复变函数论第三版钟玉泉ppt第七章课件.ppt

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1、1,2022/11/9,7.1 解析变换的特性,7.1.1 解析变换的保域性7.1.2 解析变换的保角性7.1.3 单叶解析变换的共形性,第七章 共形映射,2,2022/11/9,定理7.1 (保域定理)设w=f(z)在区域D内解析且不恒为常数,则D的象G=f(D)也是一个区域.,证 首先证明G的每一点都是内点.,设w0G,则有一点z0D,使w0=f(z0).,要证w0是G的内点,只须证明w*与w0充分接近时,w*亦属于G.,即当w*与w0充分接近时,方程w*=f(z)在D内有解.,为此,考察 f(z)-w*=(f(z)-w0)+(w0-w*,),由解析函数零点的孤立性,必有以z0为心的某个圆

2、C:|z-z0|=R,显然 f(z0)-w0=0,f(z)-w0在C上及C的内部(除z0外),C及C的内部全含于D,使得,均不为零.因而在C上:,7.1.1解析变换的保域性,内的点w*及在C上的点z有,对在邻域,3,2022/11/9,因此根据儒歇定理,在C的内部,与f(z)-w0有相同零点的个数.于是w*=f(z)在D内有解.,由于D是区域,可在D内部取一条联结z1,z2的折线C:z=z(t) t1tt2,z(t1)=z1,z(t2)=z2.于是：,就是联结w1,w2的并且完全含于D的一条曲线.,从而,参照柯西积分定理的古莎证明第三步,可以找到,其次,要证明G中任意两点w1=f(z1),w2

3、=f(z2)均可以用一条完全含于G的折线联结起来.（连通性）,一条连接w1,w2,内接于 且完全含于G的折线1,总结以上两点,即知G=f(D)是区域.,4,2022/11/9,证 因f(z)在区域D内单叶,必f(z)在D内不恒为常数.,定理7.2 设w=f(z)在区域D内单叶解析,则D的象G=f(D)也是一个区域.,注 定理7.1可以推广成这样的形式:“w=f(z)在扩充z平面的区域D内除可能有极点外处处解析（即为亚纯函数）,且不恒为常数,则D的象G=f(D)为扩充z平面上的区域.,注 满足定理7.2和7.3的条件的解析变换w=f(z)将z0的一个充分小的邻域内变成w0=f(z0)的一个曲边邻

4、域.,定理7.3 设函数w=f(z)在点z0解析,且f (z0)0,则f(z)在z0的一个邻域内单叶解析.,5,2022/11/9,7.1.2 解析变换的保角性,导数的几何意义,设w=f(z)于区域D内解析,z0D,在点z0有导数,通过z0任意引一条有向光滑曲线,C:z=z(t)(t0tt1),z0=z(t0).,因此C在z0有切线,就是切向量,经变换w=f(z),的参数方程应为,它的倾角为,C,w=f(z),C的象曲线,由定理7.3及第三章习题(一)13, 在点w0=w(t0)的邻域内是光滑的.,又由于,故 在w0=f(z0)也有切线，,设其倾角为，则,就是切向量,6,2022/11/9,图

5、7.1,且,（7.1）,（7.2）,如果假定x轴与u轴,y轴与v轴的正方向相同,而且将原曲线切线的正方向与变换后象曲线的切线正方向间的夹角,理解为原曲线经过变换后的旋转角,则：,(7.1)说明:象曲线 在点 的切线正向,可由原曲线C在点 的切线正向旋转一个角度 得出。,仅与 有关,而与经过 的曲线C的选择无关,称为变换 在点 的旋转角。,导数辐角的几何意义.,(7.2)说明:象点间无穷小距离与原象点间的无穷小距离之比,的极限是 ,它仅与 有关,而与过 的曲线C的,7,2022/11/9,方向无关,称为变换w=f(z)在点 的伸缩率.这也就是导数模的几何意义.,上面提到的旋转角与C的选择无关的这

6、个性质,称为旋转角不变性;伸缩率与C的方向无关,这个性质,称为伸缩率不变性.,从几何意义上看:如果忽略高阶无穷小,伸缩率不变性就表示w=f(z)将 处无穷小的圆变成 处的无穷小的圆,其半径之比为 .,上面的讨论说明:解析函数在导数不为零的地方具有旋转角不变性与伸缩率不变性.,上式可视为,8,2022/11/9,经点z0的两条有向曲线C1,C2的切线方向所构成的角称为两曲线在该点的夹角.,O,x,(z),z0,定义7.1 若函数w=f(z)在点 的邻域内有定义,且在点 具有:(1)伸缩率不变性;(2)过 的任意两曲线的夹角在变换w=f(z)下,既保持大小,又,z0,z0,z0,保持方向;则称函数

