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1、数学建模（Mathematical Modeling),黑龙江科技学院理学院工程数学教研室,第三章 微分方程模型,理学院,微分方程数值解,水池中含盐量模型、学习模型,人口模型、战争模型,重点:各种简单的微分方程模型,难点:微分方程建立数学模型的思想方法,加热与冷却模型、目标跟踪模型,理学院,建模举例,动态模型,描述对象特征随时间(空间)的演变过程,分析对象特征的变化规律,预报对象特征的未来性态,研究控制对象特征的手段,根据函数及其变化率之间的关系确定函数,微分方程建模,根据建模目的和问题分析作出简化假设,按照内在规律或用类比法建立微分方程,理学院,牛顿冷却定律：将温度为T的物体放入处于常温T0
2、的介质中时，T的变化速率正比于T与周围介质的温度差。,3.1 加热与冷却模型,理学院,例2 尸体冷却问题 受害者的尸体于晚上7:30被发现，法医于晚上8:20赶到凶案现场，测得尸体温度为32.6；一小时后，当尸体即将被抬走时，测得尸体温度为31.4，室温在几个小时内始终保持21.1。此案最大的嫌疑犯张某声称自己是无罪的，并有证人说：“下午张某一直在办公室上班，5:00时打完电话后就离开了办公室”。从张某到受害者家（凶案现场）步行需5分钟，现在的问题是，张某不在凶案现场的证言能否被采信，使他排除在嫌疑犯之外。,理学院,首先应确定凶案的发生时间，若死亡时间在下午5点5分之前，则张某就不是嫌疑犯，否
3、则不能将张某排除。,设T(t)表示t时刻尸体的温度，并记晚上8:20为t=0，则T(0)=32.6，T(1)=31.4。 假设受害者死亡时体温是正常的，即T=37是要确定受害者死亡的时间，也就是求T(t)=37的时刻，进而确定张某是否是嫌疑犯。,问题分析与符号说明,人体体温受大脑神经中枢调节。人死亡后体温调节的功能消失，尸体的温度受外界环境温度的影响。,理学院,假设尸体温度的变化率服从牛顿冷却定律，即尸体温度的变化律与他同周围的温度差成正比。即,k是常数,分离变量,两边同时积分,理学院,T(0)=21.1+a=32.6,a=11.5,T(1)=21.1+ae-k=31.4,e-k115/103
4、,k=0.11,T(t)=21.1+11.5e-0.11t,当T=37时，有t=-2.95 小时-2小时57分 8小时20分2小时57分5小时23分即死亡时间大约在下午5:23，因此张某不能被排除在嫌疑犯之外。,理学院,3.2 目标跟踪模型,例1 饿狼追兔问题,现有一直兔子，一只狼，兔子位于狼的正西100米处，假设兔子与狼同时发现对方并一起起跑，兔子往正北60米处的巢穴跑，而狼在追兔子，已知兔子、狼是匀速跑且狼的速度是兔子的2倍。兔子能否安全回到巢穴?,解：设狼的行走轨迹为y=f(x),则有：,假设在某一时刻，兔子跑到(0,h)处，而狼在(x,y)处，则有：,整理得到下述模型： 解得狼的行走轨
5、迹为：,因f(0)=200/360，所以狼追不上兔子。,理学院,设河边点O处有条小鱼， O的正对岸点为A，河宽OAh，鸭子从A出发游向点O，设鸭子在静水中的速度为 a，水流速度为b（ab），且鸭子游动方向始终朝着点O。 求鸭子游过的轨迹方程。,a,例2 小鸭吃鱼问题,理学院,首先建立如图所示的坐标系，设鸭子游动的轨迹为y(t)且时刻t时鸭子所在的位置为P(x,y)。由于鸭子在任意时刻游动的的实际方向是曲线的切线方向，而切线的斜率为 ，因此应建立一个微分方程。由可得这是一个齐次方程，解得,理学院,某些类型的导弹对目标追击的数学模型于此模型类似。,3.3 水池中含盐量模型,解：设在t秒时池内的存盐
