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1、第二章静电场,第二章,内 容 概 要,1. 电势的多极展开 2. 电多极矩 3. 电荷体系在外电场中的能量,2.6 电多极矩,内 容 概 要 1. 电势的多极展开2.6 电多极矩,张量和并矢的运算,并矢定义：,设矢量,张量和并矢的运算并矢定义：设矢量,单位张量：,张量的运算法则：,加法：,叉乘：,两并矢点乘：,点乘：,可见,（左点乘）,（右点乘）,单位张量：张量的运算法则：加法：叉乘：两并矢点乘：点乘：可见,1. 电势的多极展开,有限空间电荷在远处电势,若电荷分布在有限的空间，空间的线度为l,则该电荷分布对空间较远处r产生的场，可以按小参量l/r进行展开.,原子核线度10-15m,原子线度10
2、-10m,1. 电势的多极展开有限空间电荷在远处电势 若电,电动力学(第三版)静电场chapter2_6课件,电势的多极展开,真空中给定电荷密度激发的电场电势为,电势的多极展开真空中给定电荷密度激发的电场电势为,电动力学(第三版)静电场chapter2_6课件,体系的电荷,体系的电偶极矩,体系的电四极矩,体系的电荷体系的电偶极矩体系的电四极矩,2. 电多极矩,有限空间的电荷分布在远处产生的电势可以表示成各多极矩电势的叠加：,多极矩展开随阶数升高而减小：,点电荷Q激发的电势,第一项,作为第一级近似,可以把电荷体系看作集中于原点.,2. 电多极矩 有限空间的电荷分布在远处产生的电势可,电荷分布的电
3、偶极矩,第二项,原点对称的电荷分布电偶极矩为零.,典型电荷体系：等量正负电荷相距 ,电偶极矩p产生的电势,电荷分布的电偶极矩第二项原点对称的电荷分布电偶极矩为零.,电偶极矩的物理含义：,l 为由负电荷指向正电荷. 它产生的电势为:,lR,电偶极矩的物理含义：l 为由负电荷指向正电荷. 它产生的电势,电四极矩Dij 产生的电势,第三项,电四极矩是对称张量, 它有6个分量D11, D22, D33, D12= D21, D23= D32, D31=D13.,体系的电四极矩,电四极矩Dij 产生的电势第三项 电四极,电四极矩分量的物理含义,其中p=Q(ba)是其中一对电荷的电偶极矩, l=b+a是两
4、个电偶极子中心的距离. 它产生的电势是一对反向电偶极子所产生的电势.,图示z 轴上一对正电荷和一对负电荷组成的体系, 可以看作由一对电偶极子 组成. 这体系总电荷和电偶极矩都为零, 电四极矩由定义知,电四极矩分量的物理含义P+-obal-b-ar-r+Rz,单个电偶极子激发的电势,双电偶极子激发的电势,同理,可得其他电四极矩分量用偶极子表示的形式.,单个电偶极子激发的电势双电偶极子激发的电势同理,可得其他电四,D11x+D22y+D33+D12,电四极矩的另一定义,体系的电四极矩,电四极矩的另一定义体系的电四极矩,电四极矩是对称的，只有五个独立分量,电四极矩是对称的，只有五个独立分量,电四极矩
5、：球对称的电荷分布电四极矩为零,对非对角项,若系统电四极矩非零，则电荷分布偏离球对称,原子核形变的一种测量方法,电四极矩：球对称的电荷分布电四极矩为零对非对角项若系统电,例1 均匀带电的长形旋转椭球体半长轴为a,半短轴为b,带总电荷Q, 求它的电四极矩和远处的电势.,取z轴为旋转轴,椭球方程为,椭球所带电荷密度为,电四极矩为,由对称性,解：,例1 均匀带电的长形旋转椭球体半长轴为a,半短轴为b,带总,令x2+y2=s2，由对称性,因此,令x2+y2=s2，由对称性因此,电四极矩产生的势为,在上面的计算中,我们用了关系式,椭球的电偶极矩为零,总电荷为Q.在远处的势准确至四极项为,电四极矩产生的势
6、为在上面的计算中,我们用了关系式椭球的电偶极,3. 电荷体系在外电场中的能量,考察两个电荷系统，电荷分布分别为1、2，产生的电势分别为1、2. 则两个体系的相互作用能可以定义为,电荷系统与外场的相互作用能：,3. 电荷体系在外电场中的能量考察两个电荷系统，电荷分布,电荷分布(x)体系在电势为e外电场中能量为,可以将外场在有限尺度的电荷系统 处展开：,也可以写成矢量符号形式：,电荷分布(x)体系在电势为e外电场中能量为可以将外场在有,上式是小区域内电荷体系在外电场中的能量展开式.,外场中能量的级数形式,电荷（零级矩）与外场相互作用能：,上式是小区域内电荷体系在外电场中的能量展开式.外场中能量的级
7、,电偶极子在外电场中所受的力和力矩：,设电偶极矩与外电场方向的夹角为, 则力矩为,只有在非均匀场中四极子的能量才不为零.,电偶极矩与外场相互作用能：,电四极矩与外场相互作用能：,电偶极子在外电场中所受的力和力矩：设电偶极矩与外电场方向的夹,讨论：,外场与有限空间电荷系统的相互作用能可以表示成与各多极矩的相互作用能之和：,电荷（零极矩）与外场相互作用能：,电偶极矩与外场相互作用能：,电四极矩与外场相互作用能：,讨论： 外场与有限空间电荷系统的相互作用能可以表示成与,讨论：,仅具有电偶极矩的电荷系统称为电偶极子.若电偶极子空间线度可略，则与电场相互作用能可视为其在外场中的势能,电偶极子有四个自由度，四个广义坐标 .,电偶极子受力：,电偶极子受力矩：,极化效应：电偶极子在均匀电场中不受力，但有力矩使其趋于电场方向.静电吸引效应：电偶极子在非均匀电场中受力，使其趋于强电场处.,讨论：仅具有电偶极矩的电荷系统称为电偶极子.电偶极子有四个自,讨论：,一般情况下，电多极矩与原点选取有关（零阶矩除外），但最低阶非零的多极矩与原点选择无关.,以电四极矩为例：,电偶极子,讨论：一般情况下，电多极矩与原点选取有关（零阶矩除外），但最,作 业,11 12 13 14,作 业11 1,
