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1、第四章级数,1 复数项级数,2 幂级数,3 泰勒级数,4 洛朗级数,数学分析中的级数理论很容易推广到复函数上来，,并得到某些系统的结论。不仅如此，级数可作为研究,解析函数的一个重要工具，将解析函数表示为幂级数。,是泰勒定理由实情形的推广，是研究解析函数的另一,重要方法(注意前一章是用复积分方法研究)。,1 复数项级数,1. 复数列的极限,2. 级数概念,1. 复数列的极限,此时也称复数列n收敛于。,则称为复数列n当n时的极限, 记作,设a=a+ib为一确定的复数。如果任意给定, 相应,地能找到一个正数,使,在n N时成立,定理一 复数列,收敛于的,充要条件是,定理一 复数列,收敛于的,充要条件
2、是,找到一个正数N, 当nN时,则,从而有,所以,存在N，当n N 时，有, 则任给0,反之, 如果,定理一 复数列,收敛于的,充要条件是,证,2. 级数概念,称为无穷级数, 其最前面n项的和,称为级数的部分和。,都收敛。,证 因,级数,定理二,和,收敛的充要条件是级数,的部分和, 由定理一, sn有极限存在的充要条件,是 sn和n的极限存在, 即级数,都收敛。,和,其中,和,分别为,定理二将复数项级数的审敛问题转化为实数项级,和,数的审敛问题。而由实数项级数,收敛的,和,必要条件,要条件是,立即可得,，从而推出复数项级数,收敛的必,成立。,，可知级数,都收敛，因而,和,及,也都收敛，则,是收
3、敛的。而又因,，因此,或,如果,收敛，则,也收敛，且不等,定理三,由于,，而,证,式,非绝对收敛的收敛级数称为条件收敛级数。,，,收敛也可用正项级数的判定法来判定。,例2 下列数列是否收敛? 如果收敛, 求出其极限。,解 1) 因,，故,而,2) 由于 an= n cos in = n ch n = n(en+e-n)/2, 因此,当n时, an。所以an发散。,例 下列数列是否收敛? 如果收敛, 求出其极限。,解,例3 下列级数是否收敛? 是否绝对收敛?,敛, 故原级数收敛, 且为绝对收敛。,为条件收敛, 所以原级数非绝对收敛。,例 下列级数是否收敛? 是否绝对收敛?,解 1),3),2),
4、2 幂级数,1. 幂级数概念,2. 收敛圆与收敛半径,3. 收敛半径的求法,4. 幂级数的运算和性质,1. 幂级数的概念,称为复变函数项级数。最前面n项的和,设,称为这级数的部分和。,区域D内有定义。表达式,为一复变函数序列, 其中各项在,存在, 则称复变函数项级数在z0收敛, 而s(z0)称为它的和。,如果对于D内的某一点z0, 极限,若级数在D内处处收敛, 则和一定是z 的一个函数 s (z)：,s(z)称为级数,的和函数。,这种级数称为幂级数。,级数的特殊情形:,如果令,或,当 fn(z)=cn-1(z-a)n-1或 fn(z)=cn-1zn-1时, 就得到函数项的,形式, 为了方便,
5、今后常就讨论第二式。, 这是第二式的, 则上式就成为,定理一(阿贝尔Abel定理),若级数,在,收敛，则对满足,的z，级数必绝对收敛，如果在,级数发散，则对满足,的z，级数必发散。,同高等数学中的幂级数一样，复变幂级数也有所谓,幂级数的收敛定理。,证,因,收敛，则,则存在使对所有的n 有,如果,，则,而,由于,为公比小于1的等比级数，故收敛，因此,亦收敛，从而级数,是绝对收敛的。,如果级数,发散，且如果。,用反证法，设级数,结论可导出,收敛，与所设矛盾，因此只能是,发散。,反而收敛，则根据前面的,2. 收敛圆和收敛半径,利用阿贝尔定理, 可以定出幂级数的收敛范围,对一,个幂级数来说, 它的收敛