6、量为y=y(t)g,因为每分钟流入3L溶液，且每升溶液含盐2g,在任一时刻流入盐的速率为:,同时，又以2L/min的速率流出溶液，故t min后溶液总量为:100+(3-2)t L,每升溶液的含盐量为(y/100+t) g,因此排除盐的速率为：,V1(t)=32=6 (g/min),V2(t)=2(y/100+t)=2y/100+t (g/min),理学院,从而池内盐的变化率为：,即,且有初始条件为,解一阶线性微分方程得到特解为：,当t=30时，池内含盐量为,类似可以得到湖水污染模型。,理学院,通风问题,解：设y为时间t时，CO2的浓度； a为通入的空气量(m3/min); v为车间的体积(m
7、3); y0为CO2的初浓度； g为新鲜空气CO2的浓度 。,解决这个问题根据下列两个物质平衡式： 增量=加入量-排出量流进（或排出）量=流进（或排出）速度浓度时间,理学院,下面考虑时间间隔(t,t+dt)内CO2进入量与排出量。CO2的进入量=agdtCO2的排出量=aydt,在dt 时间内,CO2的增量为 agdt-aydt=a(g-y)dt,在t时刻,CO2的总量为vy在t+dt时刻,CO2的总量为v(y+dy),在dt 时间内,CO2的增量为 v(y+dy)-vy=vdy,vdy=a(g-y)dt,为一阶变量可分离方程，初始条件为yt=0=y0,求解得：,车间空气中CO2浓度y与时间t
8、的数学模型,代入数据得a=1500(m3/min),即每分钟应通入1500m3的新鲜空气，就能在10min后使车间内的CO2含量不超过0.06%.,理学院,一般认为，对一项技术工作，开始学得较快，但随着学得越来越多时，内容也越来越复杂，学员学得就会越来越慢。,设y%表示已经掌握了这项工作的百分数， 表示学 员学习的速度，则随y的增长而下降。,假设一个学员的学习速度=尚未学会的工作占总工作的百分数，于是,积分得,3.4 学习模型,理学院,例1 在电冰箱、电视机、汽车制造等行业中，装配工人的工作是一种重复性的熟练劳动，在这些行业中，新工人的学习过程如下：刚开始时，由于技术不熟练，生产单位产品需要较
9、多的劳动时间；随着不断地工作，新工人的熟练程度逐渐提高，生产单位产品需要的劳动时间越来越短；当工人达到完全熟练程度后，生产单位产品需要的劳动时间就会稳定在一个定值，试建立新工人学习的数学模型,解：设x为新工人累计完成的生产量，y表示他生产第x个单位产品时所需要的劳动时间，根据统计分析，y 一般可表示为如下形式：,学习曲线,理学院,例2 某纺织厂招收一批新工人学习1511型织布机的操作。观察工人的学习过程发现，当累计织完25匹布后，工人织每匹布需要用16小时，累计织完64匹布后，工人织每匹布需要用10小时。已知熟练工人织每匹布用时8小时。1、试确定出新工人的学习曲线模型2、计算新工人需要多少时间
10、才能达到熟练工人的程度。,解：（1）建立数学模型 设工人累计织布匹数为x，则工人的学习曲线为：,理学院,代入数据：,得,将c=80，k=1/2,代入学习曲线得A=100，所以学习曲线为：,(2)达到熟练程度所需的时间为,理学院,为了保持自然资料的合理开发与利用，人类必须保持并控制生态平衡，甚至必须控制人类自身的增长。本节将建立几个简单的单种群增长模型，以简略分析一下这方面的问题。,种群的数量本应取离散值，但由于种群数量一般较大，为建立微分方程模型，可将种群数量看作连续变量,由此引起的误差将是十分微小的。,3.5 人口模型与战争模型,理学院,模型1 马尔萨斯（Malthus）模型,马尔萨斯在分析
