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1、第十四章 整式的乘法与因式分解,14.2.2完全平方公式（第一课时）,用一个多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项,再把所得的积相加.,1.多项式的乘法法则是什么？,am+an,bm+bn,+,=,(m+n),(a+b),复习与回顾,2.平方差公式:(a+b)(a-b)=a2-a2,即两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差.这个公式叫（乘法）的平方差公式,3.几点注意：,（2）右边是相同项的平方减去相反项的方；,（3）公式中的a,b 可以是具体的数，也可以是单 项式或多项式；,（1）左边是两个二项式相乘，并且这两个二项 式中有一项完全相同，另一项互为相反数， 即“一同一反”；,练一
2、练,1.化简：(a-3)(a+3)(a2+9),2.简便计算：1002998,解 (a-3)(a+3)(a2+9),=(a2-9)(a2+9),=a4-81,解 1002998,=(1000+2)(1000-2),=10002-22,=999996,一块边长为a米的正方形田地，因需要将其边长增加b米,形成四块田地，以种植不同的作物.,用不同的形式表示田地的总面积,并进行比较,法一:,直接求,总面积=(a+b)2,法二:,间接求,总面积= a2+ab+ab+b2,(a+b)2= a2+2ab + b2,等式：,问题,（4） (m-2)2 = .,p2+2p+1,m2+4m+4,p 2-2p+1,
3、m2-4m+4,探究新知,计算下列各式,你能发现什么规律?,（1） (p+1)2 = (p+1) (p+1) = ，,（2） (m+2)2= ;,（3） (p-1)2 = (p-1 ) (p-1) = ;,我们来计算(a+b)2, (a-b)2.,(a+b)2=(a+b) (a+b),= a2+ab+ab+b2,=a2+2ab+b2.,(a-b)2 = (a-b) (a-b),= a2-ab-ab+b2,=a2-2ab+b2,完全平方公式的数学表达式：,(a+b)2= a2 +2ab+b2(a-b)2= a2 - 2ab+b2,完全平方公式的文字叙述：,两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，
4、加上（或减去）它们的积的2倍.,(a-b)2= a2-2ab+ b 2,公式特点：,2.积为二次三项式；,3.积中两项为两数的平方和；,4.另一项是两数积的2倍，且与乘式中间的符号相同；,5.公式中的字母a，b可以表示数，单项式和多项式.,1.左边是一个二项式的完全平方；,首平方，尾平方，乘积的2倍放中央.,(a+b)2= a2+2ab+b2,你能根据图15.2-2和图15.2-3 中的面积说明完全平方公式吗?,b,a,a,b,b,a,b,a,图 15.2-2,图15.2-3,讨论,(a+b),a,b,和的完全平方公式：,(a+b)2=,a,2ab,b,完全平方公式的几何意义,(a-b),b,
5、差的完全平方公式：,(a-b)2 =,a,-ab,+b,-ab,=a2-2ab+b2,完全平方公式的几何意义,例1.运用完全平方公式计算：,解: (4m+n)2=,=16m2,（1） (4m+n)2,(a+b)2= a2 + 2 a b +b2,(4m)2,+2(4m)n,+n2,+8mn,+n2,解：(x-2y)2=,=x2,（2）(x-2y)2,x2,-2x 2y,+(2y)2,-4xy,+4y2,(a-b)2= a2-2 a b +b2,（3）(-a2+b3)2,【解析】原式=(b3-a2)2,=b6-2a2 b3+a4,练一练,（1）（-2m-n）2,（2）(2b+3c)(-2b-3c
6、),（3）(a+2b)(a-2b)(a2-4b2),容易出错地方：,（1）漏掉“2倍之积项”；,（2）漏掉乘积中的因数“2”；,（3）弄错“2倍之积项”的符号，尤其当两数都是负数时 易出现符号错误；,（4）与平方差公式相混淆.,解 （1）首项、尾项被平方时, 没有添括号，这 样就只把字母平方而遗漏了系数的平方.,（2）少了首项与尾项乘积的2倍这一项 ； 即丢了中间项： 2(2x)(3y) ;,（3）中间项漏乘了2.,指出下列各式中的错误，并加以改正：,（1）(2x3y)22x2-2(2x)(3y)+3y2;,（2）(2x+3y)24x2+9y2 ；,（3）(2x3y)2(2x)2-(2x)(3
7、y)+(3y)2.,辨一辨,（1）(a+2y)2是哪两个数的和的平方? (a+2y)2 =( ) 2+2( )( )+( ) 2（2）(2x5y)2是哪两个数的差的平方? (2x -5y)2 =( ) 2 -2( )( )+( ) 2,a,a,2y,2y,2x,2x,5y,5y,(2x5y)2可以看成2x与 5y的和的平方.,(2x5y)2可以看成哪两个数的和的平方?,比一比,回答下列问题:,例2 运用完全平方公式计算： （1）1022； （2） 992,解:（1）1022 =,（2） 992=,=1002+21002+22,=10000+400+4,=10404,(100-1)2=1002-