6、情况不外乎三种：,i) 对所有的正实数都是收敛的。这时, 根据阿贝尔,定理可知级数在复平面内处处绝对收敛。,ii) 对所有的正实数除 z=0外都是发散的。这时, 级数,在复平面内除原点外处处发散。,iii) 既存在使级数收敛的正实数, 也存在使级数发散,的正实数。设,时, 级数发散。当由小逐渐变大时,(正实数)时, 级数收敛,(正实数),一个以原点为中心, R为半径的圆周CR。,必定逐渐接近,显然ab, 将收敛域染成红色, 发散域为蓝色.,在CR的内部都是红色,外部都是蓝色。这个红蓝,两色的分界圆周CR称为幂,级数的收敛圆。在收敛圆,的内部, 级数绝对收敛。,以z=a为中心的圆域。在收敛圆上是
7、否收敛, 则不一定。,的外部, 级数发散。收敛圆,收敛圆的半径R称为收敛半径。所以幂级数的收敛,范围是以原点为中心的圆域。对幂级数来说, 收敛范围是,例1 求幂级数,解 级数是等比级数，部分和为,的收敛范围与和函数。,当,时，由于,，从而有, 即,时级数,收敛，和函数为,不趋于零，级数发散。收敛范围为, 当,时，由于,时,，在此范围内,绝对收敛，并有,3.收敛半径的求法,定理二(比值法),，则收敛半径,如果,证,时，,收敛。由上节定理三，级数,由于,故知当,在圆,内收敛。,为,外有一点,，使级数,再证当,时，级数,发散。假设在圆,收敛。在圆外再取一点,，,，那么根据阿贝尔定理，级数,必,收敛。
8、然而,，所以,收敛的假定不能成立。因而,使级数,在圆,这跟,收敛相矛盾，即在圆周,外有一点,，,使, 那么根据阿贝尔定理，级数,必收敛。,然而,，所以,收敛的假定不能成立。因而,使级数,外发散。以上的结果表明了收敛半径,在圆,这跟,收敛相矛盾，即在圆周,注意：定理中的极限是假定存在的且不为零。若, 那么对任何z, 级数,收敛, 从而级数,证明从略。,，则收敛半,定理三(根值法),如果,因此,也不能收敛, 即R=0。否则, 根据阿贝尔定理,将有,使得级数,收敛。,复平面内除z=0以外的一切z，级数,都不收敛。,径为,在复平面内处处收敛，即,。如果,，那么对于,例2 求下列幂级数的收敛半径,(并讨
9、论在收敛圆周上的情形)；,(并讨论 z = 0,2 时的情形)；,1),2),3),解,1) 因为,或,所以收敛半径 R =1，也就是原级数在圆| z |=1内收敛, 在,圆周外发散。在圆周| z |=1上，级数,是收敛的,例2 求下列幂级数的收敛半径,(并讨论在收敛圆周上的情形)；,(并讨论 z = 0,2 时的情形)；,1),2),3),解,1),在圆周| z |=1上，级数,是收敛的,因为这是一个 p 级数，p = 3 1，所以原级数在收敛圆,上是处处收敛的。,例2 求下列幂级数的收敛半径,(并讨论在收敛圆周上的情形)；,(并讨论 z = 0,2 时的情形)；,1),2),3),解,2)
10、,级数收敛；当z=2时，原级数成为,也有级数的发散点。,，即 R =1。,这个例子表明，在收敛圆周上即有级数的收敛点，,上，当z = 0时，原级数成为,在收敛圆,发散。,例2 求下列幂级数的收敛半径,(并讨论在收敛圆周上的情形)；,(并讨论 z = 0,2 时的情形)；,1),2),3),解,3),因为,故收敛半径为,，所以,2),上，当z = 0时，原级数成为,，级数收敛；当z=2,上即有级数的收敛点，也有级数的发散点。,，即 R =1。在收敛圆,时，原级数成为,发散。这个例子表明，在收敛圆周,3),因为,故收敛半径为,因为这是一个 p 级数，p = 3 1，所以原级数在收敛圆,上是处处收敛
