概率论与数理统计教程方差分析与回归分析课件.ppt

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1、第八章,方差分析与回归分析,华东师范大学,1 December 2019,第,2,页,8.1,方差分析,8.1.1,问题的提出,实际工作中我们经常碰到多个正态总体,均值的比较问题，处理这类问题通常采,用所谓的方差分析方法。,第八章 方差分析与回归分析 华东师范大学 1 Dec,第八章,方差分析与回归分析,华东师范大学,1 December 2019,第,3,页,例,8.1.1,在饲料养鸡增肥的研究中，某研究,所提出三种饲料配方：,A,1,是以鱼粉为主的,饲料，,A,2,是以槐树粉为主的饲料，,A,3,是以,苜蓿粉为主的饲料。为比较三种饲料的效,果，特选,24,只相似的雏鸡随机均分为三,组，每组

2、各喂一种饲料，,60,天后观察它们,的重量。试验结果如下表所示：,第八章 方差分析与回归分析 华东师范大学 1 Dec,第八章,方差分析与回归分析,华东师范大学,1 December 2019,第,4,页,表,8.1.1,鸡饲料试验数据,饲料,A,鸡,重（克）,A,1,1073,1009,1060,1001,1002,1012,1009,1028,A,2,1107,1092,990,1109,1090,1074,1122,1001,A,3,1093,1029,1080,1021,1022,1032,1029,1048,第八章 方差分析与回归分析 华东师范大学 1 Dec,第八章,方差分析与回归

3、分析,华东师范大学,1 December 2019,第,5,页,本例中，我们要比较的是三种饲料对鸡的增肥,作用是否相同。为此，把饲料称为,因子，,记为,A,，,三种不同的配方称为因子,A,的三个,水平,，记为,A,1,A,2,A,3,，使用配方,A,i,下第,j,只鸡,60,天后的重量用,y,ij,表示，,i,=1, 2, 3,j,=1, 2,?, 10,。我们的目的是比,较三种饲料配方下鸡的平均重量是否相等，为,此，需要做一些基本假定，把所研究的问题归,结为一个统计问题，然后用方差分析的方法进,行解决。,第八章 方差分析与回归分析 华东师范大学 1 Dec,第八章,方差分析与回归分析,华东师

4、范大学,1 December 2019,第,6,页,8.1.2,单因子方差分析的统计模型,在例,8.1.1,中我们只考察了一个因子，称其,为,单因子试验。,通常，在单因子试验中，记因子为,A,设其,有,r,个水平，记为,A,1,A,2,A,r,，在每一水平,下考察的指标可以看成一个总体,，现有,r,个水平，故有,r,个总体，,假定：,第八章 方差分析与回归分析 华东师范大学 1 Dec,第八章,方差分析与回归分析,华东师范大学,1 December 2019,第,7,页,1),每一总体均为正态总体，记为,N,(,?,i,?,i,2,),，,i,1, 2,r,；,2),各总体的方差相同,:,?,

5、1,2,=,?,2,2,=,?,r,2,=,?,2,；,3),从每一总体中抽取的样本是相互独立的，,即所有的试验结果,y,ij,都相互独立。,第八章 方差分析与回归分析 华东师范大学 1 Dec,第八章,方差分析与回归分析,华东师范大学,1 December 2019,第,8,页,我们要比较各水平下的均值是否相同,即要对如下的一个假设进行检验,:,H,0,：,?,1,=,?,2,=,=,?,r,（,8.1.1,）,备择假设为,H,1,：,?,1,?,2,?,r,不全相等,在不会引起误解的情况下，,H,1,通常可省略不写。,如果,H,0,成立，因子,A,的,r,个水平均值相同，称因子,A,的,r

6、,个水平间没有显著差异，简称因子,A,不显著；,反之，,当,H,0,不成立时，因子,A,的,r,个水平均值不全相同，这时,称因子,A,的不同水平间有显著差异，简称因子,A,显著。,第八章 方差分析与回归分析 华东师范大学 1 Dec,第八章,方差分析与回归分析,华东师范大学,1 December 2019,第,9,页,为对假设（,8.1.1,）进行检验，需要从每一水,平下的总体抽取样本，设从第,i,个水平下的总,体获得,m,个试验结果，记,y,ij,表示第,i,个总体的,第,j,次重复试验结果。共得如下,n=r,?,m,个试验,结果：,y,ij,，,i,1, 2,r,，,j,1, 2,m,其中

