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1、11/7/2022 4:53 AM,Dr. Ping DU (杜平),School of Electronic Science and Applied Physics， Hefei University of Technology (HFUT),Oct. 9, 2011,Computational Electromagnetics 计算电磁学,E-mail: ,11/7/2022 4:53 AM,为什么要学习计算电磁学？ 为何要学习科学计算？ 现代科学研究的基本模式科学实验、理论分析、科学高性能计算（或高性能计算）。科学计算是20世纪重要的科技进步之一。伴随着电子计算机的出现迅速发展并得到广泛
2、应用。目前，其已成为促进重大科学发现和科技进步的重要手段。现今科学计算已是体现国家科学技术核心竞争力的重要标志，是国家科学技术创新发展的关键要素之一。 科学计算技术：硬件+软件。 硬件：计算机 软件：算法,第一讲 绪论,11/7/2022 4:53 AM,为何要学习计算电磁学？它的重要性是什么？ 随着科技的发展，比如分析深亚微米集成电路的Crosstalk问题、信号完整性问题；军用目标（比如战机）的电磁特性；大型天线阵列的设计等，人们对快速精确计算的要求越来越高。战机的电磁特性，如雷达散射截面(RCS)的计算，一般要在设计时就要得到。美国在上世纪90年代开发了FISC、XPATCH等分析该问题
3、的软件。目前，我国虽然也开发了几款类似软件，但据说计算精度和 实际要求还有一定差距。 因此需要继续研究计算电磁学。,11/7/2022 4:53 AM,计算电磁学的研究特点？ 先建立电磁、数学模型，然后通过适当的算法在计算机上实现。 算法(algorithm)，简单说就是解决具体问题时计算机所能执行的步骤。算法的评价标准：能否得到结果、精度是否满足要求、 计算量等。,11/7/2022 4:53 AM,算法得到的结果与真实结果之间总会存在误差，其主要来源有：模型误差 观测误差 方法误差舍入误差另外，收敛性和稳定性问题也要考虑。,11/7/2022 4:53 AM,电磁场问题求解方法 三类：解析
4、法、数值法、半解析数值法。 解析法 偏微分方程：分离变量法(Separation of variables) 积分方程： 变换法,11/7/2022 4:53 AM,优点：可将解答表示为已知函数的显式，从而可计算出精确的数值结果； 可作为近似解和数值解的检验标准；可方便观察到问题的内在联系和各参数对数值结果所起的作用。,缺点：只能解决很少量的问题。 比如，标量亥姆霍兹问题，只有在11种坐标系下才能用分离变量法求解。所分析问题的边界面只能为11种坐标系中的一个或几个的组合；另外，边界条件只能为一类或二类才行。,对积分方程，只有其核为某些形式时才能用变换法得到解。因而近似解析法就显得十分重要。,1
5、1/7/2022 4:53 AM,近似解析法 常见的有微扰法、变分法、多极子展开近似等。 高频近似法，如几何光学法(GO)、物理光学法(PO)、几何绕射理论(GTD)、一致性绕射理论（UTD）、物理绕射理论(PTD)、弹跳射线法(Shooting and Bouncing Rays , SBR)。 低频近似法，如准静态场近似。,这些近似法共同点是： 根据求解问题的解的范围(定义域、值域)作出该范围内成立的近似假设，从而得到简化模型和求解过程的目的。,11/7/2022 4:53 AM, 数值方法： 优点： 普适性强； 用户不必掌握高度专业化的电磁场理论、数学及数值技术方面的知识就能用提供的程序
6、解决实际问题。 主要有：有限元法(FEM)时域有限差分法(FDTD)矩量法(MoM).,11/7/2022 4:53 AM,半解析数值法 它结合了纯解析法和纯数值法的优点，使数值计算工作量显著降低，适合微机计算。同时，保留了纯数值法的灵活性和通用性。 比如，直线法 ( Method of Lines),11/7/2022 4:53 AM,常用的几种数值计算方法 有限元法（FEM法)：离散泛函形式的麦克斯韦方程。 早在1940年代就提出， 1950年代用于飞机设计； 但开创性工作是R. W. Clough在1960年的著作中奠 定的。 1960年代末-70年代初，被移植到电磁场工程领域。,11/
7、7/2022 4:53 AM,早期：里兹有限元：应用瑞利-里兹方法，广泛应用于求解Laplace方程和Poisson方程所描述的场问题。 后来：伽略金(最小二乘)有限元法：应用加权余量法中的伽略金(Galerkin)法或最小二乘法也可以得到有限元方程。这样，FEM法能够分析任何微分方程所描述的各类物理场。另外，它也能用于分析时变场、非线性场以及复杂媒质中的电磁场问题。,11/7/2022 4:53 AM,有限元法的几个优点：采用物理上离散与分片多项式插值，对材料边界、激励有广泛适应性； 基于变分原理，将数理方程变为代数方程组求解； 采用矩阵形式和单元组装方法，其各环节易于标准化，程序通用性强，
8、且具有较高的计算精度，便于编写程序和维护，适宜于制作商业软件.国际学术界对有限元法的理论、计算技术和各方面的应用做了大量的工作，许多问题均有现成的程序，可用的商业软件资源相对较多。电磁领域有HFSS。,11/7/2022 4:53 AM,早期有限元法存在几个缺点：出现伪解，这是由于未强加散度条件引起的； 在材料边界和导体表面强加边界条件不便； 处理导体和介质边缘及角有困难。,1980年代末、90年代初，提出了矢量有限元法(Vector FEM)，也叫棱边元(edge element)。该方法克服了上面提到的缺点。,11/7/2022 4:53 AM,FEM法因为其优点受到了人们的欢迎。但随着对