11、的。,，所以,例 求下列幂级数的收敛半径,1),2),3),解,1),4),5),例 求下列幂级数的收敛半径,1),2),3),解,2),4),5),例 求下列幂级数的收敛半径,解,3),1),2),3),4),5),例 求下列幂级数的收敛半径,解,4),1),2),3),4),5),例 求下列幂级数的收敛半径,1),2),3),解,5),4),5),4. 幂级数的运算和性质,在以原点为中心, r1, r2中较小的一个为半径的圆内, 这两,个幂级数可以象多项式那样进行相加, 相减, 相乘, 所得到,的幂级数的和函数分别就是 f (z)与 g (z)的和,差与积。在,象实变幂级数一样, 复变幂级
12、数也能进行有理运算。,具体说来，设,中较小的一个，也就是,各种情形，所得到的幂级数的收敛半径大于或等于r1与r2,为了说明两个幂级数经过运算后所得的幂级数的收敛半,径确定可以大于r1与r2中较小的一个, 下面举一个例子。,例3 设有幂级数,与,，求,的收敛半径。,例3 设有幂级数,与,，求,的收敛半径。,解,但级数,容易验证，,与,的收敛半径都等于1,的收敛半径,的公共收敛圆域,自身的收敛圆域大于,这就是说,，但应注意，使等式,与,例3 设有幂级数,与,，求,的收敛半径。,解,的公共收敛圆域,自身的收敛圆域大于,这就是说,，但应注意，使等式,与,成立的收敛圆域仍应为,，不能扩大。,更为重要的是
13、代换(复合)运算, 就是：,把函数展开成幂级数时, 有着广泛的应用。,如果当,时, 又设在,内g (z)解析且满足,则当,时，,。这个代换运算, 在,例4 把函数,表成形如,的幂级数，其中,a与b是不相等的复常数。,解,把函数,写成如下形式：,当,时，有,例4 把函数,表成形如,的幂级数，其中,a与b是不相等的复常数。,解,设,从而可得,，那么当,时，上式右端的级数收敛，,例4 把函数,表成形如,的幂级数，其中,a与b是不相等的复常数。,解,设,，那么当,时，上式右端的级数收敛，,且其和为,且。因为z=b时，,阿贝尔定理知，当,级数发散，即上式右端的级数,当|z-a|b-a|=R时级数收敛,上
14、式右端的级数发散，故由,时，,的收敛半径为,本题的解题步骤为：首先把函数作代数变形，,使其分母中出现量,再按照展开式为已知的函数,的形式写成,，其中,。然后把,展开式中的 z 换成 g (z)。,例 把函数,分别表成形如,和,的幂级数，并求其收敛半径。,解,(1)把函数,而,时，即,展开成形如,的幂级数，,即,例 把函数,分别表成形如,和,的幂级数，并求其收敛半径。,解,(2)把函数,而,时，即,展开成形如,的幂级数，,即,定理四 设幂级数,的收敛半径为R，则,1) 它的和函数,是收敛圆,的解析函数。,2) f (z) 在收敛圆内的导数可将其幂函数逐项求导,内,得到，即,3) f (z)在收敛
15、圆内可以逐项积分, 即,或,复变幂函数也象实变幂级数一样，在其收敛圆内具,有下列性质：,例 求下列幂级数的收敛半径及其和函数,1),2),3),解,1),2),例 求下列幂级数的收敛半径及其和函数,1),2),3),解,3),例 求下列幂级数的收敛半径及其和函数,1),2),3),解,1),4),2),3),4),3 泰勒级数,设函数 f (z)在区域D内解析, 而,z0 为中心的任何一个圆周,它与它的内部全含于D, 把,上一节中证明了一个幂级数的和函数在收敛域内,部是一个解析函数。这节来研究：任何一个解析函数,是否能用幂级数来表达？这个问题不但具有理论意义，,而且很有实用价值。,为D内以,它
16、记作K, 又设z为K内任一,点。于是按柯西积分公式有,其中K 取正方向, 且有,，且有,代入柯西积分公式得,由解析函数高阶导数公式，上式可写成,其中,在K内成立, 即 f (z)可在 K内用幂级数表达。为此令,显然，q与积分变量z无关, 且 0 q 1。由于K含于D,如果能证明,在K内成立，由上式可得,f (z)在D内解析, 从而在K上连续, 则在K上有界, 因此在,K上存在正实数M使| f (z)| M。则,因此, 下面的公式在K内成立。,称为f (z)在z0的泰勒展开式, 它右端的级数称为f (z)在,z0处的泰勒级数。,如果z0到D的边界上各点的最短距离为d, 则展开式,在圆域|z-z0
