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1、1,第十章 曲线积分与曲面积分,curvillnear integral and surface integral,2,问题的提出,对弧长的曲线积分的概念,几何意义与物理意义,对弧长的曲线积分的计算,arc length,第一节 对弧长的曲线积分,第十章 曲线积分与曲面积分,3,一、问题的提出,实例,匀质之质量,分割,求和,取极限,取近似,曲线形构件的质量,4,二、对弧长的曲线积分的概念,设L为 xOy面内一条光滑曲线弧,在L上有界.,作乘积,并作和,如果当各小弧段的长度的最大值,在L上任意插入一点列,把L分成n个小段.,设第i个小段的,第i个小段上任意取定的,长度为,一点,5,曲线形构件的质
2、量,即,这和的极限存在,则称此极限为,在曲线弧 L,对弧长的曲线积分,或,第一类曲线积分.,积分和式,被积函数,弧元素,积分弧段,记作,6,2.存在条件,对弧长的曲线积分,连续,对弧长的曲线积分为,7,闭曲线L上,对弧长的曲线积分,记作,(对路径具有可加性),8,(1),(2),(3),与积分路径的方向无关,即,9,在一条光滑(或分段光滑)的,是L上关于x 的奇函数,是L上关于x 的偶函数,L1是曲线L落在y 轴一侧的部分.,在分析问题和算题时常用的,L关于y轴 对称,补充,对称性质,曲线L上连续,则,当,(或y),(或y),当,(或x轴),(或x),10,例,其中L是圆周,解,因积分曲线L关
3、于,被积函数x是L上,被积函数,因积分曲线L关于,对称性,计算,得,是L上,y轴对称,关于x的奇函数,x轴对称,关于y的奇函数,11,三、对弧长曲线积分的计算,定理,其中,且,有定义且连续,具有一阶连续导数,化为参变量的定积分计算,对弧长的曲线积分要求,定积分的下限,一定要小于上限,!,12,特殊情形,(1),(2),13,(3),特殊情形,推广,14,或,此时需把它化为参数方程,再按上述方法计算.,?,为参数),15,例,解,例,解,16,例,解,得,17,解此题时也可用,故,对称性质,18,练习,在第一象限中所围图形的边界.,提示,解,19,故,20,几何意义,(1),(2),四、几何意义与物理意义,柱面面积,弧长,物理意义,L的质量,21,1989年研究生考题,填空(3分),解,设下半圆周的参数方程,则,通过几何直观,还有更简单的方法吗?,想一想,22,例,解,由于,有,的方程中的x,y,z的地位完全对称,23,1988年研究生考题,填空(3分),解,对称性,24,思考题 是非题,对弧长的曲线积分,当利用参数方程化为,定积分计算时,不管起点还是终点,其下限为较,小端点的参数值,上限为较大端点的参数值.,是,25,谢谢,
