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1、,互为反函数的函数图像之间的 关 系 及 应 用,余江一中新校园学生餐厅,授课教师：余江一中 寿青文,1.叙述反函数的定义：,一般地，函数y=f(x)(xA )中,设它的值域为C,我们根据这个函数中x,y的关系, 用y把x表示出来得到x = (y).如果对于y在C中的任何一个值,通过x = (y)在A中都有唯一的值和它对应，那么, x = (y)就表示y是自变量,x是自变量y的函数，这样的函数x = (y),(yC)叫做函数y=f(x) ,(xA)的反函数，记作 x = f 1(y)字母x、y互换，得 y=f-1(x),一、复习提问：,求反函数的基本步骤：,.由y=f(x)出发，用y表示x,解
2、出x = f1(y);,.将x，y互换得到y = f1(x);,.指出反函数的定义域（即原函数的值域).,反解,互换,写出定义域,2、求反函数有哪些基本步骤？,解：函数y=2x2-3(xR)没有反函数；,因为它不是由一一映射构成的函数；,当把定义域改写为0,+)或(-,0时它才有反函数.,4、函数y=2x2-3(xR)有没有反函数？为什么？如何改写定义域才能使其有反函数？,3、点P(a,b)关于直线y=x对称的对称点P的坐标为 .,（b, a）,（即横坐标与纵坐标对换位置）,例1 、求函数y=3x-2(xR)的反函数，并且画出原来的函数和它的反函数的图象。,解： y=3x-2,函数y=3x-2
3、(xR)的反函数为y=,x=,二、讲授新课,首先我们来研究互为反函数的函数图像间的关系,（xR),互为反函数的两个函数的图象之间是否具有某种对称关系?,它们的两个函数图象是以直线y=x为对称轴的对称图形。,给出定理：,函数 y = f ( x ) 的图象与它的反函数 y = f 1 ( x ) 的图象关于直线 y = x 对称。,问题：,回答：,注：1）这个结论是由特殊到一般归纳出来的，并未经过严格证明，为不增加难度，现在不作证明。,2）这个结论是在同一坐标系下，且横轴（x轴）与纵轴（y轴）长度单位一致的情况下得出的。,3）函数y=f(x)与函数y=f1(x)互为反函数，图像关于直线y = x
4、对称；,函数y=f(x)与函数x=f1(y)互为反函数，图像相同。,4）如果两个函数的图象关于y = x 对称，那么这两个函数互为反函数；,函数y=f-1(x)与函数x=f-1(y)是同一函数，图像关于直线y=x对称,例2 、求函数y=x3(xR)的反函数，并画出原来的函数和它的反函数的图象.,由函数,(x R)，,得,所以函数,(x R)的反函数是：,解：,注：当已知函数y=f（x）的图象时，利用所学定理，作出它关于直线y=x对称的图象，就是反函数y=f1（x）的图象。,练习1： 画出函数y=x2(x0,+)的图象，再利用对称性画出它的反函数的图象.,例3、若点P（1，2）在函数 的图象上，
5、又在它的反函数的图象上，求a，b的值。,解：由题意知，P（1，2）在函数 的反函数的图象上，根据互为反函数的函数图象关于直线y=x对称的性质知，点P1（2，1）也在函数 的图象上。因此，得,解得，a=3，b=7,然后我们利用互为反函数的函数图像间的关系来解决相应问题,例4、求证：函数 的图象关于直线y=x对称.,证明：,yx-y=x,(y-1)x=y,函数,的反函数为,即：函数 的反函数是该函数自身,函数 的图象关于直线y=x对称,注：如果一个函数的反函数就是它本身，那么这个函数的图象关于y = x 对称；反之，如果一个函数的图象关于y = x 对称，那么这个函数的反函数就是它本身。,例5、已
6、知函数 f ( x ) = 1）求 f ( x ) 的反函数；2）若这个函数图象关于 y = x 对称，求 a 值。, 3,2）由题 函数图象关于 y = x 对称,可知 f（x）的反函数是它本身即,f （x） = f -1 （x）, a = 3,解：,练习2：如果y=f（x）的图象过点（1，2），那么y=f-1(x)1的图象过点_,分析：由y=f（x）的图象过点（1，2），知y=f-1(x)的图像过点（2，1），而y=f-1(x)1的图像是由y=f-1(x)的图像向下平移1个单位得到的，故y=f-1(x)1的图象过点（2,0),(2,0),练习3：如果一次函数y=ax+2与y=3x-b的图象
7、关于直线y=x对称，求a,b的值,解：据题意， y=ax+2与y=3x-b互为反函数， y=3x-b的反函数为：,比较系数得：,练习4：已知函数 的图像经过点（1，3），且它的反函数f-1(x)的图像过点（2，0），求f(x).,解：,f(x)的图像过点（1，3）,a+b=3 ,由f(x)的反函数f-1(x)的图像过点（2，0），可知f(x)的图像过点（0，2）,1+b=2 ,由得b=1,将b=1代入中得a=2,解法一：由 得反函数 由 令 x=0得 m=-1解法二：令x=0 则(0, )在f(x)的图象上 由已知f(x)的反函数是自身 ( , 0)在f(x)的图象上， -5=0 m=-1,练
8、习5：已知函数,的图象关于直线y=x对称，求m的值.,三、课堂小结,1、函数 y = f ( x ) 的图象与它的反函数 y = f 1 ( x ) 的图象关于直线 y = x 对称。,2、函数y=f(x)与函数y=f -1(x)互为反函数，图像关于直线y = x对称；函数y=f(x)与函数x=f -1(y)为互为反函数，图像相同。函数y=f -1(x)与函数x=f -1(y)是同一函数，图像关于直线y=x对称,4、如果两个函数的图象关于y = x 对称，那么这两个函数互为反函数；,5、如果一个函数的反函数就是它本身，那么这个函数的图象关于y = x 对称；反之，如果一个函数的图象关于y = x 对称，那么这个函数的反函数就是它本身。,3、利用对称性画出已知图象的函数的反函数的图象,四、布置作业：课本：习题2.4 3,4,5,