17、|d内成立。但这时对f (z)在z0的泰勒级数来,说, 它的收敛半径R至少等于d, 因为凡满足|z-z0| d 的z,必能使公式成立, 即Rd。,从以上的讨论，可得到下面的定理(泰勒展开定理),成立，其中,定理(泰勒展开定理),D内的一点, d 为z0 到D 的边界上各点的最短距离, 则,当|z-z0| d时,设 f (z)在区域D内解析, z0为,从以上的讨论，可得到下面的定理(泰勒展开定理),如果f (z)在z0解析, 则使 f (z)在z0的泰勒展开式成立,的圆域的半径R等于从z0到 f (z)距z0最近一个奇点a的距,离, 即R =| a-z0 |。这是因为f (z)在收敛圆内解析,
18、故奇点,a不可能在收敛圆内。又因为奇点a不可能在收敛圆外,不然收敛半径还可以扩大, 因此奇点a只能在收敛,圆周上。,任何解析函数展开成幂级数的结果就是泰勒级数,因而是唯一的。,这是因为, 假设 f (z)在z0用另外的方法展开为泰勒级,则 f (z0) = a0.,而,于是 f (z0)=a1.,级数：,同理可得,由此可见，任何解析函数展开成幂级数的结果就,是泰勒级数，因而是唯一的。,利用泰勒展开式, 也可以直接通过计算系数:,把 f (z)在z0展开成幂级数, 这被称作直接展开法, 例如,故有,求ez在z=0处的泰勒展开式, 由于,(ez)(n)=ez, (ez)(n)|z=0=1, (n=
19、0,1,2,.),因为ez 在复平面内处处解析, 上式在复平面内处处成,立, 收敛半径为。,同样, 可求得sin z与cos z在z=0的泰勒展开式:,因为sin z与cos z在复平面上处处解析, 所以这些等式也,在复平面内处处成立。,除直接法外, 也可以借助一些已知函数的展开式,利用幂级数的运算性质和分析性质(定理四), 以唯一,性为依据来得出一个函数的泰勒展开式, 此方法称为,间接展开法。例如sin z 在 z= 0 的泰勒展开式也可以用,间接展开法得出：,例1 把函数,展开成z的幂级数。,解 由于函数,有一个奇点,，而在,内处处解析，所以可在,内展开成z的幂级数。,将上式两边求导，即得
20、所求的展开式,因为,解 ln(1+z)在从,解析的, 而,例2 求ln(1+z)的主值在z=0处的泰勒展开式。,向左沿负实轴剪开的平面内是,是它的奇点, 所以可在 |z|1 展开为z的,因为,，逐项积分得,幂级数。,即,这就是所求的泰勒展开式。,例2 求ln(1+z)的主值在z=0处的泰勒展开式。,解 ln(1+z)在从,解法1,例3 求幂级数,用待定系数法展开。由于,可知 f (z)满足微分方程,为复数)的主值支：,在z=0处的泰勒展开式。,显然, f (z)在从-1起向左沿负实轴剪开的复平面内解,析，因此必能在|z|1内展开成z的幂级数。,设,把它代入上列微分方程，得,即,所以所求的展开式
21、为,，得,比较上式两端z的同次幂的系数并注意,解法2,直接从,算出泰勒展开式的系数。,为了方便，设,求导，得,所以,即,继续求导得,总之, 把复变函数展开成幂级数的方法与实变函数的,情形基本一样。,最后要指出，幂级数,在收敛圆,内的和函数是解析函数；反过来，在圆域,析的函数 f (z)必能在,展开成幂级数,是两种等价的说法。,内解,。所以，,于是得所求的展开式。,令z=0，得,例 把下列函数展开成z的幂级数，并指出它们,解,又,的收敛半径。,故,例 把下列函数展开成z的幂级数，并指出它们,解,的收敛半径。,例 把下列函数展开成z的幂级数，并指出它们,解,的收敛半径。,例 把下列函数展开成z的幂
