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1、第二章 晶体结构及其弹性性质,2-1 晶体结构和基本概念,2-2 晶体的弹性性质,2-3 弹性常数与对称性,2,晶系和布喇菲格子,通常描写晶胞的六个物理量是三个基矢的长度和基矢之间的夹角，如图所示a，b，c，通常又称为晶格常数，可以由x射线确定根据a，b，c，的不同，晶格可分为七大晶系和十四种布喇菲格子,3,七大晶系 seven sysTems,4,14 Bravais LaTTices,Triclinic: simpleMonoclinic: simple, side-cenTeredOrThorhombic: simple, body-cenTered, face-cenTered, si
2、de-cenTeredTeTragonal: simple, body-cenTeredHexagonal: simpleTrigonal: simpleCubic: simple(sc), body-cenTered(bcc), face-cenTered(fcc),5,对称性和点群 symmeTry and poinT groups,了解对称性和对称操作，认识晶体的三十二个点群To undersTand The symmeTry and 32 poinT groups in crysTals,6,对称性SymmeTry,在我们周围到处都可以碰到对称现象 :人的双手是对称的，它可以借助于一个
3、对称面的反映而使之重合； 人和镜子里的像也是对称的，这种对称称为镜像对称;四方晶体绕中心轴转90或90的整数倍后，晶体自身重合；六角晶体绕中心轴转60或60的整数倍后，晶体自身重合。,7,晶体的对称性是由其内部格子结构所决定的。它不仅与晶体的结构有密切关系，而且也于晶体的力学、电学、光学以及压电铁电性质等有密切关系。可以说，晶体的对称性是晶体分类的基础，也是研究晶体其它性质的基础。这里先主要介绍的对称性，不包括平移对称性在内，所以是宏观对称性,8,晶体结构本身具有对称性，x-射线衍射晶体的物理性质与对称性有关，介电常数，压电常数等研究方便：立方晶体11= 22= 33，其它ij=0计算方便,9
4、,对称操作和对称元素,能使对称图形复原的动作称为对称操作，例如，前面提到的对称轴的旋转，对称面的反映，此外，对称中心点的反演（或倒反）等，都是对称操作。进行对称操作时，还必须依赖于一定的几何元素，如对称中心、对称面、对称轴等，这些几何元素又称为对称元素,10,对称性和对称操作,11,晶体中可能的对称操作,12,对称中心 inversion,为一假想的定点，相应的对称操作为对此定点的反演（或倒反）。图2-15表示通过对称中心c把M点反演到M点。如果把对称中心作为坐标原点，那么对称中心的作用将使点M(x,y,z)反演到点M(-x,-y,-z)。或者作通过对称中心的任意直线，在此直线上，距对称中心等
5、距离的两端，一定可以找到相对应的点M和M。对称中心的国际符号是“ ”。,13,图2-15,14,对称面（镜面）mirror,为一假想平面，相应的对称操作为对此平面的反映。对称面将图形分为镜像反映的两个相等的部分。图2-16表示通过对称面m把M反映到M。对称面在图形上常用双线或粗线表示，国际符号为“m”。,15,图2-16 m,16,旋转轴（对称轴）roTaTion,为一假想直线，相应的对称操作为对此轴线的旋转。一个晶体如绕此轴旋转360/n后，能够复原，则称此晶体具有n次旋转轴或简称n次轴。由于晶体结构的周期性（即晶体的平移对称性）给晶体的转动对称性带来了严格的限制，即n只能等于1、2、3、4