7、,r,为水平数，,m,为重复数，,i,为水平编号，,j,为重复编号。,第八章 方差分析与回归分析 华东师范大学 1 Dec,第八章,方差分析与回归分析,华东师范大学,1 December 2019,第,10,页,在水平,A,i,下的试验结果,y,ij,与该水平下的指标,均值,?,i,一般总是有差距的，记,?,ij,= y,ij,?,?,i,，,?,ij,称为随机误差。于是有,y,ij,=,?,i,+,?,ij,（,8.1.2,）,（,8.1.2,）式称为试验结果,y,ij,的,数据结构式。,第八章 方差分析与回归分析 华东师范大学 1 Dec,第八章,方差分析与回归分析,华东师范大学,1 De

8、cember 2019,第,11,页,单因子方差分析的统计模型：,（,8.1.3,）,总均值与效应,:,称诸,?,i,的平均,为,总均值,.,称第,i,水平下的均值,?,i,与总均值,?,的差,:,a,i,=,?,i,-,?,为,A,i,的,效应。,2,1,2,.,1,2,.,(0,),ij,i,ij,ij,y,i,r,j,m,N,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,诸,相互独立，且都服从,1,1,1,1,(,.,),r,r,i,i,r,r,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,第八章 方差分析与回归分析 华东师范大学 1 Dec,第八章,方差分析与回归分析,华东师范大学,1

9、 December 2019,第,12,页,模型（,8.1.3,）可以改写为,(8.1.8),假设（,8.1.1,）可改写为,H,0,：,a,1,=,a,2,=,=,a,r,=0,（,8.1.9,）,1,2,1,2,.,1,2,.,0,N(0,),ij,i,ij,r,i,i,ij,y,a,i,r,j,m,a,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,相互独立，且都服从,第八章 方差分析与回归分析 华东师范大学 1 Dec,第八章,方差分析与回归分析,华东师范大学,1 December 2019,第,13,页,8.1.3,平方和分解,一、试验数据,通常在单因子方

10、差分析中可将试验数据列成,如下页表格形式。,表,8.1.2,中的最后二列的和与平均的含义如,下：,.,1,1,1,2,m,i,i,ij,i,j,r,i,i,T,T,y,y,i,r,m,T,T,T,T,y,r,m,n,n,r,m,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,总试验次数,第八章 方差分析与回归分析 华东师范大学 1 Dec,第八章,方差分析与回归分析,华东师范大学,1 December 2019,第,14,页,表,8.1.2,单因子方差分析试验数据,因子水平,试,验,数,据,和,平均,A,1,y,11,y,12,y,1,m,T,1,A,2,y,21,y,22,y,2,m

11、,T,2,A,r,y,r,1,y,r,2,y,rm,T,r,T,1,y,2,y,y,r,y,第八章 方差分析与回归分析 华东师范大学 1 Dec,第八章,方差分析与回归分析,华东师范大学,1 December 2019,第,15,页,数据间是有差异的。数据,y,ij,与总平均,间,的偏差可用,y,ij,?,表示，它可分解为二个,偏差之和,（,8.1.10,）,记,二、组内偏差与组间偏差,.,.,(,),(,),ij,ij,i,i,y,y,y,y,y,y,?,?,?,?,?,.,.,1,1,1,1,1,1,1,m,r,r,m,i,ij,i,ij,j,i,i,j,m,r,n,?,?,?,?,?,?

12、,?,?,?,?,?,?,?,?,?,y,y,第八章 方差分析与回归分析 华东师范大学 1 Dec,第八章,方差分析与回归分析,华东师范大学,1 December 2019,第,16,页,由于,（,8.1.11,）,所以,y,ij,-,仅反映组内数据与组内平均的随机误,差，称为,组内偏差；,而,（,8.1.12,）,除了反映随机误差外，还反映了第,i,个水,平的效应，称为,组间偏差。,.,(,),(,),ij,i,i,ij,i,i,ij,i,y,y,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,ij,y,.,.,.,(,),(,),i,i,i,i,i,y,y,a,?,?,?,?,?,?,