22、级数，并指出它们,解,的收敛半径。,例 求下列函数在指定点处的泰勒展开式，并指出,解,它们的收敛半径。,例 求下列函数在指定点处的泰勒展开式，并指出,解,它们的收敛半径。,例 求下列函数在指定点处的泰勒展开式，并指出,解,它们的收敛半径。,4 洛朗级数,一个以z0为中心的圆域内解析的函数 f (z), 可以在,首先讨论下列形式的级数:,该圆域内展开成,则在z0 的邻域内就不能用,将讨论在以 z0 为中心的圆环域内的解析函数的级数,的幂级数。如果 f (z)在z0不解析,的幂级数表示。本节中,表示法。,可将其分为两部分考虑,(正幂项部分),(负幂项部分),只有在正幂项和负幂项都收敛才认为第一式收
23、敛,于它们的和。,这是,正幂项是一幂级数, 设它的收敛半径,为R2, 对负幂项, 如果令,时,时，在圆环域, 负幂项才收敛, 因此, 只有,的幂级数, 设收敛半径为R, 令R1= 1/R, 则当, 原级数才收敛。,就得到,例如级数,中的负幂项级数,即,(a与b为复常数),，当,时收,幂级数在收敛圆内的许多性质, 负幂项级数在收敛,圆环域内也具有。,敛, 而正幂项级数, 当,时收敛。所以当,时原级数在圆环域,收敛。当,时原级数,处处发散。,的收敛区域。,例1 求级数,解 当,时，有,，则,当,时，有,，则,所以级数的收敛区域为：,例如, 可以证明, 负幂项级数在收敛域内其和函数,是解析的, 而且
24、可以逐项求积和逐项求导。,现在反问, 在圆环域内解析的函数是否一定能够展,开成级数?先看下例。,函数,在 z=0及 z=1都不解析，但在圆环,内都是解析的先研究,的情,及,域,形，,幂级数在收敛圆内的许多性质, 负幂项级数在收敛,圆环域内也具有。,函数,在 z=0及 z=1都不解析，但在圆环,内都是解析的先研究,的情,及,由此可见，f (z) 在,内是可以展开为级数的。,域,形，,其次, 在圆环域：,内也可以展开为级数：,其次, 在圆环域：,内处处解析的函数 f (z), 可能展开成,形如上面的级数，事实上我们有下面的定理。,x,内也可以展开为级数：,从以上讨论可知，函数 f (z)是可以展开
25、成为级数的，,只是这些级数含有负幂的项罢了。据此推想，在圆环,域,定理 设 f (z)在圆环域,这里C为在圆环域内绕z0的任何一条闭曲线。,其中,内解析, 则,证 设z为圆环域内的任一点,圆周K1与K2, K2半径R大于K1半,径r, 且使z在K1与K2之间。,在圆环域内作以z0为中心的正向,其中,由柯西积分公式得,内，所以,.,，跟泰勒展开式一样，可以推得,第二个积分,。由于,在,上，点z在,其中,现在需要证明,所以,在,外部成立。令,，因此有,则,因此有,因此有,上面级数的系数由不同的式子表出。 如果在圆环域,内取绕z0的任何一条正向简单闭曲线C，则根据闭路变形,原理, 这两个式子可表示为
26、：,其中,(4.4.5)称为 f (z)在以z0为中心的圆环域：,内的洛朗(Laurent)展开式, 它右端的级,数称为 f (z)在此圆环域内的洛朗级数。级数中正整次幂,和负整次幂分别称为洛朗级数的解析部分和主要部分。,另外，一个在某圆环域内解析的函数展开为含有,正，负幂项的级数是唯一的，这个级数就是 f (z)的洛,事实上，假定 f (z)在圆环域,种方法展成由正负幂项组成的级数：,内用某,并设C为圆环域内任何一条正向简单闭曲线,为C上,一点，那么,朗级数。,这就是得到前面的级数的系数。,从而,上面定理给出了将一个圆环域内解析的函数展开,成洛朗级数的一般方法。但这方法计算系数很麻烦。,例如