6、、6，或者说晶体只可能具有1、2、3、4、6次旋转轴，不可能具有5次或高于6次的旋转轴。,17,18,旋转轴符号,19,旋转倒反轴（像转轴）,这是一个复合对称元素。它是一个假象的直线和此直线上的一个定点，相应的对称操作为对此轴线转2/n角度后，接着再对此点进行倒反。若晶体经过这个操作后能够复原，则称此晶体有n次旋转倒反轴。RoTaTion-inversion 与旋转轴的情况一样，晶体也只能有1、2、3、4、6次旋转倒反轴，而不能有5次或6次以上的旋转倒反轴。旋转倒反轴的国际符号为 、。,20,21,22,23,24,25,2次旋转倒反轴操作等效于一个对称面操作,对称变换间的等效关系,26,3次
7、旋转倒反轴 等效于3次旋转轴加上对称中心，即,27,6次旋转倒反的效果和3次旋转轴加上垂直于该轴的对称面的总效果相同，即,28,知道了晶体的八个基本的宏观对称元素后，下一个问题就是：在晶体中，究竟有哪些对称元素和对称操作可以同时存在？它们的组合方式有多少种？在数学上，把对称元素（或对称操作）的集合叫做“对称群”。因为上述对称元素中，不包括平移对称性，进行对称操作时总是有一点保持不动，所以只包括上述对称元素的集合叫做“点群”。,29,32 poinT groups,人们经过长期研究的结果，发现这八种对称元素共有32种组合方式，即32种点群。这32种点群对应于晶体的32种宏观对称类型，就是说自然界
8、千千万万种晶体，可以归纳为32种宏观对称类型。,31,小结 summary,对称元素和对称操作晶体的三十二个点群对称性和点群对于压电铁电体非常重要！只有晶体才会有压电铁电性，不存在非晶压电铁电体。但是有非晶半导体和非晶磁性材料。,32,晶体中的点群,由于无限大周期性的限制，晶体中的对称操作只能有：1，2，3，4，6，m, ；由这些对称操作所构成的集合就是晶体中的点群；晶体中一共有32个这样的点群；,33,晶轴和直角坐标轴,34,晶轴和直角坐标轴的选择,晶面符号和晶棱符号的确定取决于晶轴的选择，晶轴选择方式不同，晶面符号和晶棱符号也不一样。 其次，在讨论晶体的弹性性质、介电性质和压电性质时，采用
9、直角坐标系是比较方便的。由于晶轴之间夹角不一定等于90，所以选定晶轴之后，有时还要另选直角坐标系。选择不同的直角坐标系，所得到的数学表达式也不一样。 为了避免混乱，必须对晶轴的选择和直角坐标系的选择作共同的规定。,35,三斜晶系,晶轴。三斜晶系除了一次旋转轴或一次旋转倒反轴外，无其它对称元素。因此只能选择三个不在同一平面上的晶棱方向作为晶轴。晶轴的安排是c轴为直立，b轴为左右并向右倾，a轴为前后方向并向前倾。晶格常数的大小为bac，晶轴间的夹角为，并有90，90。 坐标轴（x、y、z）。目前都选择z轴与晶轴c重合；x轴在晶轴a和c组成的平面内，并指向+a方向；y轴垂直于ac平面，并指向+b方向
10、，如图1-23所示。,36,图2-23 三斜晶系中的晶轴与坐标系,37,单斜晶系,晶轴。单斜晶系的特点是具有一个二次旋转轴或二次旋转倒反轴。选二次轴为b轴，并在与b轴垂直的平面上选择相交的晶棱方向作为c轴和a轴。晶格常数大小为：abc，ac，晶轴之间夹角为=90，90。单斜晶系的实例如图1-24所示。 坐标轴（x、y、z）。目前选择y轴与b轴重合；z轴与c轴重合，x轴垂直于bc平面，如图2-25所示。,38,图2-24 单斜晶系中的晶轴,39,图2-25 单斜晶系中的坐标系,其中y轴是二次旋转轴,40,正交晶系,晶轴。正交晶系的特点是具有三个互相垂直的二次旋转轴，或有二个互相垂直的对称面。在2
