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1、2.1平面向量的实际背景及基本概念,第二章 平面向量,问题提出,1.在物理中，位移与距离是同一个概念吗？为什么？,2.现实世界中有各种各样的量，如年龄、身高、体重、力、速度、面积、体积、温度等，在数学上，为了正确理解、区分这些量，我们引进向量的概念.,探究（一）：向量的物理背景与概念,思考1：在物理中，怎样区分作用于同一点的两个力？,力的大小和力的方向,思考2：物体受到的重力、物体在液体中受到的浮力的方向分别如何？受力的大小分别与哪些因素有关？,思考3：在如图所示的弹簧中，被拉长或压缩的弹簧的弹力方向如何？在弹性限度内，弹力的大小与什么因素有关？,思考4：力既有大小，又有方向，在物理学中称为矢
2、量，你还能指出哪些物理量是矢量吗？,思考5：数学中，把既有大小，又有方向的量叫做向量，把只有大小，没有方向的量称为数量.那么年龄、身高、体重、面积、体积、温度、时间、路程、数轴等是向量吗？,探究（二）：向量的几何表示,思考1：一条小船从A地出发，向西北方向航行15km到达B地，可以用什么方式表示小船的位移？,思考2：对于一个实数，可以用数轴上的点表示；对于一个角的正弦、余弦和正切，可以用三角函数线表示；对于一个二次函数，可以用一条抛物线表示.数学中有许多量都可以用几何方式表示，你认为如何用几何方式表示向量最合适？,思考4：用有向线段 表示向量，向量的大小和方向是如何反映出来的？,起点、长度、方
3、向,思考5：有向线段 的长度就是指线段AB的长度，也称为向量 的长度或模，它表示向量 的大小，记作| |，两个不同的向量可以比较大小吗？,思考7：向量的模可以为0吗？可以为1吗？可以为负数吗？,思考8：模为0的向量叫做零向量，记作 ；模为1个单位的向量叫做单位向量.怎样理解零向量的方向？怎样理解向量 ？,例1 已知飞机从A地按北偏东30方向飞行2000km到达B地，再从B地按南偏东30方向飞行2000km到达C地，再从C地按西南方向飞行1000 km到达D地.（1）画图表示向量；（2）求飞机从A地到达D地的位移所对应的向量的模和方向.,例2 如图，四边形ABCD为正方形，BCE为等腰直角三角形
4、.以图中各点为起点和终点，写出与向量 模相等的所有向量.,探究（一）：相等向量与相反向量,思考1：向量由其模和方向所确定.对于两个向量a、b，就其模等与不等，方向同与不同而言，有哪几种可能情形？,模相等，方向相同；模相等，方向不相同；模不相等，方向相同；模不相等，方向不相同；,思考2：两个向量不能比较大小，只有“相等”与“不相等”的区别，你认为如何规定两个向量相等？,长度相等且方向相同的向量叫做相等向量. 向量a与b相等，记作：a=b.,思考3：用有向线段表示非零向量 和 ，如果 ，那么A、B、C、D四点的位置关系有哪几种可能情形？,思考4：对于非零向量 和 ，如果 ，通过平移使起点A与C重合
5、，那么终点B与D的位置关系如何？,长度相等且方向相反的向量叫做相反向量.,思考5：非零向量 与 称为相反向量，一般地，如何定义相反向量？,思考6：如果非零向量 与 是相反向量，通过平移使起点A与C重合，那么终点B与D的位置关系如何？,探究（二）：平行向量与共线向量,思考1：如果两个向量所在的直线互相平行，那么这两个向量的方向有什么关系？,思考2：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，向量 与 平行记作 ，那么平行向量所在的直线一定互相平行吗？,方向相同或相反,思考3：零向量 与向量 平行吗？,规定：零向量与任一向量平行.,思考4：将向量平移，不会改变其长度和方向.如图，设a、b、c是一组平行向
6、量，任作一条与向量a所在直线平行的直线l，在l上任取一点O，分别 ， ， ，那么点A、B、C的位置关系如何？,思考5：上述分析表明，任一组平行向量都可以移动到同一直线上，因此，平行向量也叫做共线向量.如果非零向量 与 是共线向量，那么点A、B、C、D是否一定共线？,思考6：若向量 与 平行（或共线），则向量 与 相等或相反吗？反之，若向量 与 相等或相反，则向量 与 平行（或共线）吗？,思考7：对于向量a、b、c，若a / b， b / c，那么a / c吗？,思考8：对于向量a、b、c，若a =b， b =c，那么a = c吗？,例1 判断下列命题是否正确：（1）若两个单位向量共线，则这两个
7、向量相等； （ ）（2）不相等的两个向量一定不共线； （ ）（3）在四边形ABCD中，若向量与共线，则该四边形是梯形； （ ）（4）对于不同三点O、A、B，向量与一定不共线. （ ）,理论迁移,例2 如图，设O为正六边形ABCDEF的中心，分别写出与 、 相等的向量.,例3 如图，在ABC中，D、E、F分别是AB、BC、CA边上的点，已知 求证： .,小结作业,1.相等向量与相反向量是并列概念，平行向量与共线向量是同一概念，相等向量（相反向量）与平行向量是包含概念.,2.任意两个相等的非零向量，都可用同一条有向线段表示，并且与有向线段的起点无关.,3.向量的平行、共线与平面几何中线段的平行、共线是不同的概念，平行向量（共线向量）对应的有向线段既可以平行也可以共线.,4.平行向量不具有传递性，但非零平行向量和相等向量都具有传递性.,