27、要把,在以z=0为中心的圆环域,以,去乘上式两边，且p为任一整数，并沿C沿,分，得,内展开成洛朗级数时，若用公式计算cn算，那么有,其中C为圆环域内的任意一条简单闭曲线。,当,，即,，由于,在圆环域内解析，,故由柯西-古萨基本定理知，,，即,。,由高阶导数公式知,故有,当,若根据正、负整次幂项组成的级数的唯一性，可以用,别可以用别的方法，特别是代数运算，代换，求导和,积分等方法去展开, 那么将会简便得多，像上例,两种方法相比，其繁简程度不可同日而语。因此，以,后在求函数的洛朗展开式时，通常不用公式去求系数，,而像求函数的泰勒展开式那样采用间接展开法。,在圆环域：,例1 函数,iii) 2|z|
28、+；,i) 0|z|1；,ii) 1|z|2；,内处处解析, 试把 f (z)在这些区域内展开成洛朗级数。,解 先把 f (z)用部分分式表示：,i) 在 0|z|1 内；由于 |z|1，从而,，所以,结果中不含有z的负幂项，原因在于,在 z=0处是解析的。,ii) 在1|z|2内，由于,，则,，又因为,从而有,，因此有,解 先把 f (z)用部分分式表示：,iii) 在2|z|+内，由于, 所以,，并因此有,，所以有,解 先把 f (z)用部分分式表示：,在圆环域：,例 函数,iii) 0|z-2|1；,i) 0|z-1|1；,ii) 1|z-1|+；,内处处解析, 试把 f (z)在这些区
29、域内展开成洛朗级数。,iv) 1|z-2|+；,解 先把 f (z)用部分分式表示：,解 先把 f (z)用部分分式表示：,i) 在 0|z-1|1 内，由于|z-1|1，所以,ii) 在1|z-1|+内，由于,，则,，有,解 先把 f (z)用部分分式表示：,iii) 在0|z-2|1内，由于,，则,解 先把 f (z)用部分分式表示：,iv) 在1|z-2|+内，由于,，则,，有,解 先把 f (z)用部分分式表示：,例2 把,解 因原函数在区域内处处解析，又,内展开成洛朗级数。,在,所以把上式中的z代换成有,，即得所求的洛朗展开式：,在以z = 0 为中心、由,例 求函数,它的奇点互相隔
30、开的不同圆环域内的洛朗展开式。,解 (1) 在| z | 1内展开，得,在以z = 0 为中心、由,例 求函数,它的奇点互相隔开的不同圆环域内的洛朗展开式。,解 (2) 在1| z | 3内展开，得,在以z = 0 为中心、由,例 求函数,它的奇点互相隔开的不同圆环域内的洛朗展开式。,解 (3) 在3| z | +内展开，得,函数可以在以z0为中心的(由奇点隔开的)不同圆环,域内解析, 因而在各个不同的圆环域中有不同的洛朗展,开式(包括泰勒展开式作为它的特例)。我们不要把这种,情形与洛朗展开式的唯一性相混淆。所谓洛朗展开式的,唯一性, 是指函数在某一个给定的圆环域内的洛朗展开,式是唯一的。另外
31、，在展开式的收敛圆环域的内圆周上,注意：一个函数 f (z)可以在奇点展开为洛朗级数，,也可在非奇点展开。,有 f (z)的奇点，外圆周上也有 f (z)的奇点，或者外圆周,的半径为无穷大。,域(包括圆域)内的展开式有三个：,上。因此, f (z)在以-i为中心的圆环域内展开式有,二个：,特别的，当洛朗级数的系数公式,可利用Laurent系数计算积分)。,闭曲线，f (z) 在此圆环域内解析。所以计算积分可转化,时，有,中,或,(即,其中C为圆环域,内的任何一条简单闭,为求被积函数洛朗展开式中z的负一次幂项的系数c-1。,函数,在圆环域,由此可见,例1,求积分,解,内处处,解析，且,在此圆环域内，所以f (z)在此圆环域内洛,朗展开式的系数c-1乘以,即为所求积分的值。,，从而,函数,内解析，,在此圆,例2,求积分,解,在,环域内，把它在圆环域内展开得,故c-1=-2, 所以，原式,例3 求积分,解,。,朗系数为,内解析，其洛,在,则,例4,求积分,解,内解析，洛朗级数为,在,则,其洛朗系为,
