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1、第三节,三重积分,换元法计算三重积分,一、柱面坐标求三重积分二、球面坐标求三重积分,回顾 三重积分的概念,类似二重积分解决问题的思想, 采用,引例: 设在空间有限闭区域 内分布着某种不均匀的,物质,求分布在 内的物质的,可得,“分割, 近似, 求和, 取极限”,解决方法:,质量 M .,密度函数为,定义. 设,存在,称为体积元素,若对 作任意分割:,任意取点,则称此极限为函数,在上的三重积分.,在直角坐标系下常写作,下列“乘,积和式” 极限,1. 利用直角坐标计算三重积分,方法1 . 投影法 (“先一后二”),方法2 . 截面法 (“先二后一”),先假设连续函数,并将它看作某物体,通过计算该物
2、体的质量引出下列各计算,最后, 推广到一般可积函数的积分计算.,的密度函数 ,方法:,方法1 . 投影法 (“先一后二”),找 及在 面投影区域D。过D上一点 “穿线”确定 的积分上下限，完成了“先一”这一步（定积分）；进而按照二重积分的计算步骤计算投影区域D上的二重积分，完成”后二“这一步。,方法2. 截面法 (“先二后一”),为底, d z 为高的柱形薄片质量为,该物体的质量为,面密度,2. 利用柱坐标计算三重积分,就称为点M 的柱坐标.,直角坐标与柱面坐标的关系:,坐标面分别为,圆柱面,半平面,平面,如图所示, 在柱面坐标系中体积元素为，在二重积分的时候我们讲过极坐标的转化 面积微元为,
3、因此,其中,适用范围:,1) 积分域表面用柱面坐标表示时方程简单 ;,2) 被积函数用柱面坐标表示时变量互相分离.,体积微元,其中为由,例1. 计算三重积分,所围,解: 在柱面坐标系下,及平面,柱面,成半圆柱体.,先二后一,例2. 计算三重积分,解: 在柱面坐标系下,所围成 .,与平面,其中由抛物面,原式 =,例3. 计算三重积分,解: 在柱面坐标系下,所围立体.,其中,与球面,注：这个式子虽容易写出，但是要求积分结果非常难，我们能不能找到更加简便的方法来研究这道题目呢？,3. 利用球坐标计算三重积分,就称为点M 的球坐标.,直角坐标与球面坐标的关系,坐标面分别为,如图所示, 在球面坐标系中体
4、积元素为,因此有,其中,适用范围:,1) 积分域表面用球面坐标表示时方程简单;,2) 被积函数用球面坐标表示时变量互相分离.,例5. 计算三重积分,解: 在球面坐标系下,所围立体.,其中,与球面,这种方法简单多了！,内容小结,积分区域多由坐标面,被积函数形式简洁, 或,* 说明:,三重积分也有类似二重积分的换元积分公式:,对应雅可比行列式为,变量可分离.,围成 ;,（1）若空间闭区域关于平面 对称, 即,即被积函数关于z为偶函数时，,即被积函数关于z 为奇函数时,则当,当,其中 是 位于 平面上侧的部分.,积分区域关于其它坐标平面：,对称，且被积,函数分别是 的奇、偶函数，也有上述类似的结论,一、利用空间区域的对称性或被积函数的奇偶性计算三重积分,（2）若空间区域具有轮换对称性，即,则,也就是三字母轮换积分区域不改变，,4. 设由锥面,和球面,所围成 , 计算,提示:,利用对称性,用球坐标,2. 计算,其中,解:,利用对称性,关于 为奇函数,