7、w=f(z)在点 是保角的,或称w=f(z)在点 是保角变换.,如果w=f(z)在区域D内处处都是保角的，则称w=f(z)在区域D内是保角的，或称w=f(z)在区域D内是保角变换.,z0,z0,9,2022/11/9,转动角的大小与方向跟曲线C的形状与方向无关. 所以这种映射具有转动角的不变性.,通过z0点的可能的曲线有无限多条, 其中的每一条都具有这样的性质, 即映射到w平面的曲线在w0点都转动了一个角度Arg f (z0).,10,2022/11/9,相交于点z0的任何两条曲线C1与C2之间的夹角,在其大小和方向上都等同于经w=f (z)映射后C1与C2对应的曲线G1与G2之间的夹角,所以

8、这种映射具有保持两曲线间夹角与方向不变的性质.这种性质称为保角性。,y,11,2022/11/9,定理7.4 如w=f(z)在区域 D内解析,则它在导数不为零的点处是保角的.,推论7.5 如w=f(z)在区域D内单叶解析,则称w=f(z)在区域D内是保角的.,总结上述讨论，我们有以下结论：,例1求w= f(z)=z3 在 z=0, z=i 处的导数值,并说明几何意义。,解 w= f(z)=z3在全平面解析， 。,在z=i 处具有伸缩率不变和保角性。,伸缩率为3，旋转角为 。,12,2022/11/9,定义7.2 如果w=f(z)在区域D内是单叶且保角的,则称此变换w=f(z)在D内是共形的,也

9、称它为D内的共形映射.,7.1.3 单叶解析变换的共形性,定理7.6 设w=f(z)在区域D内单叶解析.则 (1)w=f(z)将D共形映射成区域G=f(D). (2)反函数 在区域G内单叶解析,且,证 (1)由推论7.2,G是区域,由推论7.5及定义7.2,w=f(z)将D共形映射成G.,(2)由定理6.11, ,又因w=f(z)是D到G的单叶满变换,因而是D到G的一一变换.,于是,当 时, ,即反函数 在区域G内单叶.故,13,2022/11/9,由假设f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在区域D内解析,即在D内满足C.-R.方程ux=vy,uy=-vx.故,由数学分析中隐函数存在定理,存

10、在两个函数x=x(u,v),y=y(u,v)在点 及其一个邻域 内为连续，即在邻域 中,当 时,必有,故,即,14,2022/11/9,在D内作以z0为其一个顶点的小三角形, 在映射下, 得到一个以w0为其一个顶点的小曲边三角形, 这两个三角形对应边长之比近似为|f (z0)|, 有一个角相等, 则这两个三角形近似相似.,定理的几何意义.,15,2022/11/9,16,2022/11/9,第二节 分式线性变换,7.2.1 分式线性变换及其分解 7.2.2 分式线性变换的映射性质7.2.3 分式线性变换的应用,17,2022/11/9,(7.3),为分式线性变换.简记为w=L(z).,1.定义

11、,7.2.1 分式线性变换及其分解,称变换,注:,条件ad-bc0是必要的。因若ad-bc=0,则, 约定：w=L(z)的定义域为C：,(7.4),结论,w=L(z)将CC,w=L(z)的逆变换为, w=L(z)在扩充z平面上是保域的,18,2022/11/9,2. 分式线性变换 w=L(z)的分解,结论：分式线性变换 w=L(z)可以分解为如下简单变换的复合,整线性变换,旋转变换,伸缩变换,平移变换,反演变换,关于单位圆周的对称变换,关于实轴的对称变换,19,2022/11/9,O,(z)(w),z,w,b,i)w=z+b. 这是一个平移映射. 因为复数相加可以化为向量相加, z沿向量b的方

12、向平移一段距离|b|后, 就得到w.,O,(z)=(w),z,w,a,ii) w=az, a0. 这是一个旋转与伸长(或缩短)的映射. 设 将 z 先转一个角度a, 再将|z|伸长(或缩短) 倍后, 就得到 w.,20,2022/11/9,z,w1,w,1,O,圆周的对称点,P与P关于圆周C互为对称点,21,2022/11/9,7.2.2 分式线性变换的映射性质,1.保角性（或共形性）,而i)与ii)是平移,旋转和伸缩变换,显然是共形的,所构成的复合映射w=az+b在整个扩充复平面上是共形的。,定理一 分式线性变换在扩充复平面上是一一对应的, 且具有保角性.,而分式线性变换是上述三种映射复合而