11、22点群和mmm点群中，分别选这三个二次旋转轴为a、b、c轴；在mm2点群中则选唯一的一个二次旋转轴为c轴，选两个对称面的法线方向为a轴和b轴，晶格常数大小为：cab，晶轴之间夹角为=90。 坐标轴（x、y、z）。因为正交晶系的晶轴互相垂直，分别选晶轴a、b、c为坐标轴x、y、z。正交晶系的实例如图1-26所示。,41,图2-26 酒石酸钾钠（KNT）在非铁电相时属于222点群，其中a、b、c轴都是二次旋转轴,42,四方晶系,晶轴。四方晶系的特点是具有一个四次旋转轴或四次旋转倒反轴。通常都是选四次轴为c轴，选一个二次轴为a轴，如果无二次轴，则选最小晶胞中的两个等长轴之一为a轴。晶格常数大小为：
12、a=bc，晶轴之间夹角为=90。 坐标轴（x、y、z）。因为四方晶系的晶轴互相垂直，分别选晶轴a、b、c为坐标轴x、y、z。四方晶系的实例如图1-27所示。,43,图2-27 四方晶系的晶轴,44,三角晶系和六角晶系,晶轴。三角晶系和六角晶系的特点是具有一个三次旋转轴或六次旋转轴。通常都是选三次轴或六次轴为c轴，选二次轴或对称面的法线为a、b轴。晶格常数大小为：a=bc，晶轴之间夹角为=90,=120。 坐标轴（x、y、z）。通常选z轴平行于c轴，x轴与a轴一致，y轴垂直于ac平面。三角晶系和六角晶系的实例如图2-28和图2-29所示。,45,图2-28 -石英晶体属于32点群，c轴为三次轴，
13、a、b、d轴为二次旋转轴,46,图2-29 碘酸锂晶体属于6点群，c轴为6次旋转轴,47,立方晶系,晶轴。立方晶系的特点是具有四个三次旋转轴（包括旋转倒反轴），同时不是有三个相互垂直的四次旋转轴（包括旋转倒反轴），就是有三个相互垂直的二次旋转轴，分别选择这些四次或二次轴为a、b、c轴。晶格常数大小为：a=b=c，晶轴之间夹角为=90。 坐标轴（x、y、z）。通常选择晶轴a、b、c为坐标轴x、y、z。,48,X-axis,Z-axis,Y-axis,49,summarySpace groups，glide and screwCrysTal axis and CarTesian axis,Case
14、 sTudy画出七大晶系的晶轴和直角坐标轴的对应关系,50,51,晶体的弹性性质,应力、应变张量，虎克定律弹性常数与对称性弹性波在晶体中传播,52,压电铁电晶体是电介质，它具有介电性质；同时压电铁电晶体又是弹性介质，它又具有弹性性质，而压电效应就是反映了它的介电性质和弹性性质之间的耦合作用。不同晶体结构的压电铁电晶体，各向异性程度不一样，或者说独立的弹性常数的数目与晶体的对称性有关。,53,形变 deformaTion,54,55,56,57,Rigid roTaTion Through a small angle,For deformaTions iT is always nonzero,5
15、8,To Two-dimensional deformaTions:,59,60,To Three-dimensional deformaTions:,61,62,应力、应变,应变张量: sTrain Tensor晶体中任一点的位置可以用所选定的坐标系的位置矢量来描述，它的三个分量为x1、x2、x3。当晶体发生形变时，其中每一点的位置均会发生改变。设形变前的某一点的位置矢量为r，形变后为r（其分量为x1、x2、x3），由于形变这一点的位移可以用位置矢量来表示：,63,当晶体形变时，晶体内任意两点间的距离都会发生变化，设最近邻的两点形变前的距离为dl（分量为dxi），形变后的距离为dl（分量为d