9、FEM的研究，特别是工程上实际应用的深入，一些新问题也随之出现：所解问题的复杂性和经费、时间以及计算机能力有限之间存在着矛盾； FEM法为区域性解法，分割的元素数和节点数较多，导致所需要的初始数据复杂、使用不便。但利用剖分软件如ANSYS、Patran等商业软件可以将分析区域自动剖分成三角形单元(二维问题，如波导的本征值问求解)或四面体单元(三维问题，如介质体的散射计算)。,(To be contd),11/7/2022 4:53 AM,有限元产生的代数矩阵方程的条件数。随着网格细分，单元尺寸h变小，条件数将变坏，导致计算结果很差。 为求解坏条件数的矩阵方程，人们提出了预条件技术(Precon
10、ditioning techniques)，如稀疏近似逆（SAI）、双层(Two-level)预条件技术、稀疏化递归Cholesky分解以及折叠预条件(Folded preconditioning)( IEEE TRANS. MAGNETICS, VOL. 46, No. 7, Jul. 2010)等。,(To be contd),11/7/2022 4:53 AM,对于无限大区域中的问题，由于其边界条件难以妥善处理，即使能求得结果，误差也较大。两个解决办法：1. 采用效果较好的截断边界条件；它可以保持FEM中矩阵方程稀疏性、但计算空间较大；2. 采用有限元法+边界积分方程(FE-BI)。边界
11、积分破坏了矩阵方程的稀疏性，但大多数情况下能够减少计算空间。,基于FEM法的商业软件如Ansoft HFSS。,11/7/2022 4:53 AM, 时域有限差分法(FDTD): 直接离散时域麦克斯韦方程。 有限差分法，在19世纪末已经提出。1950年代，它才与近似数值分析结合起来。它简单、直观，得到了广泛应用。 原理：它是以差分原理为基础的一种数值方法，它把电磁场连续域内的问题变为离散系统的问题。 有限差分法一般是在频域中应用的。1966年K. S. Yee将其应用于时域电磁问题，提出了时域有限差分法，即FDTD法。1980年代后期开始受到了人们的重视。,11/7/2022 4:53 AM,
12、随着吸收边界条件(Absorbing boundary condition, ABC)的不断完善、各种非标准网格划分技术、计算量压缩技术、抗误差积累技术等的深入研究使得它几乎应用于所有电磁问题，如电磁散射、天线特性、电磁波的生物效应、波导与谐振腔问题、微波与毫米波集成电路分析等。,基于FDTD法的商业软件如GEMS。,11/7/2022 4:53 AM, 矩量法(MoM)：直接离散积分形式麦克斯韦方程。 1963年，K. K. Mei (梅冠香)在博士论文中首次采用了该方法。 1968年R. F. Harrington(哈林顿)在其专著中Field Computation by Method
13、of Moments，对该方法进行了全面深入的分析，用统一的观点进行了简单扼要地介绍。,11/7/2022 4:53 AM,MoM的步骤：将需要求解的微分或积分方程写成带有微分或积分算符的算子方程；将待求函数表示为一组基函数的线性组合并代入到算子方程；然后选一组权函数对所得的方程取内积，从而得到矩阵方程或代数方程组。 最后就是利用计算机求解上面所得的方程组。,11/7/2022 4:53 AM,MoM能够分析严格解析法和近似解析法不能解决的边界比较复杂的问题。MoM的计算量很大。对于由微分方程为基础的离散方程，其系数矩阵多为大型病态稀疏矩阵；对于由积分方程为基础的离散方程，其系数矩阵通常为满阵
14、(Dense matrix)，所有元素都要进行计算。 在电磁学中，MoM一般应用于分析积分方程。这样，它产生的系数矩阵为满阵，其内存需求为 ，CPU时间为 ，其中N为未知量数目。因而，该方法只适合分析较小的电磁问题。,11/7/2022 4:53 AM,为了能用它分析大型电磁问题，人们提出了许多方法，如 快速方法，如 多层快速多极子方法MLFMA 共轭梯度-快速傅立叶法CG-FFT 自适应积分法AIM pFFT新颖的基函数，如 综合基函数 (Synthesis Basis function, SBF) 特征基函数 (Characteristic BF) 子全域基函数 (SED BF)混合法，如
15、 物理光学-矩量法(PO-MoM)。,11/7/2022 4:53 AM,基于MoM法的商业软件: FEKO （MLFMA） IE3D Ansoft Designer等,11/7/2022 4:53 AM,本课程主要内容： FDTD (FDM)FDM: 差分格式、差分方程组的求解；FDTD：差分格式及解的稳定性、吸收边界条件(开域问题)、激励源的设置等。ADI-FDTD：基本原理、吸收边界条件等 MoM MoM的基本原理、其在静电问题、二维/三维散射问题、天线/天线阵中的应用。,11/7/2022 4:53 AM,目标： 掌握FDTD和MoM的基本原理，并能编程计算若干电磁问题。计算机语言要求
16、： 掌握MATLAB，Fortran 90/95 或C其中之一.考核方法： 平时作业、期末考试.,11/7/2022 4:53 AM,参考书目(References)： 1 金建铭著，王建国译.电磁场有限元方法. 西安电子科技大学出版社 2 王秉中. 计算电磁学. 科学出版社. 3 葛德彪，闫玉波. 时域有限差分法. 西安电子科技大学出版社. 4 R. F. Harrington. Field Computation by Method of Moments. IEEE Press. 5 余文华, 苏涛, Raj Mittra, 刘永俊. 并行时域有限差分. 中国传媒大学出版社 扩展文献： 6 盛新庆. 计算电磁学要论（第二版). 中国科学技术大学出版社. 7 吕英华. 计算电磁学的数值方法. 清华大学出版社,11/7/2022 4:53 AM,Thank you!,