13、构成的,因此有,22,2022/11/9,映射w=az+b和w=1/z都具有将圆周映射成圆周的特性, （这里将直线看作是无穷大半径的圆）这种性质称作保圆性。映射w=az+b显然具有保圆性,下面说明w=1/z具有保圆性.,2. 保圆性,因此, 映射w=1/z将方程,变为方程,当a0,d0：圆周映射为圆周; 当a0,d=0：圆周映射成直线;当a=0,d0：直线映射成圆周；当a=0,d=0：直线映射成直线.,这就是说, 映射w=1/z把圆周映射成圆周. 或者说, 映射w=1/z具有保圆性.,23,2022/11/9,定理二 分式线性变换将扩充 z平面上的圆周映射成扩充w平面上的圆周, 即具有保圆性.

14、,根据保圆性, 在分式线性变换下, 如果给定的圆周或直线上没有点映射成无穷远点, 则它就映射成半径为有限的圆周; 如果有一个点映射成无穷远点, 它就映射成直线.,24,2022/11/9,定义7.5 关于圆周 对称是指 都在过圆心a的同一条射线上,且满足此外,还规定圆心a与点关于 为对称的。,3. 保对称点性,定理7.11 扩充z平面上两点 关于圆周 对称的充要条件是,通过 的任意圆周都与 正交.,定理7.12 设扩充z平面上两点 关于圆周 对称,w=L(z)为一线性变换,则 两点关于圆周 对称.,证 设 是扩充w平面上经过 的任意圆周.此时,必然存在一个圆周 ,它经过 ,并使 ,因为 关于

15、对称,故由定理7.11, 与 亦正交.这样,再由定理7.11即知 关于 对称.,25,2022/11/9,26,2022/11/9,当四点中有一点为时,应将包含此点的项用1代替.例如z1= 时,即有亦即先视z1为有限,再令 取极限而得.,定义7.4 扩充平面上顺序的四个相异点z1,z2,z3,z4构成下面的量,称为它们的交比,记为(z1,z2,z3,z4):,4. 保交比性,27,2022/11/9,定理7.8 在线性变换下,四点的交比不变.,证 设,则,因此,定理7.9 设线性变换将扩充z平面上三个相异点z1,z2,z3指定为w1,w2,w3,则此分式线性变换换就被唯一确定,并且可以写成 (

16、7.10)(即三对对应点唯一确定一个线性变换).,28,2022/11/9,例1 求将上半平面Im(z)0映射成单位圆|w|1的分式线性变换.,O,1,-1,x,y,l,O,1,-1,u,i,v,(z),(w),5. 分式线性变换的应用,29,2022/11/9,解法一 在x轴上任意取定三点:z1=-1, z2=0, z3=1使它们对应于|w|=1上三点:w1=1, w2=i, w3=-1, 则因z1z2z3跟w1w2w3的绕向相同, 所求的分式线性映射为,化简后即得,注 如果选取其他三对不同点,势必也能得出满足要求的, 但不同于上式的分式线性变换. 此可见, 把上半平面映射成单位圆的分式线性

17、变换不是唯一的, 而是有无穷多.,30,2022/11/9,解法二 将上半平面看成半径为无穷大的圆域, 实轴就是圆域的边界圆周. 因为分式线性变换具有保圆性, 因此它必能将上半平面Im(z)0映射成单位圆|w|1. 由于上半平面总有一点z=l要映成单位圆周|w|=1的圆心w=0,从而所求的分式线性变换具有下列形式:,其中k为常数.,31,2022/11/9,反之, 形如上式的分式线性变换必将上半平面Im(z)0映射成单位圆|w|1. 因为当z取实数时,32,2022/11/9,即把实轴映射成|w|=1. 又因为上半平面中的z=l映射成w=0, 所以(6.3.3)必将Im(z)0映射成|w|1.