16、xi），因为dxi=dxi+dui，而,64,于是:,65,利用以下关系：,66,于是有:,67,最后可得到形变前后距离的变化为:,其中张量Sik由下式给出:,68,该式给出了在物体形变时，它的长度单元的改变。例如：（ui/xk），当i=k时，代表伸缩应变（纵向应变），而当ik时，代表切应变（横向应变）。一般称Sik为应变张量元。从上式直接可以看出Sik =Ski，即应变张量是对称的。,69,在大多数情况下，应变是很小的，所以上式右方的第三项可以略去，于是应变张量元为：,70,应变张量元的矩阵形式,二级对称的张量，有六个独立元素。,71,如果用x、y、z代表位置矢量r的三个分量；u、v、w代表
17、位移矢量u的三个分量；那么这六个张量元可写成为：,72,应变张量元的几何意义,正应变,73,体积元的体积改变量：,由形变引起的体积相对增量称为体膨胀为：,74,切应变 shear,由于发生切应变，原来的正方形变成了菱形，它的边长不改变,切应变sxy=(v/x+u/y)/2的几何意义,75,由于切变AA， BB， CC， DD，图中u、v代表A点位移的分量，令AD=AD=x，AB=AB=y，则：,所以sxy=(v/x+u/y)/2=(1+2)/2,76,由于应变张量是个对称的二阶张量，只有六个独立的元素，因此常被写成一个纵列矩阵，用x代表张量元，用一个新的足标=1、2、6来代替原来的足标，其对应
18、关系如下：,77,应力张量 sTress Tensor在没有形变的固体中，分子的排列是处于热平衡状态，作用在固体中任意一部分的合力都等于零。如果固体有形变，那么它就不再处于原来的平衡态，而会受到力的作用，该力会使物体具有恢复到平衡的趋向。,78,这种在固体形变时，作用在固体中单位面积上的力称为应力。应力是一个二级张量，其各个分量为xx、yy、zz、yz、zy、xy、yx、xz、zx。为此我们也把应力称为应力张量。张量元的前一个足标代表应力的方向，后一个足标代表应力所作用面的法线方向。,79,作用在立方体上的应力张量元,80,例如，作用在垂直于x轴的单位面积上沿x方向的应力是xx，这类应力是垂直
19、于表面的，代表张力或压力；作用在垂直于x轴的单位面积上沿y方向的应力是yx，这类应力是沿着表面的，即平行于表面的切向，代表切应力。,81,内应力作用在物体上的总力矩等于零，因此，存在如下关系：,应力张量：,82,单、双脚标之间的对应关系,83,应力张量也是对称的二级张量，它只有六个独立的张量元素。所以对于晶体，也常常把应力张量写成一个纵列矩阵，以T（=1、2、6）来表示，其对应关系为：,应力张量和应变张量的情况有一点不同，当=4、5、6时，T=ij，而S=2Sij（ij）。,84,作用在体积元上xyz的力与应力张量元ij之间的关系。如图所示，沿x方向力的分量有三个:,85,所以作用在体积元xy
20、z上力的x分量为：,86,作用在单位体积上力的x分量为：,同理：,以上公式在建立描述固体中弹性波传播的方程时将会用到。,87,胡克定律 Hooks law,对于足够小的形变，应变与应力成正比，因此应变分量是应力分量的线性函数，这一规律称为胡克定律，写成矩阵形式为:,88,89,弹性柔顺常数 compliance,弹性柔顺常数的物理意义 :s11=(S1/T1) Tk，当其它应力分量Tk (k1)为常数（或Tk =0）时，由于沿x方向的伸缩应力T1的改变引起x方向伸缩应变S1的改变，与伸缩应力T1的改变成正比。 可见s11只与x方向的伸缩应力T1和伸缩应变S1有关。,90,s12=(S1/T2)
