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1、概率论与数理统计,引入,随机变量的分布函数能完整的描述随机变量的统计规律性。但在许多实际问题中，并不需要去全面考察随机变量的变化情况。如大致了解全班同学的身高情况，其实我们只要知道全班同学的平均身高、大家身高对平均身高的平均偏离程度就可以大致了解全班同学的身高情况。,平均身高和平均偏离程度就是X的两个数字特征，我们分别称之为数学期望、方差。,数学期望、方差、协方差和相关系数,因此，在对随机变量的研究中，确定某些数字特征是重要的 .在这些数字特征中，最常用的是,第四章 随机变量的数字特征,第一节 随机变量的 数学期望,一、数学期望的概念,二、随机变量函数的数学期望,三、数学期望的性质,四、应用实
2、例,一、数学期望的概念,1. 问题的提出,1654年, 一个名叫德.梅尔的贵族就“两个赌徒约定赌若干局, 且谁先赢 c 局便算赢家, 若在一赌徒胜a局 (ac), 另一赌徒胜b局(bc)时便终止赌博, 问应如何分赌本” 为题求教于帕斯卡, 帕斯卡与费马通信讨论这一问题, 于1654 年共同建立了概率论的第一个基本概念 数学期望,A、B两人赌技相同, 各出赌金100元, 并约定先胜三局者为胜, 取得全部 200元. 由于出现意外情况, 在 A 胜 2 局、B 胜1局时, 不得不终止赌博, 如果要分赌金, 该如何分配才算公平?,引例1 分赌本问题(产生背景),事实上，很容易设想出以下两种分法： (
3、1) A得200*（1/2)元、B得200*（1/2)元; (2) A得200*（2/3)元、B得200*（1/3)元; 第1种分法考虑到A、B两人赌技相同，就平均分配，没有照顾到A 已经比B 多赢1局这一现实，显然对A是不公平的。 第2种分法不但照顾到“A、B两人赌技相同”这一前提，还尊重了已经进行的三局比赛结果，当然更公平一些。但是，第2种分法还是没有考虑到如果继续比赛下去的话会出现什么情形，即没有照顾到两人在现有基础上对比赛结果的一种期待。,A胜2局B胜1局,前三局:,后二局:,把已赌过的三局(A 胜2局、B 胜1局)与上述结果,相结合, 即A、B赌完五局:,A A,A B,B A,B
4、B,A胜,B胜,分析,假设继续赌两局, 则结果有以下四种情况:,A A,A B,B A,B B,A胜B负,A胜B负,A胜B负,B胜A负,B胜A负,A胜B负,B胜A负,B胜A负,因此, A 能“期望”得到的数目应为,而B 能“期望”得到的数目, 则为,故有, 在赌技相同的情况下, A、B最终获胜的,可能性大小之比为 3:1.,即A 应获得赌金的 而 B 只能获得赌金的,这种分法自然比前两种方法都更为合理，使双方都乐于接受。这就是“数学期望”这个名字的由来。,因而A期望所得的赌金即为X的 “期望”值,等于,X的可能值与其概率之积的累加.,即为,若设随机变量 X 为: 在 A 胜2局B 胜1局的前提
5、下, 继续赌下去 A 最终所得的赌金.,则X 所取可能值为:,其概率分别为:,引例2 加权平均成绩,为该生各门课程的算术平均成绩.,设某学生四年大学各门功课 成绩分别为,这是以频率为权的加权平均,显然算术平均成绩是加权平均成绩的一种,为该生的加权平均成绩.,平均值的意义.,这是以概率为权的加权平均,通过上述2个引例, 我们可以给出如下定义,2. 离散型随机变量的数学期望,记为EX, 即,定义1 设离散型随机变量 X的分布律为,X的分布律为,E(X)=,比如,0-1分布的期望为p,注1 EX是一个实数, 而非变量, 它是一种加权平均, 它从本质上体现了随机变量 X 取可能值的真正的平均值, 也称
