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1、第六章 动态系统的最优控制方法,第六章 动态系统的最优控制方法,6-1 一般概念 6-2 最优控制中的变分法 6-3 无约束条件的泛函极值问题 6-4 有约束条件下的泛函数极值问题 6-5 变分法求解最优控制问题 6-6 极小值原理 6-7 线性二次型问题的最优控制,最优控制理论是现代控制理论的核心，20世纪50年代发展起来的，已形成系统的理论。 所谓最优控制系统，是在一定的具体条件下，在完成所要求的控制任务时，使系统的某种性能指标达到最优。本章重点讨论了最优控制系统常用的方法：变分法、极小值原理和线性二次型优化三种方法及在典型系统设计中的应用。,6-1 一般概念,最优控制：在系统的状态方程和
2、约束给定的情况下，寻找最优控制律，使 系统的性能指标达到最优。,一、概述,6-1 一般概念,6-1 一般概念,三.性能指标的类型,积分型性能指标:,末值型性能指标:,复合型性能指标：,四.主要数学方法, 解析法, 数值法, 梯度型法,6-1 一般概念,6-2 最优控制中的变分法,一.泛函与变分的基本概念,1.泛函与变分的基本概念,(1)泛函,(2)函数的变分,(3)泛函的连续性：,(4)线性泛函：,6-2 最优控制中的变分法,(5)泛函的变分,6-2 最优控制中的变分法,泛函变分的求法,定理：,性质：,6-2 最优控制中的变分法,例,解:,6-2 最优控制中的变分法,6-2 最优控制中的变分法
3、,二、泛函的极值,6-3 无约束条件的泛函极值问题,6-3 无约束条件的泛函极值问题,6-3 无约束条件的泛函极值问题,6-3 无约束条件的泛函极值问题,例 已知解：,求,6-3 无约束条件的泛函极值问题, 6-4 有约束条件下的泛函数极值问题,定理：设,欧拉方程,横截条件,例已知:, 6-4 有约束条件下的泛函数极值问题,设,解:, 6-4 有约束条件下的泛函数极值问题,则：,为常数, 6-4 有约束条件下的泛函数极值问题,解得：,这里,由,得：,由边界条件：, 6-4 有约束条件下的泛函数极值问题,由,得：,即：,6-5 变分法求解最优控制问题,设状态方程,构造Harmilton函数：,6
4、-5 变分法求解最优控制问题,定理:对于最优控制问题,最优解的必要条件:,1.,6-5 变分法求解最优控制问题,6-5 变分法求解最优控制问题,其中：,Harmilton函数,2.边界条件,横截条件,3.极值条件,6-5 变分法求解最优控制问题,证明:构造增广泛函,6-5 变分法求解最优控制问题,6-5 变分法求解最优控制问题,例设系统,试求使,6-5 变分法求解最优控制问题,其中,给定，,求,解：,6-5 变分法求解最优控制问题,6-5 变分法求解最优控制问题,当,6-5 变分法求解最优控制问题,3.极值条件：,6-5 变分法求解最优控制问题,6-6 极小值原理,例一阶系统,极小值原理由前苏
5、联学者庞德里亚金于1956年提出，它由变分法引申而来。,1.正则方程,其中,6-6 极小值原理,6-6 极小值原理,解：线性定常系统， 固定， 自由， 受约束,6-6 极小值原理,由协态方程,使Hmin得：,得：,6-6 极小值原理,解得：,由当 求出 时 的初态,6-6 极小值原理,6-7 线性二次型问题的最优控制,一.问题的提出,其中,6-7 线性二次型问题的最优控制,二次型指标中各项的物理含义：,表示对控制能力的要求，即在整个控制过程中，消耗能量最少,表示对终点状态的要求，对每个状态分量的要求由F阵来控制,6-7 线性二次型问题的最优控制,线性二次型最优控制问题指：线性系统，性能指标为状态变量和控制变量的二次型函数的积分及二次型末值项,状态调节器：,输出调节器：,输出跟踪调节器：,二.有限时间时变状态调节器 (tf 固定 ),设线性时变系统状态空间描述为：,6-7 线性二次型问题的最优控制,6-7 线性二次型问题的最优控制,三.无限时间最优状态调节器 （ ）,系统,常数阵,A，B,要求（A，B）能控，,Q，R,寻求最优控制,tf +,6-7 线性二次型问题的最优控制,最优性能指标：,定理：,存在，且唯一。,6-7 线性二次型问题的最优控制,