21、Tk，当其它应力分量Tk (k2)为常数（或Tk =0）时，由于沿y方向的伸缩应力T2的改变引起x方向伸缩应变S1的改变，与伸缩应力T2的改变成正比。或s12=(S2/T1)Tk，当其它应力分量Tk (k1)为常数（或Tk =0）时，由于沿x方向的伸缩应力T1的改变引起y方向伸缩应变S2的改变，与伸缩应力T1的改变成正比。可见s12 为与y方向的伸缩应力T2和x方向的伸缩应变S1有关的弹性柔顺常数；或者为与x方向的伸缩应力T1和y方向的伸缩应变S2有关的弹性柔顺常数。,91,s14=(S1/T4)Tk，当其它应力分量Tk (k4)为常数（或Tk =0）时，由于x面上的切应力T4的改变引起x方向
22、伸缩应变S1的改变与切应力T4的改变之比（x面即yz平面）。 或s14=(S4/T1)Tk，当其它应力分量Tk (k1)为常数（或Tk =0）时，由于x面上的伸缩力T1的改变引起x面上伸切应变S4的改变与伸缩应力T1的改变之比。 可见s14 为与x面上的切应力T4和x方向的伸缩应变S1有关的弹性柔顺常数；或者为与x方向的伸缩应力T1和x面上的切应变S4有关的弹性柔顺常数。,92,s44=(S4/T4)Tk，当其它应力分量Tk (k4)为常数（或Tk =0）时，由于x面上的切应力T4的改变引起x面上切应变S4的改变与切应力T4的改变之比。可见s44 只与x面上的切应力T4和切应变S4有关的弹性柔
23、顺常数。其它弹性常数所代表的意义与s11、s12、s14和s44类似。,93,矩阵形式的胡克定律还可写为,由于应力、应变都是二级张量，所以弹性柔顺常数sij共有36个，其中独立的弹性柔顺常数共21个（如果应力、应变都是9个独立分量，则弹性柔顺常数将为81个）。弹性柔顺常数是一个四级张量。,94,弹性刚度常数 sTiffness,胡克定律也可表示为,其中cij为弹性刚度常数，共有36个，独立的弹性刚度常数共21个，弹性刚度常数也是一个四级张量。,95,矩阵形式:,96,弹性常数与对称性,97,和介电常数一样，材料的弹性常数也与对称性有关。描写各向同性弹性介质的独立弹性常数只有两个；描写完全各向异
24、性介质弹性介质的独立弹性常数共有21个；而介于各向同性与完全各向异性之间的介质，它们的独立弹性常数个数则介于221之间。,98,例如，属于三斜晶系1点群的压电晶体是完全各向异性的，独立的弹性常数共有21个。属于立方晶系的23点群和3m点群的压电晶体，是对称性最高的晶体，它接近于完全各向同性。独立的弹性常数只有三个。属于四方晶系4mm点群的BaTiO3晶体，独立弹性常数共有六个。属于六角晶系32点群的-石英晶体和点群的LiNbO3，独立弹性常数都是六个。属于正交晶系mm2点群的铌酸钡钠（Ba2NaNb5O15）晶体和222点群的酒石酸钾钠（NaKC4H4O64H2O）晶体，独立弹性常数有9个。,
25、不同对称性晶类的独立弹性常数,99,根据Neumann原则，晶体的对称性不仅表现在结构上，也表现在它的物理特性上，因此晶体的弹性常数必然和晶体的对称性密切相关。通常是晶体的对称性愈高，其独立的弹性常数分量数目愈少。,100,为了确定晶体具有的独立弹性常数，通常有两种方法：一种是脚标代换法；另一种是坐标变换法。由于坐标变换法具有普适性因此我们首先讨论弹性常数张量的坐标变换。此外对于各向异性晶体，其弹性常数的数值都是对于正常晶体坐标系给出的，而实际使用的晶片往往是旋转切割的，其坐标选取与正常的晶体坐标系不同，为此必须将弹性常数张量从晶体坐标系变换到实际采用的坐标系中下面首先讨论应力和应变张量的坐标