11、人口出生与死亡情况的资料后发现，人口净增长率r基本上是一常数，（r=b-d,b为出生率，d为死亡率）， 既：,马尔萨斯模型的一个显著特点：种群数量翻一番所需的时间是固定的。,理学院,Malthus模型实际上只有在群体总数不太大时才合理，到总数增大时，生物群体的各成员之间由于有限的生存空间，有限的自然资源及食物等原因，就可能发生生存竞争等现象。,所以Malthus模型假设的人口净增长率不可能始终保持常数，它应当与人口数量有关。,理学院,模型2 Logistic模型,人口净增长率应当与人口数量有关，即： r=r(N),r(N)是未知函数，但根据实际背景，它无法用拟合方法来求 。,为了得出一个有实际
12、意义的模型，我们不妨采用一下工程师原则。工程师们在建立实际问题的数学模型时，总是采用尽可能简单的方法。,r(N)最简单的形式是常数，此时得到的就是马尔萨斯模型。对马尔萨斯模型的最简单的改进就是引进一次项（竞争项）,(3.9)式还有另一解释，由于空间和资源都是有限的，不可能供养无限增长的种群个体，当种群数量过多时，由于人均资源占有率的下降及环境恶化、疾病增多等原因，出生率将降低而死亡率却会提高。设环境能供养的种群数量的上界为K（近似地将K看成常数），N表示当前的种群数量，K-N恰为环境还能供养的种群数量，（3.9）指出，种群增长率与两者的乘积成正比，正好符合统计规律，得到了实验结果的支持，这就是
13、（3.9）也被称为统计筹算律的原因。,理学院,图3-5,对（3.9）分离变量：,两边积分并整理得：,令N(0)=N0，求得：,N(t)的图形请看图3-5,理学院,大量实验资料表明用Logistic模型来描述种群的增长，效果还是相当不错的。例如，高斯把5只草履虫放进一个盛有0.5cm3营养液的小试管，他发现，开始时草履虫以每天230.9%的速率增长，此后增长速度不断减慢，到第五天达到最大量375个，实验数据与r=2.309，a=0.006157，N(0)=5的Logistic曲线： 几乎完全吻合，见图3-6。,图3-6,理学院,Malthus模型和Logistic模型的总结,Malthus模型和
14、Logistic模型均为对微分方程（3.7）所作的模拟近似方程。前一模型假设了种群增长率r为一常数，（r被称为该种群的内禀增长率）。后一模型则假设环境只能供养一定数量的种群，从而引入了一个竞争项。,用模拟近似法建立微分方程来研究实际问题时必须对求得的解进行检验，看其是否与实际情况相符或基本相符。相符性越好则模拟得越好，否则就得找出不相符的主要原因，对模型进行修改。,Malthus模型与Logistic模型虽然都是为了研究种群数量的增长情况而建立的，但它们也可用来研究其他实际问题，只要这些实际问题的数学模型有相同的微分方程即可。,理学院,战争分类：正规战争，游击战争，混合战争,只考虑双方兵力多少
15、和战斗力强弱,兵力因战斗及非战斗减员而减少，因增援而增加,战斗力与射击次数及命中率有关,建模思路和方法为用数学模型讨论社会领域的实际问题提供了可借鉴的示例,第一次世界大战Lanchester提出预测战役结局的模型,战争模型,理学院,一般模型,每方战斗减员率取决于双方的兵力和战斗力,每方非战斗减员率与本方兵力成正比,甲乙双方的增援率为u(t), v(t),f, g 取决于战争类型,x(t) 甲方兵力，y(t) 乙方兵力,模型假设,模型,理学院,正规战争模型,甲方战斗减员率只取决于乙方的兵力和战斗力,双方均以正规部队作战,忽略非战斗减员,假设没有增援,f(x, y)=ay, a 乙方每个士兵的杀伤
16、率,a=ry py, ry 射击率， py 命中率,理学院,正规战争模型,为判断战争的结局，不求x(t), y(t)而在相平面上讨论 x 与 y 的关系,平方律 模型,理学院,游击战争模型,双方都用游击部队作战,甲方战斗减员率还随着甲方兵力的增加而增加,f(x, y)=cxy, c 乙方每个士兵的杀伤率,c = ry pyry射击率py 命中率,理学院,游击战争模型,线性律 模型,理学院,混合战争模型,甲方为游击部队，乙方为正规部队,乙方必须10倍于甲方的兵力,设 x0=100, rx/ry=1/2, px=0.1, sx=1(km2), sry=1(m2),理学院,设待求解的微分方程问题为：