13、?,?,?,?,?,?,?,?,.,i,y,y,?,第八章 方差分析与回归分析 华东师范大学 1 Dec,第八章,方差分析与回归分析,华东师范大学,1 December 2019,第,17,页,?,在统计学中，把,k,个数据,y,1, y,2, , y,k,分别对其均,值,=(,y,1,+,+ y,k,)/,k,的偏差平方和,称为,k,个数据的,偏差平方和，,它常用来度量若干,个数据分散的程度。,三、偏差平方和及其自由度,y,2,2,2,1,1,(,),(,),(,),k,k,i,i,Q,y,y,y,y,y,y,?,?,?,?,?,?,?,?,?,第八章 方差分析与回归分析 华东师范大学 1

14、Dec,第八章,方差分析与回归分析,华东师范大学,1 December 2019,第,18,页,?,在构成偏差平方和,Q,的,k,个偏差,y,1,?, , y,k,?,间,有一个恒等式,，这说明在,Q,中独立,的偏差只有,k,?,1,个。,?,在统计学中把平方和中独立偏差个数称为该平,方和的,自由度，,常记为,f,，如,Q,的自由度为,f,Q,=,k,?,1,。自由度是偏差平方和的一个重要参数。,y,y,1,(,),0,k,i,i,y,y,?,?,?,?,第八章 方差分析与回归分析 华东师范大学 1 Dec,第八章,方差分析与回归分析,华东师范大学,1 December 2019,第,19,页

15、,?,各,y,ij,间总的差异大小可用,总偏差平方和,表示，其自由度为,f,T,=,n,?,1,；,四、总平方和分解公式,?,仅由随机误差引起的数据间的差异可以用,组内偏差平方和,表示，,也称为,误差偏差平方和，,其自由度为,f,e,=,n,?,r,；,2,1,1,(,),r,m,T,ij,i,j,S,y,y,?,?,?,?,?,2,.,1,1,(,),r,m,e,ij,i,i,j,S,y,y,?,?,?,?,?,第八章 方差分析与回归分析 华东师范大学 1 Dec,第八章,方差分析与回归分析,华东师范大学,1 December 2019,第,20,页,?,由于组间差异除了随机误差外，还反映了

16、,效应间的差异，故由效应不同引起的数据,差异可用,组间偏差平方和,表示，也称为,因子,A,的偏差平方和，,其自,由度为,f,A,=,r,?,1,；,2,.,1,(,),r,A,i,i,S,m,y,y,?,?,?,?,第八章 方差分析与回归分析 华东师范大学 1 Dec,第八章,方差分析与回归分析,华东师范大学,1 December 2019,第,21,页,定理,8.1.1,在上述符号下，总平方和,S,T,可以,分解为因子平方和,S,A,与误差平方和,S,e,之和，,其自由度也有相应分解公式，具体为：,S,T,=,S,A,+,S,e,f,T,=,f,A,+,f,e,（,8.1.16,）,（,8.

17、1.16,）式通常称为,总平方和分解式。,第八章 方差分析与回归分析 华东师范大学 1 Dec,第八章,方差分析与回归分析,华东师范大学,1 December 2019,第,22,页,偏差平方和,Q,的大小与自由度有关，为了便于在,偏差平方和间进行比较，统计上引入了,均方和,的概念，它定义为,MS=Q,/,f,Q,，其意为平均每个,自由度上有多少平方和，它比较好地度量了一,组数据的离散程度。,如今要对因子平方和,S,A,与误差平方和,S,e,之间进,行比较，用其均方和,MS,A,= S,A,/,f,A,，,MS,e,= S,e,/,f,e,进,行比较更为合理，故可用,作为,检验,H,0,的统计

18、量。,8.1.4,检验方法,/,/,A,A,A,e,e,e,MS,S,f,F,MS,S,f,?,?,第八章 方差分析与回归分析 华东师范大学 1 Dec,第八章,方差分析与回归分析,华东师范大学,1 December 2019,第,23,页,定理,8.1.2,在单因子方差分析模型,(8.1.8),及前,述符号下，有,(1),S,e,/,?,2,?,2,(,n,?,r,),，从而,E,(,S,e,),(,n,?,r,),?,2,，进一步，若,H,0,成,立，则有,S,A,/,?,2,?,2,(,r,?,1),(2),S,A,与,S,e,独立。,2,2,1,(,),(,1),r,A,i,i,E,S