6、均值.,注2 级数的绝对收敛性保证了级数的和不随级数各项次序的改变而改变, 之所以这样要求是因为数学期望是反映随机变量X 取可能值的平均值, 它不因可能值的排列次序而改变.,设某教练员有甲、乙两名射击运动员, 现需要选拔其中的一名参加运动会, 根据过去的记录显示, 二人的技术水平如下:,试问哪个射手技术较好?,例1 选拔运动员,解,运动员的水平是通过其平均水平来衡量的,故甲射手的技术比较好.,因而甲、乙两射手的平均水平分别为,解,则有,例2 (泊松分布),因而泊松分布P的数学期望为 .,设X , 且其分布律为,设随机变量 X P(), 求EX.,连续型随机变量的数学期望的引出,设X是连续型随机
7、变量，其密度函数为 f (x), 在数轴上取很密的分点 x0 x1 x2 ，则 X 落在小区间 xi , xi+1) 的概率是：,小区间xi , xi+1 ),阴影面积近似为,由于 xi 与 xi+1 很接近, 所以区间 xi , xi+1 )中的值可以用 xi 来近似代替.,这正是,的渐近和式.,阴影面积近似为,小区间xi , xi+1 ),注意到：,3. 连续型随机变量数学期望的定义,定义2,设连续型随机变量X 的概率密度为,则,称为随机变量X 的数学期望,fx,记为EX, 即,例3 (均匀分布),解,则有,4. 常见连续型随机变量的数学期望,设随机变量X服从均匀分布,因而均匀分布数学期望
8、位于区间的中点.,求E(X).,则有,解,例4 (正态分布),设随机变量 , 求EX.,设 , 其概率密度函数,所以,令,因而参数 为正态分布的数学期望.,由凑微分,由概率密度的归一性,例5 (指数分布),求EX.,解,由分部积分,常见连续型分布的数学期望小结,E(X)=,解,例6,解,但是,6. 数学期望不存在的实例,设离散型随机变量X的分布律为,由于,因而其数学期望EX不存在.,求EX.,二、随机变量函数的数学期望,(一) 一维随机变量函数的数学期望,1. 问题的提出,X,E(X),数学期望,g是连续函数, g(X) 是随机变量, 如: aX+b, X2等等.,g(X),数学期望,2. 离
9、散型随机变量函数的数学期望,解,设随机变量 X 的分布律为,例7,则有,因此离散型随机变量函数的数学期望为,若 Y=g(X), 且,则有,设X是一个连续型随机变量, Y g(X), 则,f(x)为X的密度函数。,求Eg(X)时, 只需知道X的分布即可.,3. 一维连续型随机变量函数数学期望的计算,定理1 设X是一个随机变量, Y g(X), 则,当X为离散型时, P(Xxk) pk , (k 1,2,);当X为连续型时, X的密度函数为f(x).,求Eg(X)时, 只需知道X的分布即可.,证,现在只证明定理的特殊情形:,单调连续, x f 1y为其反函数, 并且可导,同时 y , 则,即,解,
10、X U,E(Y )=,E(sinX )=,X的概率密度为,例8 设X服从 上的均匀分布，求Y=sinX 的数学期望,例9,设某种商品的需求量X是服从10,30上,的均匀分布的随机变量, 而经销商店进货数量为区间10, 30中的某一整数, 商店每销售一单位商品可获利500元. 若供大于求则削价处理, 每处理1单位商品亏损100元; 若供不应求, 则可从外部调剂供应, 此时每一单位商品仅获利300元.为使商品所获利润期望值不少于9280元, 试确定最少进货量.,(考研试题),解,设进货量为a, 则利润为,因此期望利润为,因此,即最少进货量为21单.,对于二维随机变量而言, 其函数的数学期望计算方法
