律,拉萨海拔约为3600m ，气温为273K，忽略气温随高度的变化。当海平面上的气压为1.013105 Pa 时，,由等温气压公式得,设人每次吸入空气的容积为V0 ，在拉萨应呼吸x 次,(1) 拉萨的大气压强；(2) 若某人在海平面上每分钟呼吸17 次，他在拉萨呼吸多少 次才能吸入同样质量的空气？已知M=2910-3 kg/mol,解,例,求,则有,P103: 2.5.2, 2.5.6, 2.5.8,作业,课外练习,（1）麦克斯韦速度分布和麦克斯韦速率分布在概念上有什么差别？（2）玻耳兹曼分布律与麦克斯韦速度分布在概念上有什么差别？（3）跟麦克斯韦速度分布
19、相比，玻耳兹曼分布律使用了一个新的物理量，这个物理量是什么?,麦克斯韦速度分布，指出它与麦克斯韦速率分布不同之处利用麦克斯韦速度分布导出麦克斯韦速率分布重力场中粒子按高度的分布，导出玻耳兹曼分布将玻耳兹曼分布应用于旋转参照系，解释了台风等自然现象,复习2.4, 2.6,2.7 能量均分定理,在讨论分子热运动对宏观量如压强，温度等的影响时，我们将分子当质点对待，但实际的分子有一定体积，因而有转动发生。此外分子中的原子相互之间还存在着振动。这些运动对宏观量的影响如何？能均分定理回答了这个问题,一.自由度,自由度：确定一个物体的空间位置所必需的独立坐标数目,A：自由质点,x y z,B：自由刚体,
20、x y z,x,y,z,t=3, ,i=6, :,确定它的空间位置需3个坐标,确定它的质心位置需3个坐标，确定它的转动轴要2个坐标，刚体绕自己的转动轴转需1个坐标, 单原子分子：氦、氖、氩,i =3, 双原子分子：氢、氧、氮,哑铃,连线: 2个,质心:3个,i =5, 多原子分子:（co2等),3个平动自由度3个转动自由度,i =6,二.气体分子自由度,单原子,双原子,多原子,说明, 分子的自由度不仅取决于其内部结构，还取决于温度,3,5,6,质点,刚体,由刚性杆连接的两个质点,(2) 实际上，双原子、多原子分子并不完全是刚性的，还 有振动自由度。但在常温下将其分子作为刚性处理能 给出与实验大
21、致相符的结果，因此可以不考虑分子内 部的振动，认为分子都是刚性的,气体分子自由度,对于非刚性分子，原子间还存在振动自由度N个 原子组成的分子：总自由度最多为3N个其中包含分子整体平动自由度3个，整体转动自由度3个， 3N6个振动自由度,三. 能量均分定理,能量均分定理：由经典统计力学描述的气体在绝对温度 T时平衡，分子热运动的动能平均分配 到每一个分子的每一个自由度上，每一 个分子的每一个自由度的平均动能等于 kT/2,由于气体分子运动的无规则性，各自由度没有哪一个是特殊的，因此认为气体分子的平均动能平均分配在每一个运动自由度上,例：理想气体模型中温度的微观意义,能量均分定理,其中t为平动自由
22、度，r为转动自由度，v为振动自由度（每一个自由度的振动含有振动动能和振动势能）,说明：,能量按自由度均分定理适用于平衡态系统从微观上来说，能量按自由度均分是分子间的频繁碰撞而导致的平均结果能量按自由度均分定理是统计性规律，它反映的是分子各种方式运动的机会均等这一统计现象能均分定理具有一定的局限性,（多了2个转动自由度）,（多了1个振动自由度）,比较：理想气体模型中温度的微观意义,四. 理想气体的内能,内能：,气体中所有分子各种形式动能和分子内原子间振动势能的总和,理想气体的内能：,系统中与热现象有关的那部分能量,1mol 理想气体的内能为,每个气体分子的平均总能量为,mol 理想气体的内能为,
23、理想气体的内能,理想气体的摩尔内能,理想气体的（摩尔）内能,一定质量的理想气体内能完全取决于分子运动的自由度数和气体的温度，而与气体的体积和压强无关。对于给定气体，i 是确定的，所以其内能就只与温度有关，这与宏观的实验观测结果是一致的,理想气体内能只是温度的函数，与热力学温度成正比,热容：物体升高单位温度所吸收的热量,五. 理想气体的定体摩尔热容,理想气体的定体摩尔热容为,定体热容:在等体过程中升高单位温度吸收的热量,温度变化T时，1 mol 理想气体的内能变化为,而 mol 理想气体的内能变化为,理想气体的摩尔内能可写为,一容器内某理想气体的温度为273K，密度为= 1.25 g/m3，压强
24、为 p = 1.010-3 atm,(1) 气体的摩尔质量，是何种气体？(2) 气体分子的平均平动动能和平均转动动能？(3) 单位体积内气体分子的总平动动能？(4) 设该气体有0.3 mol，气体的内能？,解,例,求,由结果可知，这是N2 （氮）或CO 气体,(1) 由 ，有,(2) 平均平动动能和平均转动动能为,(3) 单位体积内气体分子的总平动动能为,(4) 由气体的内能公式，有,能量按自由度均分的物理原因*,源于分子间频繁的碰撞，使能量在各种自由度运动上的分配达到均匀,能量均分定理可用于估算布朗运动的速度*,将布朗运动粒子当作一个大分子，计算它的速度,自由度的冻结，能量均分定理的局限*,
25、根据量子理论，微观粒子的能量是按能级变化的，这使得在一定温度下某一自由度的运动被冻结，对内能不再有贡献,第二章总结（1）,介绍了概率论基本知识，包括：必然性事件和偶然性事件（统计规律是大量偶然性事件遵从的规律）；概率定义；等概率，概率相加，概率归一化，概率相乘；利用概率计算平均值（某物理量平均值，它的函数的平均值）；概率密度函数；相对均方根偏差,介绍了麦克斯韦速率分布函数;麦克斯韦速率分布的三个速率：平均速率，方均根速率，最概然速率;三个速率之间的关系,第二章总结（2）,介绍了麦克斯韦速度分布，指出它与麦克斯韦速率分布不同之处；利用麦克斯韦速度分布导出麦克斯韦速率分布；给出重力场中粒子按高度的分布，并由此导出玻耳兹曼分布；将玻耳兹曼分布应用于旋转参照系，解释了台风等自然现象,介绍了能量按自由度均分定理；给出理想气体内能表达式；介绍理想气体定体摩尔热容,P104-105: 2.6.52.7.2,作业,