19、,r,m,a,?,?,?,?,?,?,第八章 方差分析与回归分析 华东师范大学 1 Dec,第八章,方差分析与回归分析,华东师范大学,1 December 2019,第,24,页,由定理,8.1.2,，若,H,0,成立，则检验统计量,F,服从自由度,为,f,A,和,f,e,的,F,分布，因此拒绝域为,W,=,F,?,F,1,?,?,(,f,A,f,e,),，,通常将上述计算过程列成一张表格，称为方差分析,表。,表,8.1.3,单因子方差分析表,来源,平方和,自由度,均方和,F,比,因子,S,A,f,A,=,r,?,1,MS,A,= S,A,/,f,A,F,MS,A,/,MS,e,误差,S,e,

20、f,e,=,n,?,r,MS,e,= S,e,/,f,e,总和,S,T,f,T,=,n,?,1,第八章 方差分析与回归分析 华东师范大学 1 Dec,第八章,方差分析与回归分析,华东师范大学,1 December 2019,第,25,页,对给定的,?,，可作如下判断：,?,若,F,?,F,1,?,?,(,f,A,f,e,),，则说明因子,A,不显著。,该检验的,p,值也可利用统计软件求出，若,以,Y,记服从,F,(,f,A,f,e,),的随机变量，则检验的,p,值为,p,=,P,(,Y,?,F,),。,?,如果,F,F,1,?,?,(,f,A,f,e,),，,则认为因子,A,显著；,第八章 方

21、差分析与回归分析 华东师范大学 1 Dec,第八章,方差分析与回归分析,华东师范大学,1 December 2019,第,26,页,常用的各偏差平方和的计算公式如下：,（,8.1.19,）,一般可将计算过程列表进行。,2,2,1,1,2,2,1,1,r,m,T,ij,i,j,r,A,i,i,e,T,A,T,S,y,n,T,S,T,m,n,S,S,S,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,第八章 方差分析与回归分析 华东师范大学 1 Dec,第八章,方差分析与回归分析,华东师范大学,1 December 2019,第,27,页,例,8.1.2,采用例,8.1.1,的数据，将原始数据减去,1

22、000,，,列表给出计算过程：,表,8.1.4,例,8.1.2,的计算表,水,平,数据（原始数据,-,1000,）,T,i,T,i,2,A,1,73,9,60,1,2,12,9,28,194,37636,10024,A,2,107,92,-10,109,90,74,122,1,585,342225,60355,A,3,93,29,80,21,22,32,29,48,354,125316,20984,1133,505177,91363,2,1,m,ij,j,y,?,?,第八章 方差分析与回归分析 华东师范大学 1 Dec,第八章,方差分析与回归分析,华东师范大学,1 December 2019,

23、第,28,页,利用,(8.1.19),，可算得各偏差平方和为：,把上述诸平方和及其自由度填入方差分析表,2,2,1133,91363,37876.0417,24,1,23,24,505177,1133,9660.0833,3,1,2,8,24,37876.0417,9660.0833,28215.9584,3(8,1),21,T,T,A,A,e,T,A,e,S,f,S,f,S,S,S,f,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,第八章 方差分析与回归分析 华东师范大学 1 Dec,第八章,方差分析与回归分析,华东师范大学,1 December 201

24、9,第,29,页,表,8.1.5,例,8.1.2,的方差分析表,来源,平方和,自由度,均方和,F,比,因子,9660.0833,2,4830.0417,3.5948,误差,28215.9584,21,1343.6171,总和,37876.0417,23,若取,?,=0.05,，则,F,0.95,(2,21)=3.47,，由于,F,=3.59483.47,，故认为因子,A,（饲料）是显著的，,即三种饲料对鸡的增肥作用有明显的差别。,第八章 方差分析与回归分析 华东师范大学 1 Dec,第八章,方差分析与回归分析,华东师范大学,1 December 2019,第,30,页,8.1.5,参数估计,在

25、检验结果为显著时，,我们可进一步求出,总均值,?,、各主效应,a,i,和误差方差,?,2,的估计。,第八章 方差分析与回归分析 华东师范大学 1 Dec,第八章,方差分析与回归分析,华东师范大学,1 December 2019,第,31,页,一、点估计,由模型,(8.1.8),知诸,y,ij,相互独立，且,y,ij,N,(,?,+,a,i,?,2,),，因此，,可使用极大似然方法求出一般平均,?,、各主效应,a,i,和误差方,差,?,2,的估计,:,由极大似然估计的不变性，各水平均值,?,i,的极大似然估计,为,，由于,不是,?,2,的无偏估计，可修偏：,.,?,i,i,y,?,?,2,?,M