11、可以由类似于定理1得到.,1. 二维离散型情形,(二) 二维随机变量函数的数学期望,设X,Y为二维离散型随机变量, Z gX, Y为 二元函数, 如果EZ存在,其中X, Y的联合概率分布为pij .,2. 二维连续型情形,设X,Y为二维连续型随机变量, Z gX, Y为二元连续函数, 如果EZ存在, 则,其中X,Y的联合概率密度为fx, y.,例 10 设X,Y的分布律为,解 X的分布律为,求EX, EY,因为(X,Y)的分布律为,Y的分布律为,计算可得, 5.,E(X)=,解,E(XY)=,解,三、数学期望的性质,性质1 设C是常数, 则有ECC.,证,性质2 设 X 是一个随机变量, C
12、是常数, 则有,证,性质3 设 X、Y 是两个随机变量, 则有,证,推广,这一性质可推广到任意有限个随机变量之和的情形.,线性性质,性质4 设 X、Y是相互独立的随机变量, 则有,注 连续型随机变量 X 的数学期望与离散型随机变量数学期望的性质类似. 上述证明只证了一类.,证,则X、Y不独立.,这一性质可推广到任意有限个相互独立的随机变量之积的情形.,例12 若 XB(1,0.2)，求Y=2X+1的数学期望,解,E(Y )=,E(2X+1 ),=2E(X)+1,E(X )=,0.2,=20.21,=1.4,解,E(Z )=,例14 若 XB(n,p)，求X的数学期望,设X表示n重贝努里试验中事
13、件A发生的 次数.,又设,X= X1+X2+Xn,i=1,2，n,则,= np,所以 E(X)=,E(Xi)=,= p,若 XB(n,p)，,则X的数学期望E(X)=np,Xi的分布律为,四、应用实例,厂家的销售策略,按规定: 出售的设备在售出的一年内损坏可予以调换. 若出售一台设备赢利100元, 调换一台设备厂方需花费300元. 求厂方出售一台设备净赢利Y的数学期望.,解,依题设, 有,某设备寿命X(以年计)服从,的指数分布.,寿命不超过1年的概率出售的设备在售出一年之内调换的概率,寿命超过1年的概率不需调换的概率,因此出售一台设备净赢利Y 的分布律为,.,发行彩票的创收利润,某一彩票中心发
14、行彩票10万张, 每张2元. 设头等奖1个, 奖金 1万元, 二等奖2个, 奖金各5千元; 三等奖10个, 奖金各1千元; 四等奖100个, 奖金各1百元; 五等奖1000个, 奖金各10元. 每张彩票的成本费为0.3元, 请计算彩票发行单位的创收利润.,解,设每张彩票中奖的数额为随机变量X, 则,每张彩票平均能得到奖金,因此彩票发行单位发行10万张彩票的创收利润为, 0.5(元).,如何确定投资决策方向?,某人现有10万元现金, 想投资于某项目, 为期一年. 欲估成功的机会为30%, 并可获利8万元, 失败的机会为70%, 将损失2万元. 若存入银行,同期间的利率为5%, 哪一种方案可使投资
15、的效益较大?,解,设X为投资利润, 则,存入银行的利息:,故应选择投资.,内容小结,数学期望是一个实数, 而非变量, 它是一种加权平均, 与一般的平均值不同, 它从本质上体现了随机变量 X 取可能值的真正的平均值.,2. 数学期望的性质,如,甲、乙两门炮同时向一目标射击10发炮弹，其落点距目标的位置如图：,你认为哪门炮射击效果好一些呢?,甲炮射击结果,乙炮射击结果,因为乙炮的弹着点较集中在中心附近 .,如何度量随机变量取值在其中心附近的离散程度.,2 方差,再见,求证: 随机变量X没有数学期望.,证 由定义, 数学期望应为,由微积分学可知, 右边的级数发散. 因此, 随机变量X 没有数学期望.
