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1、数阵问题,李老师,2013年12月4日,数阵问题,一、知识介绍,数阵是由幻方演化出来的另一种数字图。幻方一般均为正方形。图中纵、横、对角线数字和相等。数阵则不仅有正方形、长方形，还有三角形、圆、多边形、星形、花瓣形、十字形，甚至多种图形的组合。变幻多姿，奇趣迷人。这里，和同学们讨论一些数阵的填法。,一般按数字的组合形式，将其分为三类，即辐射型数阵、封闭型数阵、复合型数阵。,数阵的特点是：每一条直线段或由若干线段组成的封闭线上的数字和相等。,它的表达形式多为给出一定数量的数字，要求填入指定的图中，使其具备数阵的特点。,解数阵问题的一般思路是：,1.求出条件中若干已知数字的和。2.根据“和相等”，
2、列出关系式，找出关键数重复使用的数。3.确定重复用数后，对照“和相等”的条件，用尝试的方法，求出其他各数。有时，因数字存在不同的组合方法，答案往往不是唯一的。,二、分类探究,1.辐射型数阵,例1 将15五个数字，分别填入下图的五个中，使横、竖线上的三个数字和都是10。,解：已给出的五个数字和是：1234515,题中要求横、竖每条线上数字和都是10，两条线合起来便是20了。20155，怎样才能增加5呢？因为中心的一个数是个重复使用数。只有5连加两次才能使五个数字的和增加5，关键找到了，中心数必须填5。确定中心数后，按余下的1、2、3、4，分别填在横、竖线的两端，使每条线上数的和是10便可。,例2
3、将17七个数字，分别填入图中的各个内，使每条线上的三个数和相等。,解：图中共有3条线，若每条线数字和相等，三条线的数字总和必为3的倍数。设中心数为a，则a被重复使用了2次。即，12345672a282a，282a应能被3整除。（282a）32832a3其中2839余1，所以2a3应余2。由此，便推得a只能是1、4、7三数。当a1时，282a30 30310，其他两数的和是1019，只要把余下的2、3、4、5、6、7，按和为9分成三组填入两端即可。同理可求得a4、a7两端应填入的数。,例3 将111十一个数字，填入下图各中，使每条线段上的数字和相等。,解：图中共有五条线段，全部数字的总和必须是5
4、的倍数，每条线上的数字和才能相等。111十一个数字和为66，66513余1，必须再增加4，可使各线上数字和为14。共五条线，中心数重复使用4次，填1恰符合条件。此题的基本解法是：中心数重复使用次数与中心数的积，加上原余数1，所得的和必须是5的倍数。据此，中心数填6、11均可得解。,2.封闭型（复合型）数阵,例1把2、3、4、5、6、7六个数字，分别填入中，使三角形各边上的数字和都是12。,解：要使三角形每边上的数字和都是12，则三条边的数字和便是12336，而23456727，36与27相差9。三个角顶的数字都重复使用两次，只有这三个数字的和是9，才能符合条件。确定了角顶的数字，其他各数通过尝
5、试便容易求得了！这题还可有许多解法，上图只是其中一种。,例2下图是四个互相联系的三角形。把19九个数字，填入中，使每个三角形中数字的和都是15。,解：每个三角形数字和都是15，四个三角形的数字和便是：15460，而19九个数字和只有45。45比60少15。怎样才能使它增加15呢？靠数字重复使用才能解决。 中间的一个三角形，每个顶角都联着其他三角形，每个数字都被重复使用两次。因此，只要使中间的一个三角形数字和为15，便可以符合条件。因此，它的三个顶角数字，可以分别为：1、9、5 2、8、5 2、7、6 4、6、5及2、9、4 3、8、4 3、7、5 8、6、1。 把中间的三角形各顶角数字先填出，
6、其他各个三角形便容易解决了。前页下图是其中的一种。,例3 把210九个数字，分别填入下图中，使每条直线上的三个数和为15。,解：210九个数字的和为：234106954若排成每个三角形每边的数字和都是15，图中含有每边都三个数字的三角形有两个，共六条边，数字总和应是15690。54比90少36。在外围的六个数都被重复使用了两次，它们又分属于两个三角形。所以，每个三角形三个顶角的数和应为：36218。这样，便可以先填外三角形三个顶角的数。三个数和为18的有很多组，可以通过试验筛选出适宜的一组。填好了外围三角形各个数后，里面的三角形，因为顶角的数已知，其他各数便容易填写了。下面是填法中的一种。,例4 将18八个数字，分别填入下图中，使每个小三角形顶点上三数之和为12。,解：图中共有四个小三角形，每个三角形顶点数字的和若都是12，数字总和便是12448，可是18八个数字总和只有36。36比48少12。只有靠共用顶角上数的重复使用，才能解决。因此，必须把四个公用顶角的数字和填成12。把18八个数四个一组，和为12的有： 6321 5421 上述两组中，经验证，只有6321可以作公用顶点的数字。,讲课结束，小朋友加油！,