8、21001+12,=10000-200+1=9801,2.准确代入公式;,利用完全平方公式计算:,1.先选择公式;,3.化简.,x,x,6,6,2a,2a,3b,3b,x2+12x+36,=( ),=( ),做一做:根据两数和的完全平方公式填空.,（1）(x+6)2=( )2+2( )( )+( )2,（2）(2a-3b)2=( )2-2( )( )+( )2,4a2-12ab+9b2,+62,= x2+12 x +36,+(2a)2,=9b 2-12ab+4a 2,通过观察发现:(x+6)2=(-x-6)2 (2a-3b)2=(3b-2a)2,相等,相等,(-x)2,-2(-x)(6),(3
9、b)2,-2(3 b)(2a),（3）(-x-6)2=,（4）(3b-2a)2=,练习,1.运用完全平方公式计算:,（1）(x+6)2; （2） (y-5)2;（3）(-2x+5)2; （4）( x - y)2.,2.下面各式的计算错在哪里?应当怎样改正?,（1）(a+b)2 = a2+b2; （2）(ab) 2 =a2b2.（3） (2a-1)2=2a22a+1,例3.若 x+y=35,xy=-12, 求 x2+y2 ; x2-4xy+y2 .,求关于x,y的对称式的值，一般都要把这个对称式转化为x+y与xy的形式，尤其是合理运用完全平方公式,两个互为倒数的和或差的平方，它们的交叉项为常数,
10、【点评】,【点评】,例5 若n满足(n-2017)2+(n-2018)2=1 求(n-2017)(n-2018)的值.,【点评】,（2）设辅助未知数简化叙述过程,（1）本题的特点是n-2017的值比n-2018大1,（1）(3a+_ )2=9a2- _ +16,（2）代数式2xy-x2-y2= ( ) A.(x-y)2 B.(-x-y)2 C.(y-x)2 D.-(x-y)2,D,拓展,-4,24a,40,（3）已知 a+b=4，ab=-12，则a2+b2= .,（4）已知 m+n=3，mn=5， 求:(m+3)(n+3)的值.,（5）已知x+y=4，xy=-13， 求: x2-3xy+y2的
11、值.,（6）已知:(a+b)2=4, (a-b)2=36 求a2-ab+b2的值.,23,81,ab=-8,28,（7）已知a2+b2+c2-2a+4b-6c+14=0 求c-a+b的值.,（9）化简：(a-b)2+(b-c) 2+(c-a) 2,（10）已知a-b=10,b-c=5, 求a2+b2+c2-ab-bc-ac的值,a=1,b=-2, c=3, c-a+b=0,11,2a2+2b2+2c2-2ab-2bc-2ac,175,课堂小结,(a+b)2=a2+2ab+b2(a-b)2=a2-2ab+ b 2,1.完全平方公式：,2.两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加（或减）它们的积
12、的2倍。,3.注意：项数、符号、字母及其指数；,几点注意,（1）项数：积的的项数为三项;,（2）符号：特别是（a-b)2=a2-2ab+b2,（3）字母：不能漏写;,（5）解题时常用的结论： (-a-a)2=(a+b)2,(b-a)2=(a-b)2. 问：(a-b) 2、(b-a)2 、(-b+a)2 与(-a+b)2有何 关系？,（4）字母的指数：当公式中的a,b所代表的单项式 中字母的指数不是“1”时，乘方是需要记住 字母的指数要乘以2;,（1）(4a+1)2=(14a)2； （2）(4a1)2=(4a+1)2； （3）(4a1)(14a)(4a1)(4a1)(4a1)2； （4）(4a1
13、)(14a)(4a1)(4a+1).,成立,成立,不成立,不成立,课外作业,1.下列等式是否成立? 说明理由,（1）(-3x+4y)2=_（2）（-2a-b）2=_（3）x2-4xy+_=（x-2y）2（4）a2+b2=（a+b）2+_（5） a2+_+9b2=（ a+3b）2,9x2-24xy+16y2,4a2+4ab+b2,4y2,（-2ab),3ab,2.填空题：,c,c,3.选择题,（1）如果x2+mx+4是一个完全平方公式，那么 m的值是（ ） A4 B-4 C4 D8,（2）将正方形的边长由acm增加6cm，则正方形 的面积增加了（ ） A36cm2 B12acm2 C.（36+12a）cm2 D以上都不对,1,（2）若x+y=8, x-y=4,求xy的值；,（1）20172-220172018+20182= ,xy=12, 7, 5,3.解答题,（4）(a+b+c)2= .,= a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac.,(a+b+c)2,= (a+b)+c2,= (a+b)2+2(a+b)c+c2,= a2+2ab+b2+2ac+2bc+c2,a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac,