16、,设随机变量X的分布律为,备用题例1,解,由于,例2 (柯西分布) 设随机变量X服从柯西分布, 求EX.,因X服从柯西分布, 则其密度函数为,因而其数学期望E(X)不存在.,游客乘电梯从底层到电视塔顶层观光,例3,解,已知X在0,60上服从均匀分布, 其密度为,电梯于每个正点的第5分钟、第25分钟和第55分钟从底层起行. 假设在早上的8点的第X分钟到达底层候梯处, 且X在0,60上服从均匀分布求游客等候时间的数学期望. （考研试题）,设Y是游客等候电梯的时间(单位:分), 则,因此, 11.67,解,例 4,设随机变量X的分布密度函数为,试求 . (考研试题),解,例5,（报童问题）设某报童每
17、日的潜在卖报数,若记真正卖报数为Y, 则Y与X的关系如下：,X服从参数为的泊松分布. 如果每卖出一份报可报酬a, 卖不掉而退回则每份赔偿b, 若某报童买进n份报, 试求其期望所得. 进一步, 再求最佳的卖报份数.,因此期望所得为,记所得为Z, 则Z与Y的关系如下:,则Y的分布为,当a, b, 给定后, 求n使Mn达到极大.,利用软件包求得计算结果如下:,2 方差,一、方差的定义及计算,二、常见随机变量的方差,三、方差的性质,1. 方差的定义,方差刻划了随机变量的取值对于其数学期望的离散程度 .,一、概念,方差是一个常用来体现随机变量X 取值分散程度的量. 如果D(X)值大, 表示X 取值分散程
18、度大, 而如果D(X)值小, 则表示X 的取值比较集中,2. 方差的意义,离散型随机变量的方差,连续型随机变量的方差,3. 随机变量方差的计算,(1) 利用定义计算,g(X)=X-E(X)2的数学期望 .,证明,(2) 利用公式计算,例1,设随机变量X具有(01）分布，其分布率为,求D(X) .,解,由公式,因此,0-1分布,E(X)=,解,D(X)=,解,例3,X的分布律为,k=0,1,2,E(X 2)=,(1) 设X P ( ),则E(X),常见随机变量的方差,P(X=k)=,D(X)=,E(X 2),D(X)=,E(X2)-E(X)2,2. 二项分布,X b( n, p),则有,3. 均
19、匀分布,4. 指数分布,5. 正态分布,则有,证明,三. 方差的性质,(1) 设 C 是常数, 则有,(2) 设 X 是一个随机变量, C 是常数, 则有,证明,(3) 设 X, Y相互独立, D(X), D(Y) 存在, 则,证明,(4)D(aX-bY )= D(X)+ D(Y );,(3)D(aX+bY )= D(X)+ D(Y );,若X与Y独立，则,(1)D(X+Y )= D(X)+D(Y );,(2)D(X-Y )= D(X)+D(Y );,推广,解:,X,E(Z)=,E(3X-2),E(X)=,2,D(X)=,2,E(Y)=,E (X 2 ),=D(X)+ (E X) 2,=6,=
20、3E(X) - 2,=4,例5 设XB(n,p),求D(X).,设,i=1,2，n,D(Xi)=,= p,p(1- p),设X表示n重贝努里试验中的“成功” 次数,E(Xi),Xi的分布律为,于是,由于X1,X2,Xn相互独立,= np(1- p),则XB(n,p),有EX=np,DX=np(1- p).,若在已知某些分布类型时，知道期望方差，便能够确定其分布。,例6 设随机变量X和Y相互独立且XN(1,2),YN(0,1). 试求Z=2X-Y+3的概率密度.,解:,(E(Z), D(Z),Z N(5, 32),且X与Y独立,YN(0,1)，,XN(1,2),则 ZN,E(Z)=,=2E(X)
21、-E(Y)+3,E(2X-Y+3),=5,D(Z )=,D(2X-Y+3),=4D(X)+D(Y),=9,故Z的概率密度是,契比雪夫不等式,证明,契比雪夫不等式,得,由切比雪夫不等式可以看出，若 越小，则事件|X-E(X)| 的概率越大，即随机变量X 集中在期望附近的可能性越大.,例7 已知正常男性成人血液中 ，每一毫升白细胞数平均是7300，均方差是700 . 利用切比雪夫不等式估计每毫升白细胞数在52009400之间的概率 .,解：设每毫升白细胞数为X,依题意，E(X)=7300,D(X)=7002,所求为 P(5200 X 9400),P(5200 X 9400),= P(-2100 X-E(X) 2100),= P |X-E(X)| 2100,由切比雪夫不等式,P |X-E(X)| 2100,即估计每毫升白细胞数在52009400之间的概率不小于8/9 .,