17、 （1）其中f适当光滑，对y满足Lipschitz（利普希茨）条件，即存在L使 ，则方程的解存在且唯一。,常微分方程初值问题的数值解法是近似计算中很重要的部分。重点讨论一阶常微分方程数值解。,理学院,3.6 微分方程数值解,一般情况下，求解微分方程的解析解非常困难甚至有时根本无法求出。对于微分方程而言，更重要的是求数值解，也就是在一系列离散点 上求解析解y=y(x)在点 处的值 的近似值 。通常情况下，为计算方便取等步长h，即,理学院,欧拉方法（折线法）它的基本思想是在小区间 上用差商 代替导数 ，而方程右端函数 中的x在小区间 的端点上取值，得到方程的近似表达式，称为欧拉公式。,向前欧拉公式
18、,理学院,向后欧拉公式,梯形公式,方法：把迭代过程分为两步: (1)由向前欧拉公式算出 的预测值 ；再把它代入梯形公式右端，作为校正，即,梯形公式的预报校正格式,理学院,Rungekutta（龙格库塔）法,二阶Rungekutta公式,基本思想:在 内多预报几个点的斜率值，然后把他们取加权平均作为平均斜率，则可构造出具有高精度的计算格式。,其中,理学院,其中待定系数i，i，i共13个，由于计算过于复杂所以我们直接给出一组i，i，i的值得到,四阶经典Rungekutta公式,理学院,3.7 建模举例（减肥模型）,试建立一个减肥的数学模型，探讨如下几个问题： 1、建立体重随时间的变化规律，进而提出
19、减肥的一些措施；2、给出衡量减肥效果的指标；3、计算出减肥的临界状态（即体重不能再减小的状态，若低于该指标，就影响身体健康，甚至危及生命）。,理学院,建立模型 以一天（24小时）为时间的计量单位，根据假设，以下所说的脂肪和体重是一样的。 设t时刻人的体重（脂肪）为w=w(t),w(0)=w0。,设每天活动h小时，用r表示每千克体重每小时所消耗的能量，则人每天活动所消耗的能量为R=hrw焦耳。,刚开始研究时人的体重,用b表示每千克体重每小时基础代谢和食物特别动力作用所消耗的能量，则人该项所消耗的能量为24bw焦耳。,用A表示人体每天摄入的能量。,人的体重是一个渐变过程，所以w是关于t的连续函数。
20、,根据能量平衡原理，考虑【t,t+t】时间段：,人在任何时间段内体重变化所引起的能量的变化等于这段时间内摄入的能量与消耗的能量之差,理学院,于是数学模型为：,其中，a=A/D，d=hr+24b/D,模型求解：,模型分析：,1、要减小w,只需减小A（食物摄入量）和增加hr（活动时间和活动强度）2、衡量减肥的效果 要使体重减小，则体重的变化率：,3、减肥的临界状态,理学院,本章小结,本章基于微分方程的知识和理论，介绍了一些常见的微分方程模型，使学生对微分方程建模的思想有所了解，进一步明确数学建模的思想方法。,理学院,理学院,减肥问题,减肥问题的数学模型是怎么样建立起来的？用到了何种建模原理或方法？
21、假如你或你的家人，朋友需要减肥，你能问他（她）们提供合适的减肥措施，并帮助他们制订一个可行的减肥计划吗？,理学院,减肥计划节食与运动,您的体重正常吗？不妨用联合国世界卫生组织颁布的所谓体重指数（简记BMI）衡量一下，BMI定义为体重（单位：m）的平方的商，规定BMI在18.5至25为正常，大于25为超重，超过30则为肥胖。据悉，我国有关机构针对东方人的特点，拟将上述规定中的25改为24,30改为29. 在国人初步过上小康生活以后，不少自感肥胖的人纷纷奔向减肥食品的柜台。可是大量事实说明，多数减肥食品达不到减肥目的，或者即使能减肥一时，也难以维持下去。许多医生和专家的意见是，只有通过控制饮食和适