18、,33,2022/11/9,故有,从而得所求的映射为,解 由条件w(2i)=0知, 所求的映射要将上半平面中的点z=2i映射成单位圆周的圆心w=0. 所以由(6.3.3)得,例2 求将上半平面Im(z)0映射成单位圆|w|1且满足 的分式线性变换.,34,2022/11/9,35,2022/11/9,x,1,y,(z),O,O,u,v,(w),1,a,例4 求将单位圆|z|1映射成单位圆|w|1的分式线性变换.,36,2022/11/9,解 设z平面上单位圆|z|1内部的一点a映射成w平面上的单位圆|w|1的中心w=0. 这时与,37,2022/11/9,所以 |k|=1, 即k=eij. 这

19、里j是任意实数.,由于z平面上单位圆周上的点要映成w平面上单位圆周上的点, 所以当|z|=1,|w|=1. 将圆周|z|=1上的点z=1代入上式, 得,因此, 将单位圆|z|1映射成单位圆|w|1的分式线性映射的一般表示式是,38,2022/11/9,反之, 形如上式的映射必将单位圆|z|1映射成单位圆|w|1. 这是因为圆周|z|=1上的点z=eiq (q为实数)映射成圆周|w|=1上的点:,同时单位圆|z|1内有一点z=a映射成w=0.所以(6.3.5)必将单位圆|z|1映射成单位圆|w|1.,39,2022/11/9,例5 求将单位圆映射成单位圆且满足条件(1/2)=0, w(1/2)0

20、 的分式线性变换.,解 由条件w(1/2)=0知, 所求的映射要将z=1/2 映射成|w|1的中心. 所以由(6.3.5) 得,40,2022/11/9,解 容易看出, 映射z=(w-2i)/2将|w-2i|0映射成|z|1且满足z(2i)=0的映射易知为,例6 求将Im(z)0映射成|w-2i|2且满足条件 的分式线性变换.,41,2022/11/9,42,2022/11/9,第三节 某些初等函数所构成的共形映射,7.3.1 幂函数与根式函数7.3.2 指数函数与对数函数7.3.3 由圆弧构成的两角形区域的共形映射,43,2022/11/9,(7.15),其中 为大于1的自然数。除了 及 外

21、，它处处具有不为零的导数，因而在这些点是保角的。,7.3.1 幂函数与根式函数,幂函数,因为(7.15)的单叶性区域是顶点在原点张度不超过 的角形区域。于是幂函数(7.15)将角形区域 共形映射成角形区域 .,特别地， 将角形区域 共形映射成w平面上除去原点及正实轴的区域。,44,2022/11/9,45,2022/11/9,7.3.1 幂函数与根式函数,(7.16),作为 的逆变换,将w平面上的角形区域 共形映射成z平面上的角形区域 .,于是 和 的映射特点是扩大与缩小角形域。,例1 求把角形域0arg zp/4映射成单位圆|w|1 的一个映射.,解 z=z4将所给角形域00. 又从上节的例

22、2知, 映射,将上半平面映射成单位圆|w|1,因此所求映射为,46,2022/11/9,47,2022/11/9,例2 求一个将映射为单位圆|w|1的映射。,解,48,2022/11/9,例3 求把下图中由圆弧C2与C3所围成的交角为a的月牙域映射成角形域j0arg wj0+a的一个映射.,a,O,(z),1,49,2022/11/9,解 令C1,C2的交点z=i与z=-i分别映射成z平面中的z=0与z=, 将所给月牙域映射成z平面中的角形域的映射是具有以下形式的分式线性函数:,其中k为待定的复常数。,50,2022/11/9,在任意有限点均有 ，因而它在z平面上是保角的。,7.3.2 指数函

23、数与对数函数,指数函数,(7.17),因为（7.17）的单叶性区域是平行于实轴宽不超过 的带形区域。于是指数函数（7.17）将带形区域 共形映射成角形区域 .,特别地， 将带形区域 共形映射成w平面上除去原点及正实轴的区域。,作为 的逆变换,将w平面上的角形区域 共形映射成z平面上的带形区域 .,51,2022/11/9,ai,O,x,y,(z),arg w=a,u,O,v,(w),2pi,O,x,y,(z),O,u,v,(w),w=ez,z=lnw,52,2022/11/9,由指数函数w = e z 所构成的映射的特点是: 把水平的带形域0Im(z)a(ap)映射成角形域0arg wa.,例

24、4 求把带形域0Im(z)p映射成单位圆|w|1的 一个映射.,53,2022/11/9,例5 求映射把如图所示的半带状域映成上半单位圆。,54,2022/11/9,例6 求把带形域a0的一个 映射.,55,2022/11/9,例7 求把具有割痕Re(z)=a, 0Im(z)h的上半平面映射成上半平面的一个映射.,56,2022/11/9,O,u,v,(w),a-h,a,a+h,B,C,D,O,(z1),C,B,D,ih,-h2,C,O,B,D,(z2),C,O,Bh2,D,(z3),O,(z4),C,B,D,-h,+h,z1=z-a,z2=z12,z3=z2+h2,w=z4+a,57,202