26、,?,2,?,e,MS,?,?,.,2,2,1,1,1,1,(,),i,i,r,m,e,M,ij,i,j,y,a,y,y,i,r,S,y,y,n,n,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,第八章 方差分析与回归分析 华东师范大学 1 Dec,第八章,方差分析与回归分析,华东师范大学,1 December 2019,第,32,页,由于,，可给出,A,i,的水平均值,?,i,的,1,-,?,的置信区间为,其中,。,.,(,),(,),/,i,i,e,e,e,m,y,t,f,S,f,?,?,二、置信区间,.,1,/,2,.,1,/,2,(,),/,(,),/,i,e,i,e,y,t,f,m

27、,y,t,f,m,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,2,?,e,MS,?,?,第八章 方差分析与回归分析 华东师范大学 1 Dec,第八章,方差分析与回归分析,华东师范大学,1 December 2019,第,33,页,例,8.1.3,继续例,8.1.2,，此处我们给出诸水平均,值的估计。因子,A,的三个水平均值的估计分,别为,从点估计来看，水平,2,（以槐树粉为主的饲,料）是最优的。,1,2,3,194,1000,1024.25,8,585,1000,1073.125,8,354,1000,1044.25,8,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,第八章 方差

28、分析与回归分析 华东师范大学 1 Dec,第八章,方差分析与回归分析,华东师范大学,1 December 2019,第,34,页,误差方差的无偏估计为,利用,(8.1.23),可以给出诸水平均值的置信区间。,此处，,，若取,?,0.05,，则,t,1,-,?,/2,(,f,e,)=,t,0.95,( 21,)=2.0796,，,，,于是三个水平均值的,0.95,置信区间分别为,2,?,1343.6171,e,MS,?,?,?,?,1343.6171,36.6554,?,?,?,0.975,?,(21),/,8,26.9509,t,?,?,1,2,3,:1024.25,26.9509 = 997

29、.2891, 1051.2109,:1073.125,26.9509 = 1046.1741, 1100.0759,:1044.25,26.9509 = 1017.2891, 1071.2109.,?,?,?,?,?,?,第八章 方差分析与回归分析 华东师范大学 1 Dec,第八章,方差分析与回归分析,华东师范大学,1 December 2019,第,35,页,在单因子试验的数据分析中可得到如下三个,结果：,?,因子是否显著；,?,试验的误差方差,?,2,的估计；,?,诸水平均值,?,i,的点估计与区间估计。,在因子,A,显著时，通常只需对较优的水平均,值作参数估计，在因子,A,不显著场合，参

30、数,估计无需进行。,第八章 方差分析与回归分析 华东师范大学 1 Dec,第八章,方差分析与回归分析,华东师范大学,1 December 2019,第,36,页,8.1.6,重复数不等情形,单因子方差分析并不要求每个水平下重复试验,次数全相等，在重复数不等场合的方差分析与,重复数相等情况下的方差分析极为相似，只在,几处略有差别。,?,数据：设从第,i,个水平下的总体获得,m,i,个试,验结果，记为,y,i,1, y,i,2, y,im,，,i,=1,2,r,，,统计模,型为：,（,8.1.24,）,2,1,2,.,1,2,.,(0,),ij,i,ij,i,ij,y,i,r,j,m,N,?,?,

31、?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,各,相互独立，且都服从,第八章 方差分析与回归分析 华东师范大学 1 Dec,第八章,方差分析与回归分析,华东师范大学,1 December 2019,第,37,页,?,总均值：诸,?,i,的加权平均（所有试验结果的,均值的平均）,（,8.1.25,）,称为总均值或一般平均。,?,效应约束条件：,?,各平方和的计算：,S,A,的计算公式略有不同,2,2,2,.,1,1,(,),r,r,i,A,i,i,i,i,i,T,T,S,m,y,y,m,n,?,?,?,?,?,?,?,?,1,0,r,i,i,i,m,a,?,?,?,1,1,1,1,1,(,.,),