26、变换。,101,应力张量X和应变张量x坐标变换,设新旧坐标系分别为O-x1,x2,x3和O-x1,x2,x3,如右图示。新旧坐标系的坐标轴的方向余弦为：,102,上述新旧坐标系的方向余弦的9个数构成一个正交矩阵,103,因为应力T和应变S是二阶张量，所以它们的坐标变换遵从二阶张量的变换规则。首先考虑应力张量的坐标变换，设T和T分别为坐标变换前后的应力张量，则根据二阶张量的变换法则有 T=ATA1 或 T=ATA-1采用爱因斯坦脚标重复自动求和规则，变换前后应力的分量可写成：Tij=aimajnTmn。,104,将上式展开，首先考虑到i=j=1时应力分量T11，有:,将上式完全展开，得,105,
27、整理，得:,应力矩阵元采用缩写下标，上式可写为:,106,同理可以得出变换后应力张量的其余五个分量,107,上面六组联立代数方程组的矩阵形式,式中：,应力张量的坐标变换关系,108,矩阵M叫做应力张量的变换矩阵,109,按照完全相同的方法可以得出,式中：,应变张量S的坐标变换关系,110,矩阵N称为应变张量的变换矩阵,注意矩阵M、N的不同！,111,使用完全类似的方法,还可以求出应力张量的逆变换矩阵M-1和应变张量的逆变换矩阵N-1,即T=M-1T, S=N-1S并得出如下关系式:M-1=NT, N-1=MT式中, MT为M转置矩阵,NT为N的转置矩阵.,112,弹性常数张量的坐标变换,设胡克
28、定律在原是坐标中表示为T=cS, S=sT 在坐标变换后新坐标系中表示为T=cS, S=sT (1) 根据新旧坐标变换关系式有T=MT, S=N-1S 故有T=McS=McN-1S,113,将上式和(1)比较得出弹性刚度常数在新旧坐标系中的变换关系为c=McMT (2)同理,可得到弹性柔顺常数在新旧坐标系中的变换关系s=NsNT (3)由式(2)和(3)可知,只要知道了应力和应变张量的坐标变换矩阵M和N,就可以求出弹性常数张量的坐标变换。,114,为了确定晶体独立弹性常数,必须根据晶体的对称性,并应用Neumann原则来完成,现在以三角系3m点群晶体为例子来进行讨论。对于三角晶系3m点群的晶系
29、,x=0的面是对称面,z轴为三阶转轴,根据Neumann原则,晶体的弹性常数张量经上述对称性操作,其值不应改变。,115,对于x1=0的对称面,新旧坐标选取如下图,新旧坐标系之间的方向余弦矩阵为:,116,将上式代入应变张量矩阵的坐标变换矩阵N为：,117,将坐标变换矩阵代入弹性柔顺常数在新旧坐标系中的变换式：s=NsNT得，,118,由于x=0面为对称面,新旧坐标系的弹性柔顺常数矩阵应该相等,即sij=sij,为此只有下式成立时才能满足s15=s16=s25=s26=s35=s36=s45=s46=0所以弹性柔顺常数矩阵变成如下:,119,120,由于z(x3)轴为三阶转轴,新旧坐标系选取如
30、图示,对此新旧坐标系的变换矩阵为:,新坐标：0-x1x2x3旧坐标：0-x1x2x3,aij,: i为旧坐标，j为新坐标,121,将上式代入坐标变换矩阵,122,N的转置矩阵是,123,将N和NT代入s=NsNT,再令s=s,得到s11=s22, s13=s23, s14=-s24,s34=0, s44=s55,s56=2s14, s66=2(s11-s12).,124,又因为:,125,由此可见,独立的弹性柔顺常数只有s11, s12, s13, s14, s33, s44共六个,所以,126,足标代换法,以222点群为例。222点群表示有三个二次旋转轴，分别沿x,y,z方向。先考察沿z轴的
31、二次旋转轴。因为z轴是二阶轴，当晶体绕z轴转180后，晶体坐标变换为，,或,127,由于弹性柔顺常数是一个四阶对称张量，完善的写法应有四个足标。例如，s1111、s1122、s1123、s1212等等，通常为了方便，常用二个足标（缩写下标）代替四个足标。,128,四足标与双足标之间的关系为,例如：s1111s11，s1122s12，s1123s14，s1212s66等。当晶体绕z轴转180后，四足标中的变换为，1111，2222，3333，23-23，13-13，1212；双足标中的变换为11，22，33，4-4，5-5，66。,129,11，22，33，4-4，5-5，66,130,绕z轴转