22、当的运动，才能在不伤害身体的条件下，达到减轻体重并维持下去的目的。下面建立一个简单的体重变化规律的模型，并由此通过节食与运动制定合理、有效的减肥计划。,理学院,问题分析,通常，当体内能量守恒被破坏时就会引起体重的变化，人体通过饮食吸收的热量转化为脂肪等，导致体重增加；人体通过代谢和运动消耗热量，引起体重减小。只要作适当的简化假设就可以得到体重变化的关系。 减肥计划应以不伤害身体为前提，这可以用吸收热量不要过少、减少体重不要过快来表达。当然，增加运动量是加速减肥的有效手段，也要在模型中加以考虑。 通常，制定减肥计划以周围时间单位比较方便，所以智力用离散时间模型差分方程模型来讨论。,模型假设,根据
23、上述分析，参考有关生理数据，做出以下简化假设： 1.体重增加正比于吸收的热量，平均没吸收8000kcal(1kcal=4200J,下同)热量，增加体重1kg(1kcal=4200J). 2.正常代谢引起的体重减少正比于体重，每周每千克体重消耗的热量一般在200kcal至320kcal之间，且因人而异，这相当于体重70kg的人每天消耗2000kcal3200kcal的热量。 3.运动引起的体重减少正比于体重，且与运动形式有关。 4.为了安全与健康，每周体重减少不宜超过1.5kg,每周吸收热量不要少于10000kcal.,理学院,基本模型,记第 周末体重为 ，第 周吸收的热量为 ,热量 转换系数
24、，代谢消耗系数为 (因人而异)，则在不考虑运动情况下体重变化的基本方程为增加运动时只须将 改为 ， 由运动的时间和形式决定。,理学院,减肥计划的提出,通过制定一个具体的减肥计划讨论（3.1）式的应用。 甲身高1.7m，体重100kg,BMI高达34.6.自述目前每周吸收20000kcal热量，体重长期不变。试为他按照以下方式制定减肥计划，使其体重减至75kg，并维持下去： （1）在基本上不运动的情况下安排一个两阶段计划，第一阶段：每周减肥1kg，吸收热量逐渐减少，直至达到安全的下限（10000kcal）；第二阶段：每周吸收热量保持下限，减肥达到目标。 （2）若要加快进程，第二阶段增加运动，重新
25、安排第二阶段计划。 （3）给出达到目标后维持体重的方案。,理学院,减肥计划的制定,理学院,得 ，即第一阶段共10周，按照 吸收热量，可使体重每周减少1kg，至第10周末达到90kg。 第二阶段要求每周吸收热量保持下限 ，由（3.1）式可得 为了得到体重减至75kg所需的周数，由（3.3）式递推可得 已知 ，要求 ，再将 的数值代入（3.4）式得解得 ，即每周吸收热量保持下限10000kcal，再有19周体重可减至75kg。,理学院,其次，为加快进程，第二阶段增加运动。经过调查资料得到以下各项运动每小时每千克体重消耗的热量：,记表中热量消耗 ，每周运动时间 ，为利用（3.1）式，只须将 改为 ，
26、即,试取 ，即 ，则（3.4）式中的 应改成 ，于是（3.5）式变为,解得 ，即若每周增加消耗热量为 的运动（如每周跳舞8h或骑自行车10h），就可将第二阶段的时间缩短为14周。 最后，最简单的维持体重75kg的方案是寻求每周吸收热量保持某常数c，使 不变。由（3.6）式得,理学院,推得 若不运动，容易算出 c=15000kcal ；若运动（内容加上），则c=16800kcal。,模型评注,人体体重的变化是有规律可循的，减肥也应科学化，定量化。这个模型虽然只考虑了一个非常简单的情况，但是它对专门从事减肥这项活动（甚至作为一项事业）的人来说也不无参考价值。 体重的变化与每个人特殊的生理条件有关，特别是代谢消耗系数 ，不仅因人而异，而且即使同一个人在不同环境下也会有所改变。从上面的计算中可以看到，当 由 0.025增加到 0.028 时（变化约12%），减肥所需时间就从19周减少到14周（变化约25%），所以应用这个模型时要对 做仔细的核对。,理学院,