32、r,r,r,i,i,i,m,m,m,n,n,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,第八章 方差分析与回归分析 华东师范大学 1 Dec,第八章,方差分析与回归分析,华东师范大学,1 December 2019,第,38,页,例,8.1.4,某食品公司对一种食品设计了四种新,包装。为考察哪种包装最受顾客欢迎，选了,10,个地段繁华程度相似、规模相近的商店做,试验，其中二种包装各指定两个商店销售，,另二个包装各指定三个商店销售。在试验期,内各店货架排放的位置、空间都相同，营业,员的促销方法也基本相同，经过一段时间，,记录其销售量数据，列于表,8.1.6,左半边，其,相应的计算结果列于右侧。,第八

33、章 方差分析与回归分析 华东师范大学 1 Dec,第八章,方差分析与回归分析,华东师范大学,1 December 2019,第,39,页,表,8.1.6,销售量数据及计算表,包装,类型,销售量,m,i,T,i,T,i,2,/,m,i,A,1,12,18,2,30,450,468,A,2,14,12,13,3,39,507,509,A,3,19,17,21,3,57,1083,1091,A,4,24,30,2,54,1458,1476,和,n,=10,T,=180,2,1,i,m,ij,j,y,?,?,2,1,3498,r,i,i,i,T,m,?,?,?,2,1,1,3544,i,m,r,ij,

34、i,j,y,?,?,?,?,第八章 方差分析与回归分析 华东师范大学 1 Dec,第八章,方差分析与回归分析,华东师范大学,1 December 2019,第,40,页,由此可求得各类偏差平方和如下,方差分析表如表,8.1.8,所示,.,若取,?,0.01,，查表得,F,0.01,(3,6)=9.78,，由于,F,=11.229.78,，故我们可认为各水平间有显著,差异。,3544,3240,304,10,1,9,3498,3240,258,4,1,3,304,258,46,10,4,6,T,T,A,A,e,e,S,f,S,f,S,f,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?

35、,?,?,?,2,2,180,3240,10,T,n,?,?,?,?,?,?,?,?,第八章 方差分析与回归分析 华东师范大学 1 Dec,第八章,方差分析与回归分析,华东师范大学,1 December 2019,第,41,页,表,8.1.7,例,8.1.4,的方差分析表,来源,平方和,自由度,均方和,F,比,因子,A,258,3,86,11.22,误差,e,46,6,7.67,总和,T,304,9,第八章 方差分析与回归分析 华东师范大学 1 Dec,第八章,方差分析与回归分析,华东师范大学,1 December 2019,第,42,页,由于因子显著，我们还可以给出诸水平均值,的估计。因子,

36、A,的四个水平均值的估计分别,为,由此可见，第四种包装方式效果最好。误差,方差的无偏估计为,1,2,3,4,30,/,2,15,39,/,3,13,57,/,3,19,54,/,2,27,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,2,?,7.67,e,MS,?,?,?,第八章 方差分析与回归分析 华东师范大学 1 Dec,第八章,方差分析与回归分析,华东师范大学,1 December 2019,第,43,页,进一步，利用,(8.1.23),也可以给出诸水平均值的,置信区间，只是在这里要用不同的,m,i,代替那里,相同的,m,。此处，,，若取,?,0.05,，,则,t,1,-,?,/2,(

37、,f,e,)=,t,0.95,(6)=2.4469,，,，于是效,果较好的第三和第四个水平均值的,0.95,置信区间,分别为,?,7.67,2.7695,?,?,?,0.975,?,(6),6.7767,t,?,?,:19,6.7767,/,3,15.0875,22.9125,3,:,27,6.7767,/,2,22.2081,31.7919.,4,?,?,?,?,?,?,第八章 方差分析与回归分析 华东师范大学 1 Dec,第八章,方差分析与回归分析,华东师范大学,1 December 2019,第,44,页,8.2,多重比较,8.2.1,效应差的置信区间,如果方差分析的结果因子,A,显著，

38、则等于说有,充分理由认为因子,A,各水平的效应不全相同，,但这并不是说它们中一定没有相同的。就指,定的一对水平,A,i,与,A,j,，我们可通过求,?,i,-,?,j,的,区间估计来进行比较。,第八章 方差分析与回归分析 华东师范大学 1 Dec,第八章,方差分析与回归分析,华东师范大学,1 December 2019,第,45,页,由于,，故,由此给出,?,i,-,?,j,的置信水平为,1-,?,的置信区间为,(8.2.1),其中,是,?,2,的无偏估计。,这里的置信区间与第六章中的两样本的,t,区间基,本一致，区别在于这里,?,2,的估计使用了全部样,本而不仅仅是两个水平,A,i,A,j,