32、180后：,绕x、y轴转180后：,131,因为z轴是二阶轴，当晶体绕z轴转180后，弹性柔顺常数应保持不变，这就要求sij=sij, i,j=1,2,3,4,5,6可见，只有当s14=s15=s16=s34=s35=s46=s56=0时两者才完全一致。再利用222点群晶体的轴是二阶轴，重复上述方法，可以得到s16=s26=s36=s45=0。,132,最后得到属于正交晶系222点群晶体的弹性柔顺常数如下。其中独立弹性柔顺常数共9个。,各向同性材料,133,134,对于各向同性的多晶体，胡克定律的形式为,式中s44=2（s11-s12），有两个独立的弹性常数；,135,写成分量形式为 ：,从胡
33、克定律看出，各向同性物体的的应力T1、T2、T3只对伸缩形变有贡献，而与切应变无关；切应力T4、T5、T6只对切应变有贡献，而与伸缩形变无关。并且切应力T4只对切应变S4有贡献，与切应变S5、S6无关；T5、T6情况与此相同。,136,实验上常采用杨氏模量E，泊松比及切变模量G来代替弹性柔顺常数s11、s12、s44。它们之间的关系为：,Yangs modulus,Poission raTio,Shear modulus,137,用杨氏模量E，泊松比及切变模量表示的各向同性介质的虎克定律：,138,139,140,141,142,压电陶瓷的弹性常数,先看弹性柔顺常数s11、s22、s33。因为
34、s11反映压电陶瓷沿x方向伸缩形变的弹性柔顺常数，它只与x方向的弹性性质有关。同理，s22、s33是分别是反映压电陶瓷沿y方向和z 方向伸缩形变的弹性柔顺常数，它们分别只与y方向和z方向的弹性性质有关。而经过极化处理后的压电陶瓷（设轴z轴为极化轴），沿z方向的性质就与沿x、y轴方向的性质就不一样了。所以s11s33、s22s33，但是对于x轴与y轴之间则没有任何差别，即xy平面是各向同性面。这就要求弹性柔顺常数s11=s22，于是得到s11=s22s33的结论。,143,s12、s13、s23等弹性柔顺常数。因为任何弹性介质，当纵向伸长时，横向都要产生收缩。而s12、s13、s23就是反映这一
35、性质的弹性柔顺常数，所以s12、s13、s23都不可能等于零。由于压电陶瓷的xy平面是各向同性面，当其x轴与y轴之间互换时，弹性常数应保持不变，这就要求s13=s23。但是压电陶瓷的x轴与z轴之间不能互换，这就要求s12s23，于是得到s12s23=s13。此外还有s14=s24，s15=s25，s16=s26。,144,s44、s55、s66等弹性柔顺常数,又因为xy平面的各向同性，当x轴与y轴之间互换时，弹性柔顺常数应保持不变，即，,因为：,145,而x轴、y轴与z轴之间不能互换，固有s44=s55s66。s14、s15、s16、s24、s25、s26、s34、s35、s36、s45、s46、s56等弹性柔顺常数，可用足标代换法证明它们皆等于零。,146,最后得到压电陶瓷的弹性柔顺常数用矩阵表示为：,其中独立弹性柔顺常数为s11、s12、s13、s33、s44五个。,147,用上述相同的方法，可得到压电陶瓷的弹性刚度常数用矩阵表示为：,其中独立弹性柔顺常数为c11、c12、c13、c33、c44五个。,各晶系的弹性常数个数,148,锆钛酸铅压电陶瓷PZT-5H,