25、2/11/9,解 不难看出, 解决本题的关键显然是要设法将垂直于x轴的割痕的两侧和x轴之间的夹角展平. 由于映射w=z2能将顶点在原点处的角度增大到两倍, 所以利用这个映射可以达到将割痕展平的目的.首先, 把上半z平面向左平移一个距离a:z1=z-a. 第二, 由映射z2=z12, 得到具有割痕-h2Re(z2)+, Im(z2)=0的z2平面. 第三, 把z2平面向右作一距离为h2的平移: z3=z2+h2, 便得到去掉了正实轴的z3平面.,58,2022/11/9,由于分式线性变换的保圆性，它把已给两角形区域共形映射成同样形状的区域、或弓形区域、或角形区域。只要已给圆周（或直线）上有一个点

26、变为w=，则此圆周（或直线）就变成直线。如果它上面没有点变成w=，则它就变为有限半径的圆周。所以，若二圆弧的一个公共点变为w=，则此二圆弧所围成的两角形区域就共形映射成角形区域。,借助于分式线性函数，以及幂函数或指数函数的复合，可以将二圆弧或直线段所构成的两角形区域，共形映射成一个标准区域，比如上半平面。,7.3.3 由圆弧构成的两角形区域的共形映射,59,2022/11/9,O,解 所设的两个圆弧的交点为-i与i, 且相互正交. 交点-i映射成无穷远点, i映射成原点. 因此所给的区域经映射后映射成以原点为顶点的角形区域, 张角等于 .,60,2022/11/9,此点在第三象限的分角线C1上

27、. 由保角性知C2映射为第二象限的分角线C2.,x,1,-i,i,-1,C1,C2,y,(z),O,C2,C1,O,u,v,(w),映射的角形区如图所示,61,2022/11/9,第四节 关于共形映射的黎曼存在定理和边界对应定理,7.4.1 黎曼存在定理7.4.2 边界对应定理,62,2022/11/9,7.4.1 黎曼存在定理,注(1)唯一性条件(7.19)的几何意义是:指定aD变成单位圆的圆心,而在点a的旋转角 .它依赖于三个实参数.,定理7.13 (黎曼存在与唯一性定理) 扩充z平面上的单连通区域D,其边界点不止一点,则有一个在D内的单叶解析函数w=f(z),它将D保形变换成单位圆|w|

28、1;且当满足条件时,这种函数f(z)就只有一个.,(2)在将单连通区域D变成单连通区域G的一般情形,唯一条件可表成 ,其中,而 为实参数.,在D,G的边界均是周线的情形,惟一性条件也可表成 其中 . 为D的边界点， 为G的边界点.,63,2022/11/9,定理7.14(边界对应定理) 设 (1)单连通区域D与G的边界分别为C和T; (2)w=f(z)将D保形变换成G;则f(z)可以扩张成F(z),使在D内F(z)=f(z),在 上F(z)连续,并将C双方单值且双方连续地变成T.,7.4.1 边界对应定理,64,2022/11/9,定理7.15(边界对应定理的逆定理,判断解析函数单叶性的充分条

29、件)设单连通区域D及G,分别是两条围线C及T的内部.且函数w=f(z)满足下列条件: (1)w=f(z)在区域D内解析,在D+C上连续, (2)w=f(z)将C双方单值地变成T.则 (1)w=f(z)在D内单叶; (2)G=f(D)(从而w=f(z)将D保形变换成G).,证 证明的关键,在应用辅角原理来证明集合等式G=f(D).,65,2022/11/9,(1) 设w0为G内任一点.我们证明w0f(D),而且方程f(z)-w0=0在C内部只有一个根.根据辅角原理(在z沿C的正方向绕行一周的假定下).有假设条件(2),这时w=f(z)应沿T的正向或负向绕行一周.因此,起点在w0终点在T上的向量w-w0应该转角 .于是,负号显示应该除去(因为N0).因此我们肯定w=f(z)必须沿T的正向(T的内部在此方向的左边)绕行,并且方程 在区域D内只有一个根.,66,2022/11/9,(2)设 位于 的外部,则必 .因为,产生矛盾.,即方程 在D内无根.,(3)设 为 上任意一点,则 在D内无根.,否则，若D内有一点 使 ,则可得一个以,为中心的圆周 ,使对 内部任意一点 ,方程,在D内有根。特别在 内部取一点 位于,的外部，由(2)知，方程 在D内无根，,由以上结果,可见函数w=f(z)在D内单叶,并将D保形变换为T的内部G.,