39、下的观测值。,2,.,.,1,1,(,(,),),i,j,i,j,i,j,y,y,N,m,m,?,?,?,?,?,?,.,.,(,),(,),(,),1,1,(,),i,j,i,j,e,e,i,j,e,y,y,t,f,S,m,m,f,?,?,?,?,?,?,.,.,.,.,1,1,2,2,1,1,1,1,?,?,(,),(,),(,),(,),i,j,e,i,j,e,i,j,i,j,y,y,t,f,y,y,t,f,m,m,m,m,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,2,?,/,e,e,S,f,?,?,第八章 方差分析与回归分析 华东师范大学

40、1 Dec,第八章,方差分析与回归分析,华东师范大学,1 December 2019,第,46,页,例,8.2.1,继续例,8.1.2,，,，,f,e,=21,，取,?,0.05,，,则,t,1-,?,/2,(,f,e,)=,t,0.975,(21)=2.0796,，,于是可算出各个置信区间为,可见第一个区间在,0,的左边，所以我们可以概率,95%,断言认为,?,1,小于,?,2,，其它二个区间包含,0,点，,虽然从点估计角度看水平均值估计有差别，但这,种差异在,0.05,水平上是不显著的。,0.975,1,1,?,(21),38.1143,8,8,t,?,?,?,1,2,1,3,2,3,:,

41、48.8750,38.1143,86.9893,10.7607,:,20,38.1143,58.11433,18.1143,:,28.8750,38.1143,9.2393,66.9893,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,1343.6171,36.6554,?,?,?,第八章 方差分析与回归分析 华东师范大学 1 Dec,第八章,方差分析与回归分析,华东师范大学,1 December 2019,第,47,页,8.2.2,多重比较问题,对每一组,(,i, j,),，,(8.2.1),给出的区间的置信水,平都是,1,?,?,，但对多个这样的区

42、间，要求其,同时成立，其联合置信水平就不再是,1,?,?,了。,第八章 方差分析与回归分析 华东师范大学 1 Dec,第八章,方差分析与回归分析,华东师范大学,1 December 2019,第,48,页,譬如，设,E,1, , E,k,是,k,个随机事件，且有,P,(,E,i,)=1,?,?,，,i,=1 ,k,，则其同时发生的概率,这说明它们同时发生的概率可能比,1,?,?,小很多。,为了使它们同时发生的概率不低于,1,?,?,，一个,办法是把每个事件发生的概率提高到,1,?,?,/,k,.,这将导致每个置信区间过长，联合置信区间的,精度很差，一般人们不采用这种方法。,1,1,1,(,),

43、1,(,),1,(,),1,k,k,k,i,i,i,i,i,i,P,E,P,E,P,E,k,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,第八章 方差分析与回归分析 华东师范大学 1 Dec,第八章,方差分析与回归分析,华东师范大学,1 December 2019,第,49,页,在方差分析中，如果经过,F,检验拒绝原假设，,表明因子,A,是显著的，即,r,个水平对应的水平,均值不全相等，此时，我们还需要进一步确,认哪些水平均值间是确有差异的，哪些水平,均值间无显著差异。,同时比较任意两个水平均值间有无明显差异,的问题称为多重比较，多重比较即要以显著,性水平,?,同时检验如下,r,(,r,?,1)

44、/2,个假设：,（,8.2.2,）,0,:,1,ij,i,j,H,i,j,r,?,?,?,?,?,?,第八章 方差分析与回归分析 华东师范大学 1 Dec,第八章,方差分析与回归分析,华东师范大学,1 December 2019,第,50,页,直观地看，当,H,0,ij,成立时，,不应过大，,因此，关于假设,(8.2.2),的拒绝域应有如下形式,诸临界值应在（,8.2.2,）成立时由,P,(,W,)=,?,确,定。下面分重复数相等和不等分别介绍临界,值的确定。,.,.,1,|,|,i,j,ij,i,j,r,W,y,y,c,?,?,?,?,?,?,.,.,|,|,i,j,y,y,?,第八章 方差

45、分析与回归分析 华东师范大学 1 Dec,第八章,方差分析与回归分析,华东师范大学,1 December 2019,第,51,页,8.2.3,重复数相等场合的,T,法,在重复数相等时，由对称性自然可以要求诸,c,ij,相等，记为,c,.,记,，则由给定条件不,难有,2,?,/,e,e,S,f,?,?,.,(,),?,/,i,i,i,e,y,t,t,f,m,?,?,?,?,第八章 方差分析与回归分析 华东师范大学 1 Dec,第八章,方差分析与回归分析,华东师范大学,1 December 2019,第,52,页,于是当,(8.2.2),成立时，,?,1,=,?,=,?,r,=,?,，可推出,其中

46、,，称为,t,化极差统计量，,其分布可由随机模拟方法得到。,于是,其中,q,1,?,?,(,r,f,e,),表示,q,(,r,f,e,),的,1,?,?,分位数，其值在附表,8,中给出。,?,?,(,),(,),/,e,P,W,P,q,r,f,mc,?,?,?,.,.,(,),(,),(,),max,min,/,/,j,i,e,i,j,y,y,q,r,f,m,m,?,?,?,?,?,?,?,?,1,?,(,),/,e,c,q,r,f,m,?,?,?,?,第八章 方差分析与回归分析 华东师范大学 1 Dec,第八章,方差分析与回归分析,华东师范大学,1 December 2019,第,53,页,

47、重复数相同时多重比较可总结如下：对给定的,的显著性水平,?,，查多重比较的分位数,q,(,r,f,e,),表，,计算,，比较诸,与,c,的大,小，若,则认为水平,A,i,与水平,A,j,间有显著差异，反之，,则认为水平,A,i,与水平,A,j,间无明显差别。这一方,法最早由,Turkey,提出，因此称为,T,法。,1,(,),/,e,c,q,r,f,m,?,?,?,?,.,.,|,|,i,j,y,y,?,.,.,|,|,i,j,y,y,c,?,?,第八章 方差分析与回归分析 华东师范大学 1 Dec,第八章,方差分析与回归分析,华东师范大学,1 December 2019,第,54,页,例,8

48、.2.2,继续例,8.1.2,，若取,?,=0.05,，则查表知,q,1-,0.05,(3, 21)=3.57,，而,。所以,，认为,?,1,与,?,2,有显著差别,，认为,?,1,与,?,3,无显著差别,，认为,?,2,与,?,3,有显著差别,这说明：,?,1,与,?,3,之间无显著差别，而它们与,?,2,之,间都有显著差异。,36.6554,?,?,3.57,36.6554,/,8,46.2659,c,?,?,?,1.,2.,|,|,48.875,46.2659,y,y,?,?,?,1.,3.,|,|,20,46.2659,y,y,?,?,?,2.,3.,|,|,46.875,46.265

49、9,y,y,?,?,?,第八章 方差分析与回归分析 华东师范大学 1 Dec,第八章,方差分析与回归分析,华东师范大学,1 December 2019,第,55,页,8.2.4,重复数不等场合的,S,法,在重复数不等时，若假设,(8.2.2),成立，则,或,从而可以要求,，在此要求下可推出,.,.,(,),(,),1,1,?,i,j,ij,e,i,j,y,y,t,t,f,m,m,?,?,?,?,2,.,.,2,(,),(1,),1,1,?,(,),i,j,ij,e,i,j,y,y,F,F,f,m,m,?,?,?,?,1,1,ij,i,j,c,c,m,m,?,?,2,1,?,(,),(max,(

50、,/,),),i,j,r,ij,P,W,P,F,c,?,?,?,?,?,?,第八章 方差分析与回归分析 华东师范大学 1 Dec,第八章,方差分析与回归分析,华东师范大学,1 December 2019,第,56,页,可以证明,，,从而,亦即,1,max,(,1,),1,i,j,r,ij,e,F,F,r,f,r,?,?,?,?,?,2,1,(,1,),?,(,/,),1,e,F,r,f,c,r,?,?,?,?,?,?,2,1,1,1,?,(,1),(,1,)(,),ij,e,i,j,c,r,F,r,f,m,m,?,?,?,?,?,?,?,第八章 方差分析与回归分析 华东师范大学 1 Dec,